Dropping Hydra

Dropping Hydra 是 Hypcos 提出的序数记号，使用了 Dropping 模式。

定义

该符号是一个三色有序树 T，附加两个正整数作为其“数值参数”。在符号 T[x, y] 中，红色是根节点的特殊颜色，而白色和黑色用于其他节点。

首先，红根树的数量少于白根树的数量，而白根树的数量又少于黑根树的数量。然后，在所有白根树中，只有白根的树是最小的，而在所有黑根树中，只有黑根的树是最小的。要比较树 A 和树 B，遵循以下步骤：

假设 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k}$ 是通过删除 A 的根而从 A 分离的树。 $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{l}$ 是通过删除 B 的根而从 B 分离的树。
令 $m (A) = \min {i \in {1, 2, \dots, k} | \forall j \in {1, 2, \dots, k} (A_{i} ⩾ A_{j})}$ ，且 $m (B) = \min {i \in {1, 2, \dots, l} | \forall j \in {1, 2, \dots, l} (B_{i} ⩾ B_{j})}$ 。
若 $A_{m (A)} > B_{m (B)}$ ，则 A > B；若 $A_{m (A)} < B_{m (B)}$ ，则 A < B；若 $A_{m (A)} = B_{m (B)}$ ，则按照以下步骤操作。
从树 A 中删除 $A_{m (A)}$ ，得到树 C。从树 B 中删除 $B_{m (B)}$ ，得到树 D。
如果 C > D，则 A > B；如果 C < D，则 A < B；如果 C = D，则 A = B。

根据这些规则，T[x, y] 将返回一个正整数。

如果 T 是一棵仅根树，则 T[x, y] = y + 1
如果 T 最右边的叶子节点 c 为白色，且 c 有父节点 b，则：
1. T₁ 中以 a 为根的子树为 $(A_{1} A_{2} \dots A_{k} B)$ ，其中 B 是 T₁ 中以 b 为根的子树
2. 树 T₂ 是通过将 T₁ 中的 $(A_{1} A_{2} \dots A_{k} B)$ 变为 $(A_{1} A_{2} \dots A_{k} B B \dots B)$ （其中 y 个 B 为元素）得到的
3. T[x, y] = T₂[x, y]
如果 T 最右边的叶子节点 c 为黑色，则：
1. 令节点 c₀ = c_i+1 为 c_i 的父节点，直到根节点 c_r
2. 令树 C_i 为 T 的子树，根节点为 c_i
3. 令 j(0) = 0
4. 重复上述步骤 x 次，n 从 1 到 x
  1. 令 $j (n) = \min {i | C_{i} < C_{j (n - 1)} \land i > j (n - 1)}$
  2. 若 j(1) = r，则：
    1. 通过将 C_r−1 替换为唯一子节点为 C_r−1 的白色节点，可从 T 获得树 T₁
    2. T[x, y] = T₁[x, y]
  3. 如果 n > 1，则树 B_n 可通过将 C_j(n−1) 中的 C_j(n−2) 替换为 C_j(n−1) 得到
  4. 如果 n > 1 且 C_j(n) < B_n，则
    1. 令 $k (n) = \max {i | C_{i} < C_{j (n - 2)} \land i > j (n)}$
    2. 树 A(n) 可通过将 C_j(n−1) 中的 C_j(n−2) 替换为 C_k(n) 得到
    3. 将 T 中的 C_k(n) 替换为 A(n)，得到树 T₂(n)
    4. T[x, y] = T₂(n)[x, y
  5. 如果 n = 1 或 C_j(n) ≥ B_n，则继续重复
5. 令树 S₀ 为白色仅根树，S_i+1 是由 C_j(x) 中用 S_i 替换 C_j(x−1) 得到，直到 S_y
6. 树 T₃ 是由 T 中用 S_y 替换 C_j(x) 得到
7. T[x, y] = T₃[x, y]

仅根的情况构成了 FGH 的零情况；白 1 和白 3 构成了 FGH 的后继情况；白 1 和白 2 表示白节点树模拟了康托范式。因此，仅根的情况和白情况构成了 FGH，直到 ε₀，并且它们与 x 无关。黑实际上有 x + 1 个可能的出口，其中一个出口位于步骤黑 4.2.2，x − 1 个出口位于步骤黑 4.4.4，还有一个出口位于步骤黑 7。在黑中，步骤黑 1 到黑 3 只是准备。步骤黑 4 是 x 次 dropping，因此 x（第一个数值参数）表示我们应该在这里落多少次 dropping。步骤黑 4.1 是实 dropping。每次下降操作后（除了第一次从黑叶子节点下降到白根子树），我们都需要检查下降的结果是否“足够大”。 $C_{j (n)}$ 的定义小于 $C_{j (n - 1)}$ ，但只有当它大于“去掉 $C_{j (n - 2)}$ 后的 $C_{j (n - 1)}$ ”时，我们才能进行下一次 dropping 操作。如果 dropping 后的 $C_{j (n)}$ 不够“大”，则需要执行步骤黑 4.4。步骤黑 4.4.2 和黑 4.4.3 将 $C_{j (n - 1)}$ 和 $C_{j (n - 2)}$ 之间的部分“插入”到 $C_{k (n)}$ ，因此这是“加法规则”。步骤黑 4.2 也是一个特殊的“加法规则”。如果 x dropping 完成，且没有遇到步骤黑 4.2 或黑 4.4，我们将进入步骤黑 5 和黑 6。它们将 $C_{j (x)}$ 替换为 $C_{j (x)}$ 和 $C_{j (x - 1)}$ 之间的 y 个块，并在顶部放置一片白叶，因此这就是“扩展规则”。

为了创建序数符号，使用了白色和黑色节点，但没有使用红色根。公式定义为：

w(0) 是一个公式
b(0) 是一个公式
如果 $a 1, a 2, . . . a n$ 是公式，则 $w (a 1 + a 2 . . . + a n)$ 是一个公式
如果 $a 1, a 2, . . . a n$ 是公式，则 $b (a 1 + a 2 . . . + a n)$ 是一个公式

此外，加序公式定义为：

w(0) 和 b(0) 是加序公式
如果 $a 1, a 2, . . . a n$ 是加序公式，且 $a 1 \geq a 2 \geq . . . \geq a n$ ，则 $w (a 1 + a 2 . . . + a n)$ 和 $b (a 1 + a 2 . . . + a n)$ 是和序的。

我们需要对如下所示的公式进行比较，其中 $a 1, a 2, . . . a n$ 以及 $c 1, c 2, . . . c n$ 是和序的。

$w (0) < w (a 1 + a 2 . . . + a n) < b (0) < b (c 1 + c 2 . . . + c n)$
如果 $a 1 > c 1$ ，则 $w (a 1 + a 2 . . . + a n) > w (c 1 + c 2 . . . + c n)$ ，且 $b (a 1 + a 2 . . . + a n) > b (c 1 + c 2 . . . + c n)$
如果 $a 1 < c 1$ ，则 $w (a 1 + a 2 . . . + a n) < w (c 1 + c 2 . . . + c n)$ ，且 $b (a 1 + a 2 . . . + a n) < b (c 1 + c 2 . . . + c n)$
如果a1=c1，则
1. 如果 $w (a 2 + a 3 . . . + a n) > w (c 2 + c 3 . . . + c n)$ ，则 $w (a 1 + a 2 . . . + a n) > w (c 1 + c 2 . . . + c n)$ ，且 $b (a 1 + a 2 . . . + a n) > b (c 1 + c 2 . . . + c n)$
2. 如果 $w (a 2 + a 3 . . . + a n) < w (c 2 + c 3 . . . + c n)$ ，则 $w (a 1 + a 2 . . . + a n) < w (c 1 + c 2 . . . + c n)$ ，且 $b (a 1 + a 2 . . . + a n) < b (c 1 + c 2 . . . + c n)$
3. 若 $w (a 2 + a 3 . . . + a n) = w (c 2 + c 3 . . . + c n)$ ，则 $w (a 1 + a 2 . . . + a n) = w (c 1 + c 2 . . . + c n)$ ，且 $b (a 1 + a 2 . . . + a n) = b (c 1 + c 2 . . . + c n)$

这些不是“循环”定义，因为深度为 0 的公式（即 w(0) 和 b(0)）可以直接定义为和序；然后可以进行深度 ≥ 1 之间的比较，进而确定哪种深度为 1 的公式是和序的；然后与深度 ≥ 2 进行比较，依此类推。原序数定义为 $a 1 + a 2 . . . + a n$ ，其中 $a 1, a 2 . . . a n$ 是求和公式， $a 1 \geq a 2 \geq \dots \geq a n$ 。