稳定序数

定义

$L_{α}$ 是 $L_{β}$ 的 $Σ_{n}$ 初等子结构，如果任取 $Σ_{n}$ 公式 $φ$ 均有单射 $j$ 满足 $L_{α} ⊨ φ (x_{1}, x_{2}, \dots)$ 等价于 $L_{β} ⊨ φ (j (x_{1}), j (x_{2}), \dots)$ ，也称其为 $L_{α} Σ_{n} 稳定到 L_{β}$ 。

除此外，我们还有 $L_{α}$ 是 $L_{β} - Π_{n} -反射$ 用于表达一些精细的层级，其中 $L_{α} Σ_{1} 稳定到 L_{β}$
（如未特别说明，下文的稳定到均为 $Σ_{1}$ 稳定到）

函数式定义：

$L_{α}$ 是 $L_{f (α)} - Π_{n}$ 反射 onto $X$ ，当且仅当对于任意 $Π_{n}$ 公式 $φ$ 及参数 $γ \in L_{α}$ 、 $γ^{'} \in L_{α^{'}}$ （其中 $α^{'} \in α \cap X$ ），有 $L_{f (α)} ⊨ φ (α, γ) \to L_{f (α^{'})} ⊨ φ (α^{'}, γ^{'})$ 。

序数式定义：

$L_{α}$ 是 $L_{β} - Π_{n}$ 反射 onto $X$ ，当且仅当对于任意 $Π_{n}$ 公式 $φ$ 及参数 $γ \in α$ 、 $γ^{'} \in α^{'}$ （其中 $β^{'} \in α$ 且 $α^{'} \in α \cap X$ ），有 $L_{β} ⊨ φ (α, γ) \to L_{β^{'}} ⊨ φ (α^{'}, γ^{'})$ 。

关于函数式定义，由于 $ω$ -ply 的顶点下成员均为 $ω$ -ply，这会触发 $f$ 与 $α$ 的某种不动点，导致无法继续推进。

结构讲解

参见词条 Σ1 稳定序数、方括号稳定。

枚举

稳定序数有如下路径：

$β = \min α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1} = psd. Π_{ω}$

$β = \sup_{n \in ω} {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}} = \min Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in ω^{2}} {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}} = \min Π_{1} onto Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in β} {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}} = \min Π_{1} {onto}^{(1, 0)} {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in β} {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}} (β \in Π_{2}) = \min Π_{2} \cap Π_{1} {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in ω} {α : Π_{2} \cap Π_{1} onto {L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}} = \min Π_{1} onto Π_{2} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in β} {α : Π_{2} \cap Π_{1} onto {L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}} (β \in Π_{2}) = \min Π_{2} \cap Π_{1} onto Π_{2} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in β} {α : {n : Π_{2} \cap Π_{1} {onto}^{n} {L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}} = \min Π_{2} \cap Π_{1} {onto}^{(1, 0)} {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in β} {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}} (β \in Π_{2} onto Π_{2}) = \min (Π_{2} onto Π_{2}) \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in β} {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}} (β \in Π_{3}) = \min Π_{3} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in β} {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}} (L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}) = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}} (β \in Π_{n})$

$β = \sup_{n \in ω} {α : {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}} = \min Π_{1} onto {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in β} {α : {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}} (β \in Π_{2}) = \min Π_{2} \cap Π_{1} onto {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in β} {α : {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}} (L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}) = \min {γ : L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + 1}} \cap Π_{1} onto {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in β} {α : {n : ({β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} \cap Π_{1} onto)^{n}}} = \min ({β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} \cap Π_{1} onto)^{(1, 0)}$

$β = \min Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}})$

$β = \sup_{n \in β} {α : Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}} = \min Π_{1} {onto}^{(1, 0)} Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in β} {α : Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}} (β \in Π_{2}) = \min Π_{2} \cap Π_{1} onto Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in β} {α : Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}} (L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}) = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} \cap Π_{1} onto Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in β} {α : Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}} (β \in Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}) = \min Π_{2} onto {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} \cap Π_{1} onto Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \sup_{n \in β} {α : {x : (Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}) \cap Π_{1} onto)^{x}}} = \min (Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}} \cap Π_{1} onto)^{(1, 0)}$

$β = \min Π_{2} onto Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}} (β \in Π_{3}) = \min Π_{3} \cap Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}} (L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}) = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} \cap Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \min Π_{3} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1} \land L_{α} = \min L_{α + 1} - Π_{2}})$

$β = \min ({β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} onto)^{(1, 0)} {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1} \land L_{α} = \min L_{α + 1} - Π_{2}})$

$β = {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1} \land L_{α} = L_{α + 1} - Π_{2}}) (β \in {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1} \land L_{α} = L_{α + 1} - Π_{2}}) = \min {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1} \land L_{α} = L_{α + 1} - Π_{2}} \cap {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} onto {γ : L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + 1} \land L_{γ} = L_{γ + 1} - Π_{2}}$

$β = \min {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1} \land L_{α} = L_{α + 1} - Π_{2}} onto {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1} \land L_{β} = L_{β + 1} - Π_{2}}$

$β = \min ({α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1} \land L_{α} = L_{α + 1} - Π_{2}} onto)^{(1, 0)}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} (L_{β} = L_{β + 1} - Π_{3})$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{2}} L_{β + 1}} (L_{β} = L_{β + 1} - psd. Π_{ω})$ $β = \min Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 2}} \cap Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 2}}$

$β = \min Π_{3} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 2}}$

$β = \min {γ : L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + 2}} \cap {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1} \land L_{β} = L_{β + 1} - Π_{2}} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 2}} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 2} \land L_{β} = L_{β + 2} - Π_{2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 3} \land L_{β} = L_{β + 2} - psd. Π_{ω}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + ω}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β \times 2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + α + 1}} (α = \min {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α \times 2}})$

$β = 2nd {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β \times 2}}$

$β = \min Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α \times 2}}$

$β = \min Π_{2} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α \times 2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + γ}} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α \times 2}} (γ = \min {γ : L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ \times 2}})$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + γ}} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α \times 2}} (γ 是上一条中的 β)$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β \times 2}} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α \times 2}}$

$β = \min Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α \times 2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α \times 2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + γ}} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α \times 2}} (γ = \min {γ : L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ \times 2}})$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β \times 2}} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α \times 2}}$

$β = \min {β : L_{β} = L_{β \times 2} - Π_{2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β \times 2 + 1}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β^{2}}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{Ω_{β + 1}}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ} \land L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + 1}} (L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + 1})$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + 1} \land L_{β} = L_{γ + 1} - Π_{2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + 1} \land L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + 2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + 1} \land L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + ω}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + 1} \land L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ \times 2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + 1} \land L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{Ω_{γ + 1}}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + 1} \land L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}} (γ < α)$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ_{n}} ≺_{Σ_{1}} L_{γ_{n} + 1}} (γ = \min Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}})$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ}} (γ = \min Π_{1} onto Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}})$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ}} (γ = \min Π_{2} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}})$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ}} (γ = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} \cap Π_{1} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}})$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ}} (γ = \min Π_{2} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}})$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ}} (γ = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{β + 1}} onto {α : L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{α + 1}})$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ}} (L_{γ} = L_{γ + 1} - Π_{2})$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + 2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ + β}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{γ \times 2}}$

$β = \min {β : L_{β} ≺_{Σ_{1}} L_{γ} ≺_{Σ_{1}} L_{ζ} ≺_{Σ_{1}} L_{ζ + 1}}$

$β = \min {β : L_{β_{x}} ≺_{Σ_{1}} L_{β_{x + 1}} (\forall n \in ω (β_{n} = ω -ply))$

到达常规稳定链的终点，在此后需要涉及更高阶的反射。

与 BMS 的关系

Racheline 证明 BMS 良序的文章中，给出了 BMS 到 $Σ_{n}$ -稳定的一个单射。

我们把 BMS 中第 n 行的父项关系记作 <n，每个列当成一个单独的序数。如此翻译，就得到了一个 $Σ_{n}$ 稳定的表达式。

如 $(0, 0) (1, 1)$ ，(0,0) 记作 α，(1,1) 记作 β，注意到第一行上 $α < 1 β$ ，第二行上 $α < 2 β$ ，翻译过来可只写 $α < 2 β$ 。

又如 $(0, 0) (1, 1) (2, 1)$ 翻译成 $a < 2 (b, c), b < 1 c$ 。

又如 $(0, 0) (1, 1) (2, 1) (3, 1) (1, 1) (2, 1) (3, 0) (4, 1) (5, 1) (6, 1)$ ，翻译成 $a < 2 (b, c, d, e, f), b < 1 c < 1 d, b, c, d \in e, e < 1 f < 1 g, g < 2 (j, k, l), j < 1 k < 1 l$ 。

又如 $a < 2 (b, d), b < 2 (c, e), c < 1 e, (b, c, e) \in d$ ，翻译为 $(0, 0) (1, 1) (2, 2) (3, 2) (1, 1)$ 。其中属于关系对应的是 BMS 对应项的位置，然后 a 稳定到 b 暗含 a 属于 b。

注意并非满射。如 $a < 1 b < 2 c$ 在稳定中标准而在 BMS 中是 $(0, 0) (1, 0) (2, 1)$ 不标准。