APO

APO（Admissible-Parameter free effective cardinal Ordinal），是 pfec 稳定和 adm 稳定的分歧点。

序数记号	表达式
稳定序数	$\psi ({\mathrm{\Pi }}_1(\lambda \alpha .{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}-{\mathrm{\Pi }}_1))$
投影序数	$\psi ({\psi }_{\alpha }(\phi ({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1},1)\times \omega ))$
UNOCF	$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{T+1}^T+{\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{T+1}}({\mathrm{\Omega }}_{T+1}^T+1))$
BMS	$(0)(1,1,1)(2,2)(3,2)(4,1,1)$
0-Y	$1,4,8,12,15$
1-Y / ω-Y	$1,2,4,8,13,18,22$
Ex-hydra	$p1(p3(p4(p4(p3))))$
Fake Fake Fake Zeta	${\psi }_{\mathrm{Z}}[{\epsilon }_1](\phi ({\epsilon }_0,0))$
Catching 函数	$C(\phi (\mathrm{\Omega },1))$
FOS	$0,1,\omega ,{\omega }^{\omega },{\omega }^{\omega +1},{\omega }^{\omega +1}2,{\omega }^{\omega +1}2+{\omega }^{\omega }$

性质

极限在此处的记号：adm PrSS

是 pfec 稳定和 adm 稳定的分歧点，在 $\lambda \alpha .{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}-{\mathrm{\Pi }}_1$ 之后，稳定序数 将会因为出现 Non-Gandy 效应而大幅增强。同时也是永进稳定和非永进稳定的分歧点。

$\lambda \alpha .{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}-{\mathrm{\Pi }}_1$ 曾经被误认为是 2-Dropping 序数，然而后来的扽西表明这实际上是 $\lambda \alpha .{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +2}-{\mathrm{\Pi }}_1$。