不可达基数的独立性

本篇文章在 ZFC+“对于任何基数，都存在一个其后的不可达基数”环境下工作，以证明“存在一个不可达基数”这个命题独立于 ZFC。

由 Tarski 给出的不可达基数公理，考虑第一个不可达基数 $\kappa$，则 $V_{\kappa }\models \mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}$。

引理

若 $\kappa$ 是不可达基数，则 $V_{\kappa }\models \mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}$。

证明

外延公理：$V_{\kappa }$ 的元素都是集合，所以它们自然满足。

配对公理：对于任意 $a,b\in V_{\kappa }$，我们都可以找到 $\alpha$ 使得 $a,b\in V_{\alpha }$，则 $\{a,b\}\in V_{\alpha +1}\subseteq V$，所以自然满足。

分离公理模式：对于任意 $a\in V_{\kappa }$，我们都可以得到它是某个 $V_{\alpha +1}$的元素，则任意 $z\in a$ 都是 $V_{\alpha }$ 的元素，$a$ 的任意子集应该都是 $V_{\alpha +1}$ 的元素，所以自然满足。

正则公理模式：考虑任意非空集 $S\in V_{\kappa }$，以及任意 $x\in S$，因为 $S$ 可以确定其中任意元素的 rank，所以取 $S$ 中 rank 最低的元素 $x$(由于 Ord上存在一个良序，所以任意序数类的子类都有这个良序的最小元，rank 是序数，取全体 $S$ 中元素的 rank 序数构成一个类即可)，则不存在 $y\in S$ 使得 $y\in x$，否则 $y$ 的 rank 应该低于 $x$，矛盾，所以存在 $x\in S$ 使得 $x\cap S$为空，得以证明。

幂集公理：由前面可得任意 $x\in V_{\alpha }(\alpha <\kappa )$，任意 $x$ 的子集都在 $V_{\alpha }$ 中，则 ${𝒫}(x)\in V_{\alpha +1}$。

并集公理：考虑任意 $x\in V_{\alpha }(\alpha <\kappa )$ 而言，它们的任意元素 $u$ 都在某个 $V_{\beta }(\beta <\alpha )$ 中，任意 $u$ 的元素都在某个 $V_{\gamma }(\gamma <\beta )$ 中，则 $V_{\gamma +1}$ 中存在 $x$ 的并集。

无穷公理：$\omega$ 是 $V_{\kappa }$ 的元素。

替代公理模式：由 $\kappa$ 是不可达得到 $\kappa$ 是 Beth 不动点，则 $\kappa =|V_{\kappa }|$，则对于任意 $X\in V_{\alpha }(\alpha <\kappa )$，则对于任意映射 $f:X\to A,A\subseteq V_{\kappa }$，则 $|A|\le |X|<|V_{\kappa }|$，所以存在某个 $b$ 使得不存在 $A$ 的元素属于 $V_{\beta }$，则 $A$ 是 $V_{\beta }$ 的元素，则 $A\in V_{\kappa }$。

选择公理：任意 $a=a_n\mid n\in b\in V_{\kappa }$，则 $a\in V_c(c<\kappa )$，则存在某个 $V_d(d<c)$ 包含的任意 $a_n$ 的元素，则一定存在一个集合使得它是 $\bigcup \{a_n\mid n\in b\}$ 的子集，得证。

进一步可以得到 $V_{\kappa }\models \mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+$ 不存在不可达基数，考虑第二个不可达基数 $y$ 则可以得到 $V_y\models \mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+$ 存在一个不可达基数。

于是，得证：命题“存在一个不可达基数”独立于 ZFC。