SHO

SHO（Small Hydra Ordinal），由 FataliS1024 命名，该名字原本指 ${\epsilon }_0$（SCO），后来因为不明原因变成了 BMS 极限。该序数在 Googology 中有着极其重要的地位。

序数记号	表达式
稳定序数	$\le \psi (\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{-}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}\mathrm{)}$
向上投影	$\psi ({\psi }_H({\epsilon }_{H+1}))$
1-Y	$1,3$
Moumtain Notation	$(0)(,,1)$
MMS	$(0)(1,1)$
DBMS	$(0)(1,,1)$
Fake Fake Fake Zeta	${\psi }_Z[{\epsilon }_{\omega }]({\epsilon }_{\omega })$

性质

证明论序数：$\mathrm{S}\mathrm{H}\mathrm{O}$的证明论强度在 ggg 界还没有定论，主流的观点认为 $\mathrm{S}\mathrm{H}\mathrm{O}\mathrm{=}\mathrm{P}\mathrm{T}\mathrm{O}\mathrm{(}{\mathrm{Z}}_{\mathrm{2}}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{P}\mathrm{T}\mathrm{O}\mathrm{(}\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">KP</mrow>}\mathrm{\omega }\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{N}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{)}$。

记号极限：几乎所有多行 Hydra 记号极限都是$\mathrm{S}\mathrm{H}\mathrm{O}$，包括但不限 BMS，0-Y，Ex-hydra 等等。BHM、BSM 的极限也很可能为 SHO。

Catching：如果$\mathrm{S}\mathrm{H}\mathrm{O}\mathrm{=}\mathrm{P}\mathrm{T}\mathrm{O}\mathrm{(}{\mathrm{Z}}_{\mathrm{2}}\mathrm{)}$的假设成立，则 adm 稳定和 pfec 稳定的 Catching 点有可能位于 SHO。