Catching

追平(Catching)是googology中的一种现象。

定义

注意：追平目前尚没有广泛认可的严格定义。以下定义仅供参考，并随时可能被新的理论修改。

序数记号之间的追平

设$f$，$g$是两个将序数映射到序数的函数。如果存在某个序数$\alpha$，使得

$f(\alpha )\le g(\alpha )<f(\alpha +1)$，

则称$f$和$g$在$\alpha$处追平，$\alpha$称为追平点。

举例

对于$f(\alpha )=\alpha$，$g(\alpha )=2\times \alpha$，

初看之下，似乎对于有限的$\alpha$，$g(\alpha )=2\times f(\alpha )$，随着$\alpha$越来越大，两者的差距应该越来越远。但是对于$\alpha =\omega$，我们有

$g(\omega )=2\times \omega =\omega =f(\omega )$，于是$f$和$g$在$\omega$处追平。

从这个例子中可以直观地感受“追平”：较大的序数“抹平”了其下的增长速度差异。

另外一个追平的例子是BOCF和MOCF，它们在HCO追平。

增长层级之间的追平

理论上，可以把增长层级的每个函数都视为序数映射到序数的函数（只不过这里映射得到的一定是自然数），然后仿照上文定义。

不过我们在此给出另外一个定义：

对于两个增长层级$f_{\alpha }$和$g_{\alpha }$，如果对于某个序数$\beta$，

$f_{\beta }$在增长层级$g_{\alpha }$下的增长率为$\beta$，

则称$f_{\alpha }$和$g_{\alpha }$在$\beta$追平。

对于不同增长层级的追平关系，请参考对照表。