Σ1稳定序数

Σ1 稳定序数是一个非递归记号。它是最初级的稳定序数。本条目介绍 $\omega -\pi -{\mathrm{\Pi }}_0$ 之前的 Σ1 稳定链的结构讲解。

前排提示：请先阅读条目反射序数。

结构讲解

反射序数的进位模式

绝大多数读者应该在学习 OCF 时第一次接触“折叠 (Collapsing) ”这个概念。在最基础的 OCF 中，我们以 ${\omega }_n^{\mathrm{C}\mathrm{K}}={\mathrm{\Omega }}_n$ 作为折叠用的序数。

递归序数与非递归序数的差距，是我们对“折叠”最直观的感受——一个序数想要“折叠”它下方的序数，前提应该是：它下方的一系列序数如何递归运算都达不到它本身。

比如， Ω 是 ω 作任何递归运算都无法得到的序数，任何的 ${\omega }^{\omega },{\epsilon }_0,\mathrm{B}\mathrm{O},\psi ({\psi }_I(0))\cdots$ 都小于 Ω。

再往上，“递归运算”好像也需要被加强。 M 看起来像是从 Ω 出发如何取容许点都得不到的序数， K 是如何取 ${\mathrm{\Pi }}_2\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}$ 都得不到的序数……

有没有什么方式，能够系统性地总结这些规律呢？

我们曾经用 $(1-{)}^{1,0}$ 定义 $\alpha \to (1-{)}^{\alpha }$ 的不动点。现在，我们尝试一种新的记法： $(1-{)}^{\alpha }=(1-{)}^{1,0}$

在这种记法中，$(1-{)}^{\alpha }$ 被定义成：$(1-{)}^{\alpha }=\{\alpha |\mathrm{\forall }\beta <\alpha ,\alpha \in (1-{)}^{\beta }\}$

右边的集合定义了一个“真不动点”，也就是这样定义出来的 ${\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{\alpha }$ 都是 $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{1,0}$ 。

这种记法定义出来的 $(1-{)}^{\alpha }$ 为 $\{{\epsilon }_0,{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots \}$。

再往上，我们还可以定义 $(1-{)}^{\alpha +1}$ ：$(1-{)}^{\alpha +1}={\mathrm{\Pi }}_1\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}(1-{)}^{\alpha }$

此处的 $(1-{)}^{\alpha }$ 和上文的定义相同。这样的定义可以规避不存在 $\alpha ={\epsilon }_{\alpha +1}$ 的问题。

以此类推，我们有：$(1-{)}^{\alpha +n}=(1-{)}^n(1-{)}^{\alpha }$

然后定义 $(1-{)}^{\alpha \times 2}$：$(1-{)}^{\alpha \times 2}=\{\alpha |\mathrm{\forall }\beta <\alpha ,\alpha \in 1-{)}^{\alpha +\beta }\}$

考虑 $(1-{)}^{\alpha +n}$ ，

当 $n={\epsilon }_0$ 的时候， $(1-{)}^{\alpha +n}$ 实际上就是 ${\epsilon }_{{\epsilon }_0}$ 这一类序数；

当 $n={\epsilon }_{{\epsilon }_0}$ 的时候， $(1-{)}^{\alpha +n}$ 则是 ${\epsilon }_{{\epsilon }_{{\epsilon }_0}}$ 之类的序数。

以此类推， $(1-{)}^{\alpha \times 2}$ 实际上就是所有 ζ 序数的真类（真类一般是一个比集合更大的概念）。

同样地， $(1-{)}^{\alpha \times 3}$ 则是 $\eta$ 序数的真类，$(1-{)}^{\alpha \times \omega }$ 则是 $\phi (\omega ,n)$ 序数的真类。

继续，还可以定义 $(1-{)}^{{\alpha }^2},(1-{)}^{{\alpha }^{\alpha }},(1-{)}^{{\epsilon }_{\alpha +1}}\cdots$

细心的读者会发现，这里的 α 实际上与 OCF 中 Ω 的行为相当相似，$\alpha \times n$ 与 $\psi ({\mathrm{\Omega }}^n)$ 起到的作用相当。

我们常说 ${\mathrm{\Pi }}_2$ 折叠 $(1-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots }$，也会说 Ω 折叠了 $\psi (n)$，而这里的 $(1-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots }$ 和 $\psi (n)$ 都可以被 $(1-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}$ 所代替，通过 α 更加复杂的递归运算，我们总能表示通过 ${\mathrm{\Pi }}_1$ 和 onto 得到的一系列真类。

在 $\psi ({\mathrm{\Omega }}_{I+1})$ 等地方，我们使用 ${\mathrm{\Omega }}_{I+1}$ 来折叠 $I,I^I,I^{I^I},\cdots$ 等 I 的递归运算。这样的做法可以扩展到更大的各种非递归序数。

那么既然诸如 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$ 这样的 α 的非递归运算可以折叠 α 的递归运算，那么我们也可以用 $(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$ 来表示一个折叠 ${\mathrm{\Pi }}_1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ 的真类，即：${\mathrm{\Pi }}_2={\mathrm{\Pi }}_1{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

又称作：${\mathrm{\Pi }}_1$ 和 ${\mathrm{\Pi }}_2$之间的进位为迭代 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$ 次进位。

这种记法是一种服务于应用的记法，想要严谨化定义它需要相当复杂的集合论和数理逻辑知识，此处不多作介绍。

同样地，按照这种记法，能够有：

$21-2=(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}2$

$2-2=(21-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

这种记法巧妙地将“取容许点”等概念化作一个序数的递归运算，从而将各种“折叠方式”统一。

这样的事实也解释了为什么我们总是用 ${\psi }_I$ 折叠 $\mathrm{\Phi }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$ 和 ${\psi }_M$ 折叠 $I(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$，而不选择用 ${\psi }_M$ 去折叠 $\mathrm{\Phi }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$：

因为 $\mathrm{\Phi }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$ 对应的刚好是 $(1-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}2$，那么折叠它的理应是 $21-2=(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}2$；$I(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$ 对应的刚好是 $(21-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}$，折叠它的理应是 $2-2=(21-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$。

以下是一些例子：

对于 $21-(2-2)$，按照 PrSS 方式展开，我们知道它是 $(1-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots }2-2$。这对应了 $(1-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}2-2$，故折叠它的是 $(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}2-2$，这个式子就是 $21-(2-2)$。

对于 $21-(21-{)}^{1,0}(2-2)$，按照 PrSS 方式展开，我们知道它是 $(1-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots }(21-{)}^{1,0}2-2$。这对应了 $(1-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}(21-{)}^{1,0}2-2$，故折叠它的是 $(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}(21-{)}^{1,0}2-2$，这个式子就是 $21-(21-{)}^{1,0}(2-2)$。

对于 $2-21-2-2$，按照 PrSS 方式展开，我们知道它是 $(21-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma \cdots }2-2$。这对应了 $(21-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}2-2$，故折叠它的是 $(21-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}2-2$，这个式子就是 $2-21-2-2$。

在反射序数的更高阶段，仍然遵从 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$ 次进位：

$2-2-2=(2-21-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

$3=(2-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

$3-3=(32-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

$4=(3-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$……

一般地，只要是基于 PrSS 规则展开的反射序数表达式，都遵循迭代 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$ 次进位。

稳定序数的定义基础

走完反射序数的长路，我们就得到了 $\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }$。如果我们对它进行一系列更强的迭代，就可以有：

${\mathrm{\Pi }}_1\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }$、${\mathrm{\Pi }}_2\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }$、${\mathrm{\Pi }}_3\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega },\cdots$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^4$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{\omega }$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{\alpha }=\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{1,0}$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{{\alpha }^{\alpha }}\cdots$

然后我们得到 $(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.){\mathrm{\Pi }}_{\omega }=\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$。

通过一些特殊手段，我们还可以定义下标超过 ω 的反射序数，比如：

${\mathrm{\Pi }}_{\omega +1}={\mathrm{\Pi }}_{\omega }{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

${\mathrm{\Pi }}_{\omega +2}={\mathrm{\Pi }}_{\omega +1}{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega \times 2}=\sup \{{\mathrm{\Pi }}_{\omega +n}|\text{<mi fromhbox="1">n</mi>}\in \omega \}$

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega \times 2}=\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega \times 2}{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$……

继续，我们还可以定义 ${\mathrm{\Pi }}_{{\omega }^{\omega }},{\mathrm{\Pi }}_{{\epsilon }_0},{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Omega }},{\mathrm{\Pi }}_I,{\mathrm{\Pi }}_{{\mathrm{\Pi }}_{\omega }},\cdots$ 一直到 $\alpha \to {\mathrm{\Pi }}_{\alpha }={\mathrm{\Pi }}_{1,0}$。

不过，我们有一个更高效的方式，那就是稳定序数。

如果 α 是 $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }$反射序数，那么 α 就是 α+1 稳定序数；

如果 α 是 $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega \times 2}$反射序数，那么 α 就是α+2 稳定序数；

……

如果 α 是 $\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{1,0}$ 反射序数，那么 α 就是 $\alpha \times 2$ 稳定序数。

稳定序数的 + 后面每后继一个序数，就对应了反射序数的 ω 个层级。这样的迭代简单而高效，且便于继续扩展。

把反射序数的各种迭代看做是 Veblen 函数，那么稳定序数就像是 OCF。

现在，让我们看一看稳定序数是如何运作的吧。

定义：α 是 β 稳定的（即 α 是 β 稳定序数）

这是一个和 α 相关的命题，在数理逻辑意义上指的是 $L_{\alpha }{\prec }_1{L}_{\beta }$（即 $L_{\alpha }$ 是 $L_{\beta }$ 的 ${\mathrm{\Sigma }}_1$ 初等子结构）。当然，现在我们不必在乎它在数理逻辑上有些什么意义。

“α 是 β 稳定的”，这里的 β 需要是比 α 更大或者相等的一些序数，比如 $\alpha +1$、$\alpha \times 2$、${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$ 之类的。此时，β 被称作 α 的稳定目标。

它是对 α 的一个很强的约束。比如如果我们想要对着一个 α 说出：“你是 α+1 稳定的！”，那它至少得是一个 ${\mathrm{\Pi }}_{\omega }$ 反射序数才行。

如果我们想要把所有 β 稳定的序数全部召集起来，就需要用到“β 稳定序数”的概念：

定义：β 稳定序数

这是一个真类， 其中包含了全部是 β 稳定序数的 α。比如 α+1 稳定序数，其中就包含了第一个 α+1 稳定序数（即 $\mathrm{1}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }$），第二个 α+1 稳定序数（即 $\mathrm{2}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }$）……

其用公式表示为：

$\lambda \alpha .(\beta )-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$ 或（在部分情况常用）：$\alpha \to \beta$.

$\lambda \alpha .(\alpha +1)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$ 指的就是 α+1 稳定序数，$\lambda \alpha .(\alpha \times 2)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$ 指的就是$\alpha \times 2$ 稳定序数。

一些习惯 作为一种约定俗成的习惯，我们常用 $\lambda \alpha .(\beta )-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$ 这个式子本身来指代其中的第一个序数。比如 $\lambda \alpha .(\alpha +1)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$ 指代 $\mathrm{1}\mathrm{s}\mathrm{t}\lambda \alpha .(\alpha +1)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$。

有些时候，我们也会用 $\alpha \to \beta$ 来指代“α 是 β 稳定的”这个命题。

然后，我们就可以用稳定序数的表达式来写出上面扩展的一系列反射序数：

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }=\lambda \alpha .(\alpha +1)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$、$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega \times 2}=\lambda \alpha .(\alpha +2)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$、$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.{\mathrm{\Pi }}_{{\omega }^2}=\lambda \alpha .(\alpha +\omega )-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$、$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.{\mathrm{\Pi }}_{{\epsilon }_0}=\lambda \alpha .(\alpha +{\epsilon }_0)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$、$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Omega }}=\lambda \alpha .(\alpha +\mathrm{\Omega })-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$、$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.{\mathrm{\Pi }}_{1,0}=\lambda \alpha .(\alpha \times 2)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$

不过，稳定序数的“步子”好像迈得有点大了。如果我们想要表示 ${\mathrm{\Pi }}_{\omega +1}$，乃至 $1-{\mathrm{\Pi }}_{\omega +1}$ 等反射序数，需要怎么办？

为了解决这样的问题，我们引入稳定序数的“迭代计数器”：

定义：$\lambda \alpha .(X)-{\mathrm{\Pi }}_{\beta }$ 表达式

对于一个 $\lambda \alpha .(X)-{\mathrm{\Pi }}_{\beta }(\beta <\omega )$ 表达式，α 是我们正在讨论的稳定序数； X 是 α 的稳定目标。这个表达式总是指代一个真类。

当 $\beta =1$，即 $\lambda \alpha .(X)-{\mathrm{\Pi }}_1$ 时，它指代的就是 $\lambda \alpha .(X)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$。

当 $\beta >1$，设 $\beta =\gamma +1$，则 $\lambda \alpha .(X)-{\mathrm{\Pi }}_{\gamma +1}=\lambda \alpha .(X)-{\mathrm{\Pi }}_{\gamma }{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$。

当 $\beta =0$，即 $\lambda \alpha .(X)-{\mathrm{\Pi }}_0$ 时，我们习惯用它来省略 psd. 。

比如，$\lambda \alpha .(\alpha +1)-{\mathrm{\Pi }}_0=\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.\lambda \alpha .(\alpha +1)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}=\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }$。

一般来说，$\lambda \alpha .(X+1)-{\mathrm{\Pi }}_0=\sup \{\lambda \alpha .(X)-{\mathrm{\Pi }}_n|n<\omega \}$

这样的定义粗浅一看可能比较难懂，我们用它与扩展反射序数的分析来协助理解。

\begin{align} &\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_0=\mathrm{psd}.\Pi_\omega\\ &\mathrm{2nd}.\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_0=\mathrm{2nd}.\mathrm{psd}.\Pi_\omega\\ &\Pi_1\ \mathrm{onto}\ \lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_0=\Pi_1\ \mathrm{onto}\ \mathrm{psd}.\Pi_\omega\\ &\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_0\ \mathrm{onto}^2=\mathrm{psd}.\Pi_\omega\ \mathrm{onto}^2\\ &\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_1=\mathrm{real}.\Pi_{\omega}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_2=\Pi_{\omega+1}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_3=\Pi_{\omega+2}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+2)-\Pi_0=\mathrm{psd}.\Pi_{\omega×2}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+2)-\Pi_1=\mathrm{real}.\Pi_{\omega×2}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+2)-\Pi_2=\Pi_{\omega×2+1}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+2)-\Pi_3=\Pi_{\omega×2+2}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+3)-\Pi_0=\mathrm{psd}.\Pi_{\omega×3}\\ &\cdots\\ \end{align}

在上面的分析中，我们可以注意到几个细节。

首先，我们可以像 ${\mathrm{\Pi }}_1\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}{\mathrm{\Pi }}_{\omega }$ 一样，对一个稳定序数的真类做 ${\mathrm{\Pi }}_1\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}$ 操作，乃至于做 $\lambda \alpha .(\alpha +1)-{\mathrm{\Pi }}_0\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}$ 操作。这样的操作保证了我们可以在使用稳定表达式的同时兼顾细致地分析。

其次，稳定表达式后的 $-{\mathrm{\Pi }}_n$ 计数器可以和反射序数很好地的对应。$-{\mathrm{\Pi }}_n$ 每进位一次，就对应了反射序数进位一次。

现在我们完成了定义稳定序数的基础。接下来，就可以正式进入单段稳定链的世界了。

${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$ 稳定及以前的单段稳定链

从 $\lambda \alpha .(\alpha +1)-{\mathrm{\Pi }}_0$ 开始，稳定目标的每一次后继对应了反射序数的 ω 个层次：

$\lambda \alpha .(\alpha +n)-{\mathrm{\Pi }}_1={\mathrm{\Pi }}_{\omega \times n}$。从 n=1 开始，我们可以不断增加 n 的大小。

\begin{align} &\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_1=\Pi_{\omega}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+\omega)-\Pi_1=\Pi_{\omega^2}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+\varepsilon_0)-\Pi_1=\Pi_{\varepsilon_0}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+\Omega)-\Pi_1=\Pi_{\Omega}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+I)-\Pi_1=\Pi_{I}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+M)-\Pi_1=\Pi_{M}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+K)-\Pi_1=\Pi_{K}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_1)-\Pi_1=\Pi_{\Pi_\omega}\\ &\lambda\alpha.(\alpha+\lambda\alpha.(\alpha+\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_1)-\Pi_1)-\Pi_1=\Pi_{\Pi_{\Pi_\omega}}\\ \end{align}

当我们迭代到 $\beta \to \lambda \alpha .(\alpha +\beta )-{\mathrm{\Pi }}_1$ 的不动点时，就得到了：$\lambda \alpha .(\alpha \times 2)-{\mathrm{\Pi }}_0$

此处的 $\alpha \times 2$ 可以理解为：α 的稳定目标是 $\alpha +\alpha$ 本身，就像是 ${\epsilon }_0$ 满足 $\alpha ={\omega }^{\alpha }$ 一样。

但作为一个不动点，它并非真正的 $\alpha \times 2$ 稳定序数，就像是 OFP 不是I一样。想要得到真正的 $\alpha \times 2$ 稳定序数，还需要再迭代 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$ 次。

$\lambda \alpha .(\alpha \times 2)-{\mathrm{\Pi }}_1=\lambda \alpha .(\alpha \times 2)-{\mathrm{\Pi }}_0{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

在 $\lambda \alpha .(\alpha \times 2)-{\mathrm{\Pi }}_1$ 的基础上，可以继续迭代出一个不动点：

\begin{align} &\lambda\alpha.(\alpha\times2)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\alpha\times2+1)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\alpha\times2+\omega)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\alpha\times2+\Omega)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\alpha\times2+\lambda\alpha.(\alpha+1)-\Pi_1)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\alpha\times2+\lambda\alpha.(\alpha\times2)-\Pi_1)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\alpha\times2+\lambda\alpha.(\alpha\times2+\lambda\alpha.(\alpha\times2)-\Pi_1)-\Pi_1)-\Pi_1\\ \end{align}

类似地，$\beta \to \lambda \alpha .(\alpha \times 2+\beta )-{\mathrm{\Pi }}_1$ 的不动点是 $\lambda \alpha .(\alpha \times 3)-{\mathrm{\Pi }}_0$

以此类推，还有：

\begin{align} &\beta\rightarrow\lambda\alpha.(\alpha\times3+\beta)-\Pi_1=\lambda\alpha.(\alpha\times4)-\Pi_0\\ &\beta\rightarrow\lambda\alpha.(\alpha\times4+\beta)-\Pi_1=\lambda\alpha.(\alpha\times5)-\Pi_0\\ &\beta\rightarrow\lambda\alpha.(\alpha\times\omega+\beta)-\Pi_1=\lambda\alpha.(\alpha\times(\omega+1))-\Pi_0\\ &\beta\rightarrow\lambda\alpha.(\alpha\times\beta)-\Pi_1=\lambda\alpha.(\alpha^2)-\Pi_0\\ &\beta\rightarrow\lambda\alpha.(\alpha^2\times\beta)-\Pi_1=\lambda\alpha.(\alpha^3)-\Pi_0\\ &\beta\rightarrow\lambda\alpha.(\alpha^\beta)-\Pi_1=\lambda\alpha.(\alpha^\alpha)-\Pi_0\\ \end{align}

α 在此处的行为与 OCF 中的 Ω 几乎一致。

就像是 Ω 在 OCF 中迭代 ${\psi }_{\mathrm{\Omega }}$ 的不动点一样，α 在此处也会迭代各种 $\lambda \alpha .()-{\mathrm{\Pi }}_n$ 的不动点。

一般地，对于常见的运算~（包括加法、乘法、乘方和 Veblen 函数），$\lambda \alpha .(X\sim \alpha )-{\mathrm{\Pi }}_0=\beta \to \lambda \alpha .(X\sim \beta )-{\mathrm{\Pi }}_1$

一些习惯 对于这些运算来说，我们在用文字描述可以将其中的自变量略去。比如对于 $\lambda \alpha .(\alpha +1)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$，我们可以将其简写为 $(+1)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$ 或 +1 稳定序数。

之所以强调加法、乘法、乘方和 Veblen 函数，是对于这些运算，我们已然约定好它们的行为。它们有固定的运算顺序：

在 $\lambda \alpha .(X\sim \alpha )-{\mathrm{\Pi }}_0$ 中，不动点所作用的变量位置，是得到 $X\sim \alpha$ 所取上确界对应的变量位置。

而对于其他更广泛的递归函数，它们的运算方式千奇百怪，我们也无法直接确定它们在稳定序数中是如何运作的。如果有读者对投影序数有过了解，那应该能够意识到这个问题类似于投影序数不良定义问题。

不过，下面这个序数的存在可以让我们从应用的角度做出弥补：$\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1})-{\mathrm{\Pi }}_1$

${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$ 要强过任意的 α 递归运算，而这个序数也自然强过任意的 $\lambda \alpha .(f(\alpha ))-{\mathrm{\Pi }}_1$，其中 α 是递归函数。

对于作为应用的稳定序数来说，我们一般只关心它在 OCF 中的表现。我们只需要定义好 ${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$ 对应的 OCF ，就可以定义 $\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1})-{\mathrm{\Pi }}_1$在OCF中是如何折叠的。（尽管这个 OCF 也比较难以定义）。

考虑 $\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1})-{\mathrm{\Pi }}_1$ 的 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$ 次迭代，我们得到了：

$\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1})-{\mathrm{\Pi }}_1{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$ 即 $\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1})-{\mathrm{\Pi }}_2$

完整的一段稳定链

在这里，我们将会遇到 Non-Gandy 现象（见下文）。我们接下来介绍的是忽略它的版本，称为 p.f.e.c 稳定。

在 $\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1})-{\mathrm{\Pi }}_2$ 的基础上，我们继续迭代 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$ 次，可以得到：

\begin{align} &\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1})-\Pi_3=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1})-\Pi_2\ \mathrm{onto}^{\Omega_{\alpha+1}}\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1})-\Pi_4=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1})-\Pi_3\ \mathrm{onto}^{\Omega_{\alpha+1}}\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}+1)-\Pi_0=\sup\{ \lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1})-\Pi_n\ |\ n<\omega\}\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}+1)-\Pi_1=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}+1)-\Pi_0\ \mathrm{onto}^{\Omega_{\alpha+2}}\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}+\omega)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}+\alpha)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}\times2)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}^2)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}^\alpha)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1}^{\Omega_{\alpha+1}})-\Pi_1\\ \end{align}

然后我们可以继续将 α 稳定到 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +2}$……

这样的行为可以一直持续下去，一直稳定到 α 后的各种反射序数。

\begin{align} &\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+\omega})-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha\times2})-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha^2})-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha^\alpha})-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\varepsilon_{\alpha+1}})-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\Omega_{\alpha+1}})-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\Omega_{\Omega_{\alpha+1}}})-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\Phi(1,\alpha+1))-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(I_{\alpha+1})-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(M_{\alpha+1})-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(K_{\alpha+1})-\Pi_1\\ &\cdots \end{align}

一些习惯 对于那些稳定目标 X 不是容许序数的稳定序数来说，比如 $\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +\omega })-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$，我们可以通过取上确界的方式来定义一个 $\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +\omega })-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$；

但如果稳定目标 X 是容许序数，比如 $\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1})-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$，我们一般没有比较良好的$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}.\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1})-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$ 定义。故会有 $\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +\omega })-{\mathrm{\Pi }}_0$的存在，但没有 $\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1})-{\mathrm{\Pi }}_0$ 的存在。

这些序数在 OCF 中也会经历相当复杂的折叠。以 $\lambda \alpha .(M_{\alpha +1})-{\mathrm{\Pi }}_1$ 为例，它需要先利用 ${\psi }_{M_{\alpha +1}}$ 函数折叠出 $\lambda \alpha .(I(\beta ,\gamma ,\delta ,\cdots ,\alpha +1))-{\mathrm{\Pi }}_1$ 之类的稳定序数，然后这些稳定序数再经过多次折叠得到更细节化的运算。

当然，和 ${\psi }_M$ 函数一样，它们并没有一个公认的折叠方式，而一切由你。你可以选择最适合自己的折叠法。

在将稳定目标升级为 α 后的各种反射序数后，稳定序数 α 的强度也不断升级。而如果我们需要在反射序数之后再进一步，就需要用到两段稳定链了。

多段稳定链

从现在开始，除了使用下标表示“第 n 个”（比如 ${\mathrm{\Omega }}_n$ ），我们还会选择使用在表达式右端添加 [n] 的方式来从“第 0 个”开始表示。比如 $\lambda \alpha .(\alpha +1)-{\mathrm{\Pi }}_1[0]$ ，指的就是 $\mathrm{1}\mathrm{s}\mathrm{t}\lambda \alpha (\alpha +1)-{\mathrm{\Pi }}_1$ 这个序数。

假设稳定目标是 α 后的第一个 $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }$ 反射序数，即 $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}.{\mathrm{\Pi }}_{\omega }[\alpha +1]$，那么它同时也是 α 后的第一个 +1 稳定序数。此时的稳定链可以表示成这样：

$\alpha \to \beta \to \beta +1$，即 α 稳定到 β，而 β 稳定到 β+1 。稳定链的段数变为 2 。

对于这样的多段稳定链，我们用公式表示如下：

$\alpha \to \beta \to X=\lambda \alpha .(\lambda \beta .(X)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e})-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$

而上面提到的那个稳定序数就是 $\lambda \alpha .(\lambda \beta .(\beta +1)-{\mathrm{\Pi }}_1)-{\mathrm{\Pi }}_1$

此处再次涉及到稳定序数的定义问题。多段稳定链有许多定义方式，如果使用序数式的定义方式，那么根据稳定序数的其中一个数理逻辑性质（传递性），会导致下列以及类似的问题：

$\lambda \alpha .(\lambda \beta .(\beta +1)-{\mathrm{\Pi }}_1)-{\mathrm{\Pi }}_1=\lambda \alpha .(\lambda \beta .(\beta +1)-{\mathrm{\Pi }}_1+1)-{\mathrm{\Pi }}_1$

这样的性质对于稳定序数的使用者来说是不友好的。而通过另一种定义方式（函数式），我们可以规避这样的问题。但函数式定义具有可扩展性差的缺点。

本条目采用类似于函数式的定义方式，即认为：$\lambda \alpha .(\lambda \beta .(\beta +1)-{\mathrm{\Pi }}_1+1)-{\mathrm{\Pi }}_0=\sup \{\lambda \alpha .(\lambda \beta .(\beta +1)-{\mathrm{\Pi }}_1)-{\mathrm{\Pi }}_n|n<\omega \}$

于是我们可以继续得到更大的稳定序数。

\begin{align} &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1+2)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1+\omega)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1+\alpha)-\Pi_0=\beta\rightarrow\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1+\beta)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1+\Omega_{\alpha+1})-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1+I_{\alpha+1})-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1+M_{\alpha+1})-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1+K_{\alpha+1})-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1\times2)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1\times3)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1\times\omega)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1\times\alpha)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1\times\Omega_{\alpha+1})-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1\times K_{\alpha+1})-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.((\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1)^2)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.((\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1)^\omega)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\varepsilon_{\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1+1})-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\Omega_{\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1+1})-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(K_{\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1+1})-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1[\alpha+2])-\Pi_1\\ \end{align}

当其内层后缀为 $-{\mathrm{\Pi }}_1$ 时，其为 +1 稳定序数而必为容许序数，故不存在对应良好的 psd. ，所以不会出现内层为 $-{\mathrm{\Pi }}_1$ 而外层为 $-{\mathrm{\Pi }}_0$ 的情况。但如果其经过一些递归运算，如 $\lambda \beta .(\beta +1)-{\mathrm{\Pi }}_1+1$，此时内层为非容许序数，外层可以是 $-{\mathrm{\Pi }}_0$。

在内层出现 α 的地方，如 $\lambda \alpha .(\lambda \beta .(\beta +1)-{\mathrm{\Pi }}_1+\alpha )-{\mathrm{\Pi }}_0$，是 $\gamma \to \lambda \alpha .(\lambda \beta .(\beta +1)-{\mathrm{\Pi }}_1+\gamma )-{\mathrm{\Pi }}_1$ 的不动点。

这类似于 $\psi ({\mathrm{\Omega }}_2+{\psi }_1({\mathrm{\Omega }}_2+\mathrm{\Omega }))=\psi ({\mathrm{\Omega }}_2+{\psi }_1({\mathrm{\Omega }}_2+\psi ({\mathrm{\Omega }}_2+{\psi }_1({\mathrm{\Omega }}_2+(\cdots )))))$。

然后我们可以对内层的 $\lambda \beta .(\beta +1)-{\mathrm{\Pi }}_1$ 稳定式进行迭代。

\begin{align} &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1[\alpha+2])-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1[\alpha+3])-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\Pi_1\ \mathrm{onto}\ \lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\Pi_2\ \cap\ \Pi_1\ \mathrm{onto}\ \lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\Pi_\omega\ \cap\ \Pi_1\ \mathrm{onto}\ \lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\Pi_2\ \mathrm{onto}\ \lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\Pi_3\ \mathrm{onto}\ \lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\mathrm{psd}.\Pi_\omega\ \mathrm{onto}\ \lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1\ \mathrm{onto}^2)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1\ \mathrm{onto}^\omega)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1\ \mathrm{onto}^\alpha)-\Pi_1\\ \end{align}

此处我们要注意内层迭代次数的细节。对于内层的 $\lambda \beta .(\beta +1)-{\mathrm{\Pi }}_1$ 来说，它需要迭代 ${\mathrm{\Omega }}_{\beta +1}$ 次才能进位：

\begin{align} &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1\ \mathrm{onto}^{\Omega_{\alpha+1}})-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1\ \mathrm{onto}^{K_{\alpha+1}})-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1\ \mathrm{onto}^{\lambda\beta_2.(\beta_2+1)-\Pi_1})-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1\ \mathrm{onto}^{\lambda\beta_2.(\beta_2+1)-\Pi_1\mathrm{onto}^{\alpha}})-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1\ \mathrm{onto}^\beta)-\Pi_1\\ \end{align}

然后得到：

$\lambda \alpha .(\lambda \beta .(\beta +1)-{\mathrm{\Pi }}_1{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\beta +1}})-{\mathrm{\Pi }}_1=\lambda \alpha .(\lambda \beta .(\beta +1)-{\mathrm{\Pi }}_2)-{\mathrm{\Pi }}_1$

此后就是和单段稳定链十分相似的一些迭代了。

\begin{align} &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_3)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+2)-\Pi_0)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+2)-\Pi_1)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+\omega)-\Pi_0)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+\alpha)-\Pi_0)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+\Omega_{\alpha+1})-\Pi_0)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+K_{\alpha+1})-\Pi_0)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta+\lambda\beta.(\beta+1)-\Pi_1)-\Pi_0)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta\times2)-\Pi_0)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta\times\omega)-\Pi_0)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta^2)-\Pi_0)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\beta^\beta)-\Pi_0)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\varepsilon_{\beta+1})-\Pi_0)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\Omega_{\beta+1})-\Pi_1)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\Omega_{\beta+\omega})-\Pi_0)-\Pi_0\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(I_{\beta+1})-\Pi_1)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(M_{\beta+1})-\Pi_1)-\Pi_1\\ &\lambda\alpha.(\lambda\beta.(K_{\beta+1})-\Pi_1)-\Pi_1\\ &\cdots \end{align}

当 $\lambda \beta$ 的层级中，稳定目标也到了“β 的下一个稳定序数”，稳定链长度就再次被延伸。

$\alpha \to \beta \to \gamma \to \gamma +1=\lambda \alpha .(\lambda \beta .(\lambda \gamma .(\gamma +1)-{\mathrm{\Pi }}_1)-{\mathrm{\Pi }}_1)-{\mathrm{\Pi }}_1$，此时稳定链的长度为 3 。

$\alpha \to \beta \to \gamma \to \delta \to \delta +1=\lambda \alpha .(\lambda \beta .(\lambda \gamma .(\lambda \delta .(\delta +1)-{\mathrm{\Pi }}_1)-{\mathrm{\Pi }}_1)-{\mathrm{\Pi }}_1)-{\mathrm{\Pi }}_1$，此时稳定链的长度为 4 。

定义：$n-\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{y}-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$

我们用 $n-\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{y}-\beta -\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$ 或 $n-\pi -\beta -{\mathrm{\Pi }}_m$ 来表示n 段长度，顶端为 β 的稳定链。

比如 $\alpha \to \beta \to \gamma \to \gamma +1$ 可以记作 $3-\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{y}-(+1)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}=3-\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{y}-(+1)-{\mathrm{\Pi }}_1$

当我们使用 $n-\pi -\beta -{\mathrm{\Pi }}_m$ 时，右侧的 $-{\mathrm{\Pi }}_m$ 计数最内层稳定的迭代。比如：$3-\pi -(+1)-{\mathrm{\Pi }}_2=\lambda \alpha .(\lambda \beta .(\lambda \gamma .(\gamma +1)-{\mathrm{\Pi }}_2)-{\mathrm{\Pi }}_1)-{\mathrm{\Pi }}_1$

如果是 $-{\mathrm{\Pi }}_0$ ，则意为全部计数器都为 $-{\mathrm{\Pi }}_0$；否则除顶端外的计数器默认为 $-{\mathrm{\Pi }}_1$。如：$3-\pi -(+1)-{\mathrm{\Pi }}_0=\lambda \alpha .(\lambda \beta .(\lambda \gamma .(\gamma +1)-{\mathrm{\Pi }}_0)-{\mathrm{\Pi }}_0)-{\mathrm{\Pi }}_0$

接下来，稳定链的长度不断延伸。

取所有 $n-\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{y}-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$ 的上确界，我们便得到了：$\omega -\pi -{\mathrm{\Pi }}_0$。这也是有限长度 ${\mathrm{\Sigma }}_1$ 稳定的终点。

Non-Gandy 现象

下文中，${\omega }_{\alpha +1}^{\mathrm{C}\mathrm{K}}$ 写作 ${\alpha }^{\mathrm{C}\mathrm{K}}$ 意为 α 的下一个容许序数； ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$和 ${\delta }_{\alpha }$（见下文定义）或 ${\alpha }^{+}$ 意为 α 的下一个非递归序数。

从 $\lambda \alpha .({\alpha }^{\mathrm{C}\mathrm{K}})-{\mathrm{\Pi }}_2$ 开始，非递归序数和容许序数分道扬镳。事实上，$\lambda \alpha .({\alpha }^{\mathrm{C}\mathrm{K}})-{\mathrm{\Pi }}_2$ 的下一个非递归序数小于他的下一个容许序数，即 ${\omega }_{\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1})-{\mathrm{\Pi }}_2+1}^{\mathrm{C}\mathrm{K}}>{\mathrm{\Omega }}_{\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1})-{\mathrm{\Pi }}_2+1}$

我们需要在此明确两个概念：

${\mathrm{\Pi }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 序数：一个可数序数 α 是 ${\mathrm{\Pi }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 的当且仅当它是 $({\alpha }^{\mathrm{C}\mathrm{K}})-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$ 的。

${\mathrm{\Sigma }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 序数：一个可数序数 α 是 ${\mathrm{\Sigma }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 的，与它满足以下性质等价：

（1）$\alpha \in \lambda \alpha .({\alpha }^{\mathrm{C}\mathrm{K}})-{\mathrm{\Pi }}_2$ ；

（2）α 是 Non-Gandy 序数。

与此同时，一个序数被称作是 Non-Gandy 的，即它的下一个非递归序数与它的下一个容许序数不相等；反之，它则是 Gandy 的。

${\mathrm{\Pi }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 和 ${\mathrm{\Sigma }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 互不蕴含对方。

${\mathrm{\Sigma }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 序数都稳定到它的下一个非递归序数，但未必稳定到它的下一个容许序数。

如果一个序数是 $\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1})-{\mathrm{\Pi }}_1$ 的，它可能是 ${\mathrm{\Pi }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 或 ${\mathrm{\Sigma }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 其中之一的；

如果一个序数是 $\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1})-{\mathrm{\Pi }}_2$ 的，它必定是 ${\mathrm{\Sigma }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 的。

从 ${\sigma }_1^1=\lambda \alpha .({\alpha }^{\mathrm{C}\mathrm{K}})-{\mathrm{\Pi }}_2$ 开始，真正的稳定序数的迭代变得诡谲。上文所说的进位规律仍然成立，然而我们有这样的事实：

（HypCos 的定义）我们较为严谨地定义 α 的下一个非递归序数 ${\delta }_{\alpha }$ 或 $\delta (\alpha )$ 为：$\sup \{\text{从}{L}_{\alpha }\text{出发，由无参数}{\mathrm{\Sigma }}_1\text{公式所得良序的序型}\}$

如果 α 是 ${\mathrm{\Sigma }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 的，那么 ${\alpha }^{\mathrm{C}\mathrm{K}}=\delta (\delta (\alpha ))$ ；

如果 α 是 ${\mathrm{\Sigma }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}{\mathrm{\Sigma }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 的，那么${\alpha }^{\mathrm{C}\mathrm{K}}=\delta (\delta (\delta (\alpha )))$；

以此类推，假如 α 是 ${\mathrm{\Sigma }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^{\omega }$ 的，那么 ${\alpha }^{\mathrm{C}\mathrm{K}}={\delta }^{\omega +1}(\alpha )$。

一般地，如果 α 是 ${\mathrm{\Sigma }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}}^n$ 的，那么 ${\alpha }^{\mathrm{C}\mathrm{K}}={\delta }^{n+1}(\alpha )$。

把 ${\mathrm{\Pi }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 记作 $\pi$，${\mathrm{\Sigma }}_1^1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 记作 $\sigma$，有一些基本确定的分析（左侧为 admissible 稳定，右侧为 p.f.e.c. 稳定）

\begin{align} &\pi=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1})-\Pi_1\\ &\sigma=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1})-\Pi_2\\ &\sigma\wedge\pi=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+2})-\Pi_1\\ &\sigma-\sigma=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+2})-\Pi_2\\ &\sigma-\sigma-\sigma=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+3})-\Pi_2\\ &\sup\{\sigma-^n\ |\ n\in\omega\}=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+\omega})-\Pi_0\\ &\sigma-^\omega=\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+\omega})-\Pi_1\\ &… \end{align}

目前 googology 社区主流的猜测为 $\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{d}\mathrm{o}.\omega -\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{y}-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}(\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e})={\psi }_{\alpha }(\omega -\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n})=(1,1,1)(2,2,2,1)$，末位为非递归BMS的表达式。