投影序数

投影序数（projection）是 test_alpha0 创造的非递归记号。投影序数是目前为止最方便的强大非递归序数表达方式，伴生的限制则是——它很有可能永远无法良定义（至少在比较小的序数处如此）。但即使如此，它可以作为非递归序数和递归记号的交接桥梁，并在国内大数社群广泛地被使用。

定义

第一个 2-投影序数

我们定义 1-投影序数（1-proj.）就是传统的非递归序数。

2-proj. 是一系列很大的非递归序数。它们被认为是 $a{<}_{{\mathrm{\Sigma }}_1}Ord$。第 n 个$2\text{-proj.}$被写作 $a_n$。现在让我们把 $a$ 放进 OCF 里：

• ${\psi }_a(0)=\mathrm{\Omega }$
• ${\psi }_a(X+1)={\psi }_a(X)\times \omega$
• ${\psi }_a(X\sim a)=\beta \to {\psi }_a(X\sim \beta )\text{不动点}$，其中 ~ 是任意运算或者是任意递归函数

到这里，${\psi }_a$ 和 ${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_2}$ 还没有区别，区别在下面这一条：

如果 β 是非 2-proj. 的 1-proj.，则 ${\psi }_a(X\sim \beta )=\bigcup _{\gamma <\beta }{\psi }_a(X\sim \gamma )$，其中 ~ 是任意运算或者是任意递归函数

这条规则乍一看平平无奇，但是注意，a 的下一个 Ω 序数，即 ${\mathrm{\Omega }}_{a+1}$，也是一个 1-proj.！这意味着，${\psi }_a({\mathrm{\Omega }}_{a+1})\ne {\psi }_a({\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{a+1}}({\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{a+1}}({\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{a+1}}(\cdots ))))$，而是等于 $\sup \{{\psi }_a(a),{\psi }_a(a^a),{\psi }_a({\epsilon }_{a+1}),{\psi }_a({\zeta }_{a+1}),{\psi }_a({\mathrm{\Gamma }}_{a+1}),{\psi }_a(BO(a+1)),\cdots \}$。通俗的说，就是需要穷尽 a 的递归运算。投影序数能挣脱 ${\mathrm{\Omega }}_2$ 的藩篱，正是靠这个本事。但其问题也是出在这里。因为我们无法直接定义 ${\mathrm{\Omega }}_{a+1}$ 之下的所有递归运算，因此投影序数直接作为非递归记号依然是不良的。但是它作为放进 OCF 里的递归记号却是良的，因此放心使用。

更多的 2-投影序数

我们定义 ${\psi }_{a_n}$ 如下：

• ${\psi }_a(0)=\mathrm{\Omega }$
• ${\psi }_{a_{n+1}}(0)={\mathrm{\Omega }}_{a_n+1}$
• ${\psi }_{a_n}(X+1)={\psi }_{a_n}(X)\times \omega$
• ${\psi }_{a_n}(X\sim a_m)={\psi }_{a_n}(X\sim \beta \to {\psi }_{a_m}(X\sim \beta )\text{不动点})$，其中 ~ 是任意运算或者是任意递归函数，m>n
• 如果 β 是非 2-proj. 的 1-proj.，则${\psi }_{a_n}(X\sim \beta )=\bigcup _{\gamma <\beta }{\psi }_{a_n}(X\sim \gamma )$,其中~是任意运算或者是任意递归函数

它们的作用可以理解为，当你在 ${\psi }_a$ 内部需要用到 ${\mathrm{\Omega }}_{a+2},I_{a+1},M_{a+1},\cdots$ 这些东西的时候，需要 ${\psi }_{a_2}$ 来表示它们。

n-投影序数

定义 p_m 是 $m\text{th }n+1\text{-proj.}$，q 是 $\text{1st }n\text{-proj.}$，P_n 是 $n\text{-proj.}$ 的集合：

\(\begin{align} &\psi_{p_1}(0) = q \tag{1}\\ &\psi_{p_{m + 1}}(0) =n-proj. ~aft~ p_m \tag{2}\\ &\psi_{p_m}(\#\sim X_{p_m + 1}) = \sup\{\psi_{p_m}(\#\sim t) \mid t < X_{p_m + 1}, X \in P_k, k \in \{1, \ldots, n\}\} \tag{3}\\ &\psi_{p_m}(t + 1) = \psi_{p_m}(t) \times \omega \tag{4}\\ &\psi_{p_m}(\#\sim p_m) = \beta \rightarrow \psi_{p_m}(\#\sim \beta) \quad \text{Fixed Point} \tag{5} \end{align}\)

以上规则便统一定义了 $n\text{-proj.}$。

通俗的说，$(n+1)\text{-proj.}$ 之于 $n\text{-proj.}$ 的关系就如同 $a_n$ 之于 ${\mathrm{\Omega }}_n$，高阶的投影序数可以对低阶的投影序数取并，从而造就极大地表示范围。

扩展

投影有许多强大的拓展，在这里介绍投影使用最为广泛的拓展：向上投影。这个拓展可以与BMS相抗衡。

向上投影

考虑一个很大的序数H，它可以折叠“投影点”：

${\psi }_H(H)=\mathrm{\Omega }$

${\psi }_H(H\times 2)={\mathrm{\Omega }}_2$

${\psi }_H(H^2)=\alpha$

${\psi }_H(H^2+H)={\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$

${\psi }_H(H^2\times 2)={\alpha }_2$

${\psi }_H(H^3)=\beta$

${\psi }_H(H^{\omega })=\omega -\text{Projection}$

我们观察到，对于一个 ${\psi }_H(X\sim H)$，它可以“投影”${\psi }_H(X\sim (H\times 2))$ 之前的序数而不补层。比如说 ${\psi }_H(H^2)$（$\alpha$），可以“投影”${\psi }_H(H^2\times 2)$（${\alpha }_2$）以前的序数，例如 ${\psi }_H(H\times (H+1))={\psi }_H(H^2+H))$（${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$）。

下面我们考虑一个 (1,0)-Proj. ${\psi }_H(H^H)$，按照先前的规律，它可以“投影” ${\psi }_H(H^{H\times 2})$（(2,0)-Proj.）之前的序数而不补层。为了方便接下来的讲解，我们引入如下记号：

(a1,a2,...,an)-Proj.=${\psi }_H(H^{H^{n-1}\times a_1+H^{n-2}\times a_2+\dots +H\times a_{n-1}+a_n})$，例如 (1,1,4,5,1,4)-Proj.=$\psi (H^{H^5+H^4+H^3\times 4+H^2\times 5+H+4})$

S=(1,0)-Proj.，σ 表示升 1 阶投影（如 σS=(1,1)-Proj.），θ 表示升 (1,0) 阶投影（如 θS=(2,0)-Proj.）

一开始，${\psi }_S$函数与OCF表现得无异，有${\psi }_S(S)={\epsilon }_0$，${\psi }_S(S_{\omega })=\text{BO}$。我们注意到${\psi }_H(H^2)$投影${\psi }_H(H\times (H+1))$，于是便可以让S投影${\psi }_H(H^{H+1})$，也就是σS,因此，${\psi }_S(\sigma S)=\mathrm{\Omega }$。

接下来是Ω的递归运算：

${\psi }_S(\sigma S+1)=\mathrm{\Omega }\times \omega$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_S(\sigma S))={\mathrm{\Omega }}^2$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_S(\sigma S+{\psi }_S(\sigma S)))={\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}$

${\psi }_S(\sigma S+S)={\epsilon }_{\mathrm{\Omega }+1}$

这看起来并不强大，但是我们可以引入$S_2$让它变强。${\psi }_{S_2}(\sigma S)$表示S递归运算的上确界，而S的递归运算又会被折叠为Ω的递归运算，因此${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S))={\mathrm{\Omega }}_2$

于是，${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S)\times 2)={\mathrm{\Omega }}_3$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+1))={\mathrm{\Omega }}_{\omega }$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+S))=\mathrm{O}\mathrm{F}\mathrm{P}$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\epsilon }_{S+1}))={\psi }_I({\epsilon }_{I+1})$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S)))=I$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S)+1))=I_{\omega }$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S)\times 2))=I(1,0)$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+1)))=I(\omega ,0)$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+S)+{\psi }_{S_2}(\sigma S)))=I(1,0,0)$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S))))=M={\psi }_{\alpha }({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}})$

${\psi }_S(\sigma S+S_2)={\psi }_{\alpha }({\epsilon }_{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}+1})=\text{psd.}{\mathrm{\Pi }}_{\omega }$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_3}(\sigma S))={\psi }_{\alpha }({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +2})$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_3}(\sigma S+1))={\psi }_{\alpha }({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +\omega })$

……

这样下去我们将会得到${\psi }_S(\sigma S+S_{\omega })={\psi }_{\alpha }({\alpha }_{\omega })$，S只需稍微发力，便能击穿整个2-投影层级。于是我们有${\psi }_S(\sigma S\times 2)=\alpha$。

类似的，我们还可以用${\psi }_S(\sigma S\times 2+\dots )$来表示3-投影层级，直到${\psi }_S(\sigma S\times 3)=\beta$，最终得到${\psi }_S(\sigma S\times \omega )=\omega -\text{Projection}$。这可以一直向上延伸到${\psi }_S({\epsilon }_{\sigma S+1})$。

因为${\psi }_S$函数不能投影S本身，所以${\psi }_S(S_{\sigma S+1})$会直接补层展开为${\psi }_S(\alpha \to {\psi }_{S_{\sigma S+1}}(\alpha )\mathrm{f}\mathrm{p}\mathrm{)}$。在这之后，因为S能够投影$\sigma S_2$，所以${\psi }_S(\sigma S_2)$会折叠${\psi }_S(f(\sigma S))$(类比${\psi }_{\alpha }({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +2})$)。于是就可以将刚才的路重走一遍：

${\psi }_S(\sigma S_2+\sigma S)$

${\psi }_S(\sigma S_2+{\psi }_{S_{\sigma S+1}}(S_{\sigma S+1}))$

${\psi }_S(\sigma S_2+{\psi }_{S_{\sigma S+1}}(\sigma S_2))$

${\psi }_S(\sigma S_2+S_{\sigma S+1})$

${\psi }_S(\sigma S_2+S_{\sigma S+\omega })$

${\psi }_S(\sigma S_2\times 2)$，这类似于一种更强的2-投影

${\psi }_S(\sigma S_2\times \omega )$

${\psi }_S(\sigma S_2\times \sigma S)$

${\psi }_S(\sigma S_2^2)$

${\psi }_S({\epsilon }_{\sigma S_2+1})$

${\psi }_S(\sigma S_3)$

这样走下去，我们将得到${\psi }_S(\sigma S_{\omega })$，这已经是四行BMS中的$(0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,2,2)$。

回忆一下在2-投影中走过的路，${\alpha }_{\omega }$之后，我们引入了3-投影。在这里，我们同样可以引入$\sigma \sigma S$（(1,2)-投影）来帮助我们走得更远。类比3-投影折叠2-投影，我们有${\psi }_{\sigma \sigma S}(\sigma S_{\sigma \sigma S+1}\times \omega )=\sigma S_{\omega }$，而${\psi }_{\sigma \sigma S}(\sigma S_{\sigma \sigma S+1}^2)$将会是(1,1)-投影的(1,1)-投影点。这样走下去，我们还会有${\psi }_{\sigma \sigma S}(\sigma S_{\sigma \sigma S+\omega })$、${\psi }_{\sigma \sigma S}(\sigma \sigma S_{\omega })$甚至是${\psi }_{\sigma \sigma S}({\psi }_{\theta S}(\sigma \theta S\times \omega ))$等等。

终结这一切的是${\psi }_S(\sigma \sigma S)$，因为$\sigma \sigma S$是${\psi }_H(H^{H+2})$，可以被S投影，所以这是一切$\psi ({\psi }_{\sigma \sigma S}(\alpha ))$的上确界。于是我们可以继续得到：

${\psi }_S(\sigma \sigma S+S)$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S))$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+{\psi }_{S_2}({\psi }_{\sigma \sigma S}(\sigma S_{\sigma \sigma S+1}\times \omega )))$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma \sigma S))$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+S_2)$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+\sigma S)$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+{\psi }_{S_{\sigma S+1}}(\sigma \sigma S))$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+S_{\sigma S+1})$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+S_{\sigma S+\omega })$

${\psi }_S(\sigma \sigma S\times 2)$

${\psi }_S(\sigma \sigma S^2)$

${\psi }_S(S_{\sigma \sigma S+1})$

${\psi }_S(\sigma S_{\sigma \sigma S+1})$

${\psi }_S(\sigma \sigma S_2)$

${\psi }_S(\sigma \sigma S_{\omega })$

${\psi }_S({\psi }_{\sigma \sigma \sigma S}(\sigma \sigma S_{\sigma \sigma \sigma S+1}^2))$

${\psi }_S({\psi }_{\sigma \sigma \sigma S}(\sigma \sigma \sigma S_{\omega }))$

${\psi }_S(\sigma \sigma \sigma S)$

${\psi }_S({\sigma }^{\omega }S)$

……

至此，向上投影已经用出了全部的(1,n)-投影，S的层级似乎已经达到了极限，于是我们继续引入(2,0)-投影$\theta S$。类似于之前的(1,0)-投影，有${\psi }_{\theta S}(\sigma \theta S\times \omega )={\sigma }^{\omega }S$。(2,0)-投影折叠到(1,0)-投影，(3,0)-投影折叠到(2,0)-投影，最后的${\theta }^{\omega }S$，已经达到了$(0)(1,1,1,1)(2,2,2,2)$。

想要打败QSS，仅仅使用(n,0)-投影是不够的。引入更强的(a,b,c,d,....)-投影，才能够打败QSS。

[WIP:(1,0,0)-投影的行为]

在 OCF 中的行为

TO DO: 在 OCF 中的行为

主词条：LPMS

枚举和强度分析

对投影序数的强度分析是极端重要的。因为投影序数类似递归记号的规则必须通过扽西才能被人理解。以下展示2-P和反射序数、稳定序数的对照关系。

在 ${\mathrm{\Omega }}_{a+1}$ 之前，a 能够折叠Ω的递归运算，直到遍历所有递归运算，抵达${\mathrm{\Omega }}_2$：

\begin{align}.\\& \psi_a(0)=\Omega \\& \psi_a(1)=\Omega\omega \\& \psi_a(\Omega)=\Omega^2 \\& \psi_a(a)=\varepsilon_{\Omega+1} \\& \psi_a(a\Omega)=\varepsilon_{\Omega2} \\& \psi_a(a^2)=\zeta_{\Omega+1} \\& \psi_a(a^a)=\Gamma_{\Omega+1} \\& \cdots \\& \psi_a(\Omega_{a+1})=\Omega_2 \\& \end{align}.

${\psi }_a({\mathrm{\Omega }}_{a+1})={\mathrm{\Omega }}_2$折叠 ${\mathrm{\Omega }}_2$ 的递归运算，每增加一个${\mathrm{\Omega }}_{a+1}$能够发挥取$\mathrm{next}\mathrm{\Omega }$的作用：

\begin{align}.\\&\psi_a(\Omega_{a+1}+a)=\varepsilon_{\Omega_2+1}\\&\psi_a(\Omega_{a+1}2)=\Omega_3\\&\psi_a(\Omega_{a+1}\omega)=\Omega_\omega\\&\psi_a(\Omega_{a+1}\Omega)=\Omega_\Omega\\&\psi_a(\Omega_{a+1}a)=\Phi(1,0)\end{align}

这里 a 开始折叠 ${\mathrm{\Omega }}_x$不动点了，而遍历完任意深度的 ${\mathrm{\Omega }}_x$ 不动点后得到的便是I了：

\begin{align}.\\& \psi_a(\Omega_{a+1}a+\Omega_{a+1})=\Omega_{\Phi(1,0)+1} \\& \psi_a(\Omega_{a+1}a2)=\Phi(1,1) \\& \psi_a(\Omega_{a+1}a^2)=\Phi(2,0) \\& \psi_a(\Omega_{a+1}a^a)=\Phi(1,0,0) \\& \psi_a(\Omega^2_{a+1})=I \\& \psi_a(\Omega^2_{a+1}+\Omega_{a+1})=\Omega_{I+1} \\& \psi_a(\Omega^2_{a+1}+\Omega_{a+1}a)=\Phi(1,I+1) \\& \psi_a(\Omega^2_{a+1}2)=I_2 \\& \end{align}.

每增加 ${\mathrm{\Omega }}_{a+1}^2$ 对应的是取 $\mathrm{next}I$；而遍历任意深度 $I_x$达到 I(1,0)，以此类推，我们有：

\begin{align}.\\& \psi_a(\Omega^2_{a+1}a)=IFP \\& \psi_a(\Omega^3_{a+1})=I(1,0) \\& \psi_a(\Omega^\omega_{a+1})=I(\omega,0) \\& \psi_a(\Omega^a_{a+1})=(2\,1{-})^{1,0} \\& \end{align}.

至此，可以得到第一个较为重要的结论：每乘以${\mathrm{\Omega }}_{a+1}$ 便相当于取一次容许点

接下来我们并没有被多元I拦住去路，而是轻松到达了M！

\begin{align}.\\& \psi_a(\Omega^a_{a+1}+\Omega^{\psi_a(\Omega^a_{a+1})}_{a+1})=\mathit{2nd}\ (2\,1{-})^{(2\,1{-})^{1,0}} \\& \psi_a(\Omega^a_{a+1}+\Omega^{\psi_a(\Omega^a_{a+1})+1}_{a+1})=(2\,1{-})^{(2\,1{-})^{1,0}+1} \\& \psi_a(\Omega^a_{a+1}2)=\mathit{2nd}\ (2\,1{-})^{1,0} \\& \psi_a(\Omega^a_{a+1}a)=(1{-})^{1,0}(2\,1{-})^{1,0} \\& \psi_a(\Omega^{a+1}_{a+1})=(2\,1{-})^{1,1} \\& \psi_a(\Omega^{a2}_{a+1})=(2\,1{-})^{2,0} \\& \cdots \\& \psi_a(\Omega^{\Omega_{a+1}}_{a+1})=M \\& \end{align}.

继续取 M的容许点

\begin{align}.\\& \psi_a(\Omega^{\Omega_{a+1}+1}_{a+1})=2\,1-2-2 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega_{a+1}+a}_{a+1})=(2\,1{-})^{1,0}2-2 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega_{a+1}+a+1}_{a+1})=(2\,1{-})^{1,1}2-2 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega_{a+1}2}_{a+1})=2-2\,1-2-2 \\& \end{align}.

每乘以${\mathrm{\Omega }}_{a+1}^{{\mathrm{\Omega }}_{a+1}+1}$便相当于取一次 $2-21-$

\begin{align}.\\& \psi_a(\Omega^{\Omega_{a+1}a}_{a+1})=(2-2\,1{-})^{1,0} \\& \psi_a(\Omega^{\Omega_{a+1}a+1}_{a+1})=2\,1-(2-2\,1{-})^{1,0} \\& \psi_a(\Omega^{\Omega_{a+1}a+\Omega_{a+1}}_{a+1})=(2-2\,1{-})^{1,1} \\& \psi_a(\Omega^{\Omega_{a+1}a2}_{a+1})=(2-2\,1{-})^{2,0} \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^2_{a+1}}_{a+1})=2-2-2 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^2_{a+1}+\Omega_{a+1}}_{a+1})=2-2\,1-2-2-2 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^2_{a+1}+\Omega_{a+1}a}_{a+1})=(2-2\,1{-})^{1,0}2-2-2 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^2_{a+1}2}_{a+1})=2-2-2\,1-2-2-2 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^2_{a+1}a}_{a+1})=(2-2-2\,1{-})^{1,0} \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^3_{a+1}}_{a+1})=2-2-2-2 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^\omega_{a+1}}_{a+1})=(2{-})^\omega \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^a_{a+1}}_{a+1})=(2{-})^{1,0} \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^{a+1}_{a+1}}_{a+1})=(2{-})^{1,1} \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^{\Omega_{a+1}}_{a+1}}_{a+1})=K \\& \end{align}.

总结一下，第二层指数乘以2对应着$X1-X$ 结构，指数乘${\mathrm{\Omega }}_{a+1}$则对应着$2-X$

接下来我将会展示这样一个结果：

第 n+1 层指数乘以2对应着 $X{\mathrm{\Pi }}_n-X$结构，乘${\mathrm{\Omega }}_{a+1}$则对应着${\mathrm{\Pi }}_{n+1}-X$

\begin{align}.\\& \psi_a(\Omega^{\Omega^{\Omega_{a+1}}_{a+1}2}_{a+1})=3\,1-3 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^{\Omega_{a+1}+1}_{a+1}}_{a+1})=2-3 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^{\Omega_{a+1}+2}_{a+1}}_{a+1})=2-2-3 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^{\Omega_{a+1}2}_{a+1}}_{a+1})=3\,2-3 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^{\Omega^{2}_{a+1}}_{a+1}}_{a+1})=3-3 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^{\Omega^2_{a+1}+1}_{a+1}}_{a+1})=2-3-3 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^{\Omega^2_{a+1}+\Omega_{a+1}}_{a+1}}_{a+1})=3\,2-3-3 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^{\Omega^2_{a+1}2}_{a+1}}_{a+1})=3-3\,2-3-3 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^{\Omega^3_{a+1}}_{a+1}}_{a+1})=3-3-3 \\& \psi_a(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\Omega_{a+1}}}_{a+1}}_{a+1})=\Pi_4 \\& \psi_a(a_2)=\psi_a(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\ddots}_{a+1}}}_{a+1})=\Pi_\omega \\& \end{align}.之前的规律接下来仍然适用

\begin{align}.\\& \psi_a(a_2+\psi_{a_2}(a_2))=\mathit{2nd}\ \Pi_\omega \\& \psi_a(a_2+\psi_{a_2}(a_2)\Omega_{a+1})=2\,1-\Pi_\omega \\& \psi_a(a_2+\psi_{a_2}(a_2)^2)=\Pi_\omega\ 1-\Pi_\omega \\& \psi_a(a_2+\psi_{a_2}(a_2)^{\Omega_{a+1}})=2-\Pi_\omega \\& \psi_a(a_2+\psi_{a_2}(a_2)^{\psi_{a_2}(a_2)})=\Pi_\omega2-\Pi_\omega \\& \psi_a(a_22)=(\Pi_\omega{-})^2 \\& \end{align}.每增加$a_2$便相当于取了一次 ${\mathrm{\Pi }}_{\omega }-$

\begin{align}.\\& \psi_a(a_2\Omega_{a+1})=\Pi_{\omega+1} \\& \psi_a(a_2\Omega_{a+1}+a_2)=\Pi_\omega-\Pi_{\omega+1} \\& \psi_a(a_2\Omega_{a+1}2)=\Pi_{\omega+1}\Pi_\omega-\Pi_{\omega+1} \\& \psi_a(a_2\Omega_{a+1}a)=(\Pi_{\omega+1}\Pi_\omega{-})^{1,0} \\& \psi_a(a_2\Omega^2_{a+1})=\Pi_{\omega+1}-\Pi_{\omega+1} \\& \end{align}.

\begin{align}.\\& \psi_a(a_2\Omega^2_{a+1}2)=\Pi_{\omega+1}-\Pi_{\omega+1}\Pi_\omega-\Pi_{\omega+1}-\Pi_{\omega+1} \\& \psi_a(a_2\Omega^3_{a+1})=(\Pi_{\omega+1}{-})^3 \\& \psi_a(a_2\Omega^{\Omega_{a+1}}_{a+1})=\Pi_{\omega+2} \\& \psi_a(a_2\Omega^{\Omega_{a+1}2}_{a+1})=\Pi_{\omega+2}\Pi_\omega-\Pi_{\omega+2} \\& \end{align}.还记得前面关于 $X{\mathrm{\Pi }}_n-X$的规律吗？在这里试着把 $a_2$ 视作第ω 层指数来理解

\begin{align}.\\& \psi_a(a_2\Omega^{\Omega_{a+1}+1}_{a+1})=\Pi_{\omega+1}-\Pi_{\omega+2} \\& \psi_a(a_2\Omega^{\Omega_{a+1}2}_{a+1})=\Pi_{\omega+2}\Pi_{\omega+1}-\Pi_{\omega+2} \\& \psi_a(a_2\Omega^{\Omega^2_{a+1}}_{a+1})=\Pi_{\omega+2}-\Pi_{\omega+2} \\& \psi_a(a_2\psi_{a_2}(a_2))=\Pi_{\omega2} \\& \psi_a(a_2\psi_{a_2}(a_2)2)=\Pi_{\omega2}\Pi_\omega-\Pi_{\omega2} \\& \psi_a(a_2\psi_{a_2}(a_2)\Omega_{a+1})=\Pi_{\omega+1}-\Pi_{\omega2} \\& \psi_a(a_2\psi_{a_2}(a_2)^2)=\Pi_{\omega2}\Pi_{\omega+1}-\Pi_{\omega2} \\& \psi_a(a_2\psi_{a_2}(a_22))=\Pi_{\omega2}-\Pi_{\omega2} \\& \end{align}.

同样地，这里可以把内层的 $a_2$ 视作第 $\omega 2$ 层指数，以此类推

\begin{align}.\\& \psi_a(a_2\psi_{a_2}(a_2\Omega_{a+1}))=\Pi_{\omega2+1} \\& \psi_a(a_2\psi_{a_2}(a_2\psi_{a_2}(a_2)))=\Pi_{\omega3} \\& \psi(a_2^2)=\Pi_{\omega2} \\& \psi_a(a_2^2+a_2\psi_{a_2}(a_2))=\Pi_{\omega2}\Pi_\omega-\Pi_{\omega2} \\& \psi_a(a_2^2+a_2\psi_{a_2}(a_2)\Omega_{a+1})=\Pi_{\omega+1}-\Pi_{\omega2}\Pi_\omega-\Pi_{\omega2} \\& \psi_a(a_2^2+a_2\psi_{a_2}(a_22))=\Pi_{\omega2}-\Pi_{\omega2}\Pi_\omega-\Pi_{\omega2} \\& \psi_a(a_2^2+a_2\psi_{a_2}(a_2^2))=\Pi_{\omega2}\Pi_\omega-\Pi_{\omega2} \\& \psi_a(a_2^2+a_2\psi_{a_2}(a_2^2)\Omega_{a+1})=\Pi_{\omega+1}-\Pi_{\omega2} \\& \psi_a(a_2^2+a_2\psi_{a_2}(a_2^2)^2)=\Pi_{\omega2}\Pi_{\omega+1}-\Pi_{\omega2} \\& \psi_a(a_2^2+a_2\psi_{a_2}(a_2^2+a_2))=\Pi_{\omega2}-\Pi_{\omega2} \\& \psi_a(a_2^2+a_2\psi_{a_2}(a_2^2+a_2\psi_{a_2}(a_2^2)))=\Pi_{\omega2}\Pi_{\omega2}-\Pi_{\omega2} \\& \psi_a(a_2^22)=(\Pi_{\omega2}{-})^2 \\& \psi_a(a_2^2\Omega_{a+1})=\Pi_{\omega2+1} \\& \psi_a(a_2^2\psi_{a_2}(a_2))=\Pi_{\omega2+\omega} \\& \psi_a(a_2^2\psi_{a_2}(a_2\psi_{a_2}(a_2)))=\Pi_{\omega2+\omega2} \\& \psi_a(a_2^2\psi_{a_2}(a_2^2))=\Pi_{\omega22} \\& \psi_a(a_2^3)=\Pi_{\omega^3} \\& \end{align}.

对应关系十分明显了，每乘以$a_2$便相当于 $\mathrm{\Pi }$下标乘以 ω

\begin{align}.\\& \psi_a(a_2^\omega)=\Pi_{\omega^\omega} \\& \psi_a(a_2^\Omega)=\Pi_\Omega \\& \psi_a(a_2^a)=\Pi_{1,0}=\lambda\alpha.(\alpha2)-\Pi_0 \\& \psi_a(a_2^a+a_2^{\psi_a(a_2^a)})=\Pi_{\Pi_{1,0}}-\lambda\alpha.(\alpha2)-\Pi_0 \\& \psi_a(a_2^a2)=(\lambda\alpha.(\alpha2)-\Pi_0{-})^2 \\& \psi_a(a_2^a\Omega_{a+1})=\lambda\alpha.(\alpha2)-\Pi_1 \\& \psi_a(a_2^a\psi_{a_2}(a_2))=\lambda\alpha.(\alpha2+1)-\Pi_0 \\& \psi_a(a_2^a\psi_{a_2}(a_2^a))=\lambda\alpha.(\alpha3)-\Pi_0 \\& \psi_a(a_2^{a+1})=\lambda\alpha.(\alpha\omega)-\Pi_0 \\& \end{align}.

每乘以$a_2$ 相当于$\lambda \alpha .()$ 内乘以ω，这个规律现在仍然成立

\begin{align}.\\& \psi_a(a_2^{a^2})=\lambda\alpha.(\alpha^2)-\Pi_0 \\& \psi_a(a_2^{\Omega_{a+1}})=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1})-\Pi_1 \\& \psi_a(a_2^{\Omega_{a+1}+1})=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}\omega)-\Pi_0 \\& \psi_a(a_2^{\Omega_{a+1}2})=\lambda\alpha.(\Omega^2_{\alpha+1})-\Pi_1 \\& \psi_a(a_2^{a_2})=\lambda\alpha.(\Gamma_{\Omega_{\alpha+1}+1})-\Pi_0 \\& \psi_a(a_2^{a_2}+a_2^{\psi_{a_2}(a_2^{a_2})})=(\lambda\alpha.(\Gamma_{\Omega_{\alpha+1}+1})-\Pi_0{-})^2 \\& \psi_a(a_2^{a_2}+a_2^{\psi_{a_2}(a_2^{a_2})+1})=\lambda\alpha.(\Gamma_{\Omega_{\alpha+1}+1}\omega)-\Pi_0 \\& \psi_a(a_2^{a_2}2)=\lambda\alpha.(\Gamma_{\Omega_{\alpha+1}+2})-\Pi_0 \\& \psi_a(\Omega_{a_2+1})=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+2})-\Pi_1 \\& \psi_a(\Omega_{a_2+1}+a_2^{a_2})=\lambda\alpha.(\Gamma_{\Omega_{\alpha+2}+1})-\Pi_0 \\& \psi_a(\Omega_{a_2+1}2)=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+3})-\Pi_1 \\& \psi_a(\Omega_{a_2+1}a)=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha2})-\Pi_0 \\& \psi_a(\Omega_{a_2+1}a_2)=\lambda\alpha.(\Phi(1,\alpha+1))-\Pi_0 \\& \psi_a(\Omega^2_{a_2+1})=\lambda\alpha.(I_{\alpha+1})-\Pi_1 \\& \psi_a(a_3)=\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_0)-\Pi_0 \\& \psi_a(a_\omega)=\omega-\pi-\Pi_0 \\& \end{align}.