模型

一个给定语言 λ 的模型是一个对 $(A,I)$，其中 A 为全域/宇宙，I 为 A 上的解释函数，负责把 λ 中的符号映射到 A 中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式：

$\alpha =(A,P^{\alpha },\cdots ,F^{\alpha },\cdots ,c^{\alpha })$

在中文语境中，语言的模型也被称为数学结构。

我们定义，一个数学结构 A 满足某个公式 $\phi (a,b,\cdots )$，当且仅当 $\phi (a^A,b^B,\cdots )$ 在 A 中成立。

一个语句集 Σ 的模型，是一个数学结构 A，使得其满足这个语句集中的任意一条语句。

模型的同构

我们称两个模型 $A=(\alpha ,P^A,\cdots ,F^A,\cdots ,c^A),B=(\beta ,P^B,\cdots ,F^B,\cdots ,c^B)$ 是同构的，当且仅当存在一个 A 到 B 的双射 f 使得以下四点成立：

• $P^A(x_1,x_2,x_3,\cdots )$ 当且仅当 $P^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots )$（P 为某个 n 元关系且 $P^A$ 映射到的对象是 $P^B$）

• $f(F^A(x_1,x_2,x_3,\cdots ))=F^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots )$

• $f(c^A)=c^B$

• $A\models \phi (a_1,a_2,\cdots )$ 当且仅当 $B\models \phi (f(a_1),f(a_2),\cdots )$

子模型

我们称一个模型 $A=(\alpha ,P^A,\cdots ,F^A,\cdots ,c^A)$ 是模型 $B=(\beta ,P^B,\cdots ,F^B,\cdots ,c^B)$ 的子模型，当且仅当：

$\alpha \subset \beta ,P^A\subset P^B,F^A\subset F^B,c^B\in A$ 且 A 在任意 A 上函数下封闭。

一个从 B 到 A 的嵌入是一个 B 和 A 的子模型 $B_1$ 之间的同构关系。

一个 A 的子模型 B 是 A 的初等子模型，当且仅当对于任何 B 中的元素 $(b_1,b_2,b_3,\cdots )$，有 $B\models \phi (b_1,b_2,b_3,\cdots )$ 当且仅当 $A\models \phi (b_1,b_2,b_3,\cdots )$。

两个模型是基本等价的，当且仅当它们满足同样的语句（无自由变量的命题）。

一个嵌入被称为初等嵌入，当且仅当当且仅当它是一个嵌入且它的定义域是值域的初等子模型。

可定义性

我们称一个集合 X 是在模型 A 上可定义的，当且仅当存在公式 $\phi$ 和变元 $a_1,a_2,...\in A$，使得

$X=\{x\in A|A\models \phi (x,a_1,a_2,...)\}$

如果这个公式 $\phi$ 只包含 $x$ 一个参数，则称 X 是在 A 中可定义的。

一个元素 $a\in A$ 是可定义的，当且仅当 $\{a\}$ 是在 A 上可定义的。