UNOCF

Username’s OCF（UNOCF）是一个由 Username5243 提出的不严格的序数折叠函数。它并未给出集合论定义，而是直接讨论其折叠性质。因此，这实际上只是一个长得像 OCF 的序数记号。出于各种原因，UNOCF 是高度不良定义的，因此本页面中列出的规则仅供参考，且与 Username5243 列出的原版规则不同（原版规则中有明显错误）。

首个不可数基数

在 $\psi (\mathrm{\Omega })$ 之前，规则如下：

• $\psi (0)=1$
• $\psi (\alpha +1)[n]=\psi (\alpha )\times n$
• $\psi (\alpha [n])=\psi (\alpha )[n]$，其中 $\alpha$ 的共尾度为 $\omega$

易知 $\psi (\alpha )={\omega }^{\alpha }$。

在 UNOCF 中，我们如下定义共尾度：

任何超限基数（例如 $\omega$ 和 $\mathrm{\Omega }$）的共尾度都是其本身。0 与后继序数的共尾度为 0 。$\alpha +\beta ,\alpha \cdot \beta ,{\alpha }^{\beta }$ 的共尾度与 $\beta$ 的共尾度相同（$\beta \ne 0$）。

当 $\psi (\alpha )$ 中 $\alpha$ 的共尾度为 $\mathrm{\Omega }$ 时，我们取某个函数 $f(x)$ ，使得 $\alpha =\sup \{f(x)|x<\mathrm{\Omega }\}$。例如，$\alpha ={\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }2}$ 时，取 $f$ 为 $f(x)={\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }+x}$。

如果 $\alpha$ 的共尾度为 $\mathrm{\Omega }$ ，那么：

• $\psi (\alpha )[0]=\psi (f(0))$
• $\psi (\alpha )[n+1]=\psi (f(\psi (\alpha )[n]))$

此阶段的 UNOCF 与 BOCF 相同。

更大的不可数基数

接下来，引入 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$ 基数。若 $\alpha$ 为后继序数，则 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$ 称为后继基数。注意：如果 $\alpha$ 不是后继序数，则 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$ 的共尾度与 $\alpha$ 的共尾度相同，例如 ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Omega }}$ 的共尾度为 $\mathrm{\Omega }$。

我们为所有后继基数 ${\mathrm{\Omega }}_{x+1}$ 都定义了 ${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{x+1}}$ 函数。第一节中使用的 $\psi$ 函数为 ${\psi }_{\mathrm{\Omega }}$ 的简写。其初值如下：

• ${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{x+1}}(0)={\mathrm{\Omega }}_x$ ，特别地，${\psi }_{\mathrm{\Omega }}(0)=1$

若自变量为后继序数，则原有规则不变：

• ${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{x+1}}(\alpha +1)[n]={\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{x+1}}(\alpha )\times n$

若极限序数 $\alpha$ 的共尾度为 $\beta$，且 $\beta <{\mathrm{\Omega }}_{x+1}$ ，则遵循简单基本列规则：

• ${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{x+1}}(\alpha )[n]={\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{x+1}}(\alpha [n])$

若 $\beta \ge {\mathrm{\Omega }}_{x+1}$ ，首先找到函数 $f(x)$ 使得 $\alpha =\sup \{f(x)|x<\beta \}$，规则如下：

• ${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{x+1}}(\alpha )[0]={\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{x+1}}(f({\psi }_{\beta }(0)))$
• ${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{x+1}}(\alpha )[n+1]={\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{x+1}}(f({\psi }_{\beta }(\alpha )[n]))$

此阶段的 UNOCF 仍然与 BOCF 相同。

不可达基数

引入不可达基数 $I$，来对 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$ 进行对角化。${\psi }_I$ 函数的规则如下：

• ${\psi }_I(0)=\mathrm{\Omega }$
• ${\psi }_I(\alpha +1)$ 为 ${\psi }_I(\alpha )$ 之后的下一个基数
• ${\psi }_I(\alpha [n])={\psi }_I(\alpha )[n]$，其中 $\alpha$ 为共尾度小于 $I$ 的极限序数

若 $\alpha$ 的共尾度为 $\beta \ge I$ ，则仍然如上找到 $f(x)$：

• ${\psi }_I(\alpha )[0]={\psi }_I(f({\psi }_{\beta }(0)))$
• ${\psi }_I(\alpha )[n+1]={\psi }_I(f({\psi }_{\beta }(\alpha )[n]))$

在此之后，我们引入更多不可达基数 $I_{\alpha }$ 。${\psi }_{I_{x+1}}$ 的规则与 ${\psi }_I$ 大致相同，除了初值不同：

• ${\psi }_{I_{x+1}}(0)=I_x$

此阶段的 UNOCF 仍然与含递归不可达序数的 BOCF 相同。

超不可达基数

引入多元 $\mathrm{\Omega }$ 函数来表达更高的不可达基数。$\mathrm{\Omega }(\alpha )={\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$， $\mathrm{\Omega }(1,\alpha )=I_{\alpha }$ 。对于更高的不可达基数，它们的 $\psi$ 函数规则大致与之前相同，只有初值与后继规则不同：

• ${\psi }_{\mathrm{\Omega }(\alpha +1,0)}(0)=\mathrm{\Omega }(\alpha ,0)$
• ${\psi }_{\mathrm{\Omega }(\alpha +1,\beta +1)}(0)=\mathrm{\Omega }(\alpha +1,\beta )$
• ${\psi }_{\mathrm{\Omega }(\alpha +1,\beta )}(x+1)$ 为 ${\psi }_{\mathrm{\Omega }(\alpha +1,\beta )}(x)$ 之后的下一个 $\mathrm{\Omega }(\alpha ,\cdot )$ 基数

用同样的方式可以定义三元乃至 n 元 $\mathrm{\Omega }$ 函数表达的基数的 $\psi$ 函数规则：

• ${\psi }_{\mathrm{\Omega }(\dots ,\alpha +1,Z)}(0)=\mathrm{\Omega }(\dots ,\alpha ,Z)$
• ${\psi }_{\mathrm{\Omega }(\dots ,\alpha +1,Z,\beta )}(x+1)$ 为 ${\psi }_{\mathrm{\Omega }(\dots ,\alpha +1,Z,\beta )}(x)$ 之后的下一个 $\mathrm{\Omega }(\dots ,\alpha ,Z,\cdot )$ 基数

其中 Z 为可以为空的全零序列。此阶段的 UNOCF 仍然与含多元 I 函数的 BOCF 相同。

Mahlo 基数

可以发现，多元 $\mathrm{\Omega }$ 函数看起来像 Veblen ϕ 函数，可以引入 Mahlo 基数 $M$ 和 ${\psi }_M$ 函数来对其进行对角化。遗憾的是，Username5243 并未给出 ${\psi }_M$ 的具体定义。其工作方式可参考 递归 Mahlo 序数 页面中列出的定义。

TO DO: 未完成