一致性

在集合论中，一致性（Consistency）指一个形式理论无法推导出矛盾（即同时证明某个命题及其否定）。若一个理论存在至少一个模型（即满足所有公理的结构），则该理论是一致的。一致性是形式系统可信度的核心，确保其推导的定理不会导致逻辑悖论。

定义

若理论 $T$ 中不存在命题 $\phi$ 使得 $T⊢\phi$ 且 $T⊬\phi$，则称 $T$ 一致（或无矛盾）。

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哥德尔第二不完备定理：若一个足够强的形式系统（如 ZFC 理论体系）是一致的，则它无法在自身内部证明自身的一致性。因此，集合论的一致性通常依赖于更强的元理论（如 ZFC + 大基数公理）或模型论方法。

相对一致性：若理论 $T$ 的一致性可由理论 $S$ 证明（即 $S\models \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}(T)$），则称 $T$ 相对于 $S$ 一致。

一致性证明方法

• 模型构造：通过构建满足公理的具体结构证明一致性
• 相对一致性证明：通过将理论 $T$ 的公理翻译为另一理论 $S$ 的语句，若 $S$ 一致则 $T$ 一致
• 内模型法：构建满足大基数公理或其他强公理的内模型，以证明这些公理与 ZFC 的相对一致性

集合论中的经典结果

• ZFC 的一致性：目前未发现 ZFC 存在矛盾，但其绝对一致性无法在 ZFC 内部证明。数学家默认接受 ZFC 的一致性，因其与数学实践高度吻合。
• 许多命题（如 CH、选择公理AC）在 ZFC 中独立，即 $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}\mathrm{+}\mathrm{C}\mathrm{H}$ 与 $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}\mathrm{+}\mathrm{\neg }\mathrm{C}\mathrm{H}$ 均相对 ZFC 一致。
• 某些非主流理论（如新基础理论 NF）的类一致性已证明，但其与 ZFC 的兼容性仍存疑