不可达基数

不可达基数（Inaccessible cardinal），是集合论中的一类大基数。弱不可达基数与强不可达基数统称为不可达基数。

定义

一个基数 $\kappa$ 是弱不可达的，当且仅当它是一个不可数、正则的极限基数。

一个基数 $\kappa$ 是强不可达的，当且仅当它是一个弱不可达基数，且不能通过幂集达到。

性质

• 不可达基数是一类大基数，即它的一致性强到足以去证明一些 ZFC 公理体系无法证明的命题，如格罗滕迪克宇宙的存在性。

• 若 GCH 成立，那么弱不可达基数也是强不可达基数。

• 若 $\kappa$ 是不可达基数，则 $\{\alpha <\kappa :(V_{\alpha },\in )$初等嵌入$(V_{\kappa },\in )\}$ 构成 $\kappa$ 的无界闭子集。

• 若 $\kappa$ 是不可达基数，则 $\kappa$ 在任何 ZFC 的模型中都是不可达基数。

• 若 $\kappa$ 是不可达基数，则 $V_k\models \text{存在ZFC的可数模型}$。

独立性

不可达基数的存在性独立于 ZFC 公理系统，见不可达基数的独立性。