初等嵌入

初等嵌入（Elementary Embedding）是模型论中的一个核心概念，用于描述两个结构之间的映射，该映射不仅保持结构的基本组成（如函数和关系），还严格保持所有一阶逻辑公式的真值。

设 L 为一阶语言，M 和 N 是两个 L-结构（即模型）。一个映射 $j : M \to N$ 称为从 M 到 N 的初等嵌入，当且仅当以下条件成立：

单射性：j 是单射（对不同的 $a, b \in M$ ，有 $j (a) \neq j (b)$ ）。
初等性：对任意一阶公式 $φ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 及所有 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in M$ ，有： $M ⊨ φ [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}] \Rightarrow N ⊨ φ [j (a_{1}), j (a_{2}), \dots, j (a_{n})]$

进一步， $j$ 称为非平凡初等嵌入，当且仅当存在 $x \in M$ 使得 $j (x) \neq x$ 。

也可以要求 M 和 N 为传递类，且满足 ZF⁻。

对非平凡初等嵌入 $j : M \to N$ 必存在唯一的最小序数 $κ$ 使 $j (κ) \neq κ$ 。此序数 $κ$ 称为 $j$ 的临界点（Critical Point），记为 $c r i t (j) = κ$ 。

嵌入 $j : M \to N$ 称为共尾的（Cofinality），当且仅当 $\forall y \in N \exists x \in M (y \in j (x))$ 。

若 $M$ 满足 ZF，且 $N \subseteq M$ ，则任何初等嵌入 $j : M \to N$ 必为共尾的。

在 ZFC 框架下，不存在非平凡初等嵌入 $j : V \to V$ 。

更具体地，Kunen 证明：对任意序数 $λ$ ，不存在非平凡初等嵌入 $j : V_{λ + 2} \to V_{λ + 2}$ 使得 V 满足 ZFC。