马洛基数

马洛基数（又称马赫罗基数），是集合论中的一类大基数，由 Friedrich Paul Mahlo 于1911-1913年间提出。

定义

我们称一个序数 $\alpha$ 是一个序数集 $B$ 上的极限点，当且仅当 $\sup (\alpha \cap B)=\alpha$.

我们称一个正则不可数基数 $\kappa$ 的子集 $C$ 是无界闭的，当且仅当 $\sup (C)=\kappa$ 且任何一个 $C$ 上小于 $\kappa$ 的极限点都是 $C$ 的元素。

我们称一个正则不可数基数 $\kappa$ 的子集 $S$ 是驻集，当且仅当 $S$ 与 $\kappa$ 上任意无界闭子集所交非空。

一个基数 $\kappa$ 是马洛/强马洛的，当且仅当它是一个强不可达基数且 $\kappa$ 下方的全体正则基数构成 $\kappa$ 的驻集。

一个基数 $\kappa$ 是弱马洛的，当且仅当它是一个弱不可达基数且 $\kappa$ 下方弱不可达基数构成它的驻集。

定理

弱马洛有一个等价定义： $\kappa$ 是一个弱不可达基数且其下弱不可达基数构成它的驻集

证明：

等效的，强马洛也有这样的等价定义

证明：强马洛⇔强不可达+下方强不可达构成驻集

1.强马洛k推强不可达+下方强不可达构成驻集

考虑强马洛基数k，首先其是强不可达。假设存在一个无界闭子集C⊂k使得C不包含任意一个强不可达基数，则考虑全体k下任意除N0外强极限基数组成的子集与它的交集，这也是一个无界闭子集(因为C中任意正则基数都不是强极限基数)，然而它与k下方正则基数无交，矛盾

2.强不可达+下方强不可达构成驻集→强马洛

证：显然，由于强不可达基数都是正则基数，所以任何一个无界闭子集中都一定包含一个正则基数(也就是被包含的强不可达基数)，因此得证。