不可达基数：修订间差异

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2025年9月8日 (一) 18:40的最新版本

不可达基数（Inaccessible cardinal），是集合论中的一类大基数。弱不可达基数与强不可达基数统称为不可达基数。

定义

一个基数 $κ$ 是弱不可达的，当且仅当它是一个不可数、正则的极限基数。

一个基数 $κ$ 是强不可达的，当且仅当它是一个弱不可达基数，且不能通过幂集达到。

性质

不可达基数是一类大基数，即它的一致性强到足以去证明一些 ZFC 公理体系无法证明的命题，如格罗滕迪克宇宙的存在性。

若 GCH 成立，那么弱不可达基数也是强不可达基数。

若 $κ$ 是不可达基数，则 ${α < κ : (V_{α}, \in)$ 初等嵌入 $(V_{κ}, \in)}$ 构成 $κ$ 的无界闭子集。

若 $κ$ 是不可达基数，则 $κ$ 在任何 ZFC 的模型中都是不可达基数。

若 $κ$ 是不可达基数，则 $V_{k} ⊨ 存在ZFC的可数模型$ 。

独立性

不可达基数的存在性独立于 ZFC 公理系统，见不可达基数的独立性。

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-不可达基数是指既是正则基数，又是强极限基数的不可数基数。
+'''不可达基数'''（Inaccessible cardinal），是集合论中的一类[[大基数公理|大基数]]。弱不可达基数与强不可达基数统称为不可达基数。
-正则基数，强极限基数和不可数基数的定义见[[基数]]条目
+== 定义 ==
-不可达基数是一类大基数，它的一致性足够强以至于去证明一些ZFC公理体系无法证明的命题
+一个基数 <math>\kappa </math> 是'''弱不可达的'''，当且仅当它是一个[[基数#极限基数和后继基数|不可数]]、[[基数#共尾度|正则]]的[[基数#极限基数和后继基数|极限基数]]。
-像是某些特殊的数学结构，例如格罗滕迪克宇宙，其基底需要ZFC+存在一个不可达基数来保证
+一个基数 <math>\kappa </math> 是'''强不可达的'''，当且仅当它是一个弱不可达基数，且不能通过[[ZFC公理体系#幂集公理|幂集]]达到。
-不可达基数的存在性独立于 ZFC 公理系统，见[[不可达基数的独立性]]。
+== 性质 ==
+* 不可达基数是一类大基数，即它的[[一致性]]强到足以去证明一些[[ZFC公理体系| ZFC 公理体系]]无法证明的命题，如格罗滕迪克宇宙的存在性。
+* 若 [[连续统假设|GCH]] 成立，那么弱不可达基数也是强不可达基数。
+* 若 <math>\kappa </math> 是不可达基数，则 <math>\{\alpha<\kappa:(V_{\alpha},\in)</math>[[初等嵌入]]<math>(V_{\kappa},\in)\}</math> 构成 <math>\kappa </math> 的[[马洛基数#定义|无界闭子集]]。
+* 若 <math>\kappa </math> 是不可达基数，则 <math>\kappa </math> 在任何 ZFC 的模型中都是不可达基数。
-不可达基数的相关结论:如果存在不可达基数k，则V_k|=存在ZFC的可数模型
+* 若 <math>\kappa </math> 是不可达基数，则 <math>V_k\models \text{存在ZFC的可数模型}</math>。
-若存在不可达基数k，则{a<k:(V_a,∈)初等嵌入(V_k,∈)}构成k的无界闭子集
+== 独立性 ==
-若k是不可达基数，则k在任何ZFC的模型中都是不可达基数
+不可达基数的存在性独立于 ZFC 公理系统，见[[不可达基数的独立性]]。
-...
+[[分类:入门]]
+[[分类:集合论相关]]