UNOCF

Username’s OCF（UNOCF）是一个由 Username5243 提出的不严格的序数折叠函数。它并未给出集合论定义，而是直接讨论其折叠性质。因此，这实际上只是一个长得像 OCF 的序数记号。

首个不可数基数

在 $\psi (\mathrm{\Omega })$ 之前，我们可以遵循三个简单的规则：

• $\psi (0)=1$
• $\psi (\alpha +1)[n]=\psi (\alpha )n$
• $\psi (\alpha [n])=\psi (\alpha )[n]$

其中 $\alpha$ 共尾度为 $\omega$。易知 $\psi (\alpha )={\omega }^{\alpha }$。

现在我们需要考虑共尾性，基本上它是这样的：任何单个基数（前面部分的 $\omega =\psi (1)$ 和 $\mathrm{\Omega }$）都具有与其自身相等的共尾性。0 并且后继具有共尾性 0 。$\alpha +\beta ,\alpha \cdot \beta ,{\alpha }^{\beta }$ 具有等于 $\beta$ 的共尾性（除了当 $\beta =0$ 时，这种情况下 $\alpha +0$ 具有共尾性 $\alpha$ 而其他具有共尾性 0 ）。$\psi (0)$ 具有共尾性 0 并且对于所有其他 $\alpha$，$\psi (\alpha )$ 具有共尾性 $\omega$。

要定义具有共尾性 $\mathrm{\Omega }$ 的序数函数，最好将它们视为某个函数 $f(\mathrm{\Omega })$ 的输出。例如，${\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }2}=f(\mathrm{\Omega })$，其中 $f$ 定义为 $f(\alpha )={\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }+\alpha }$。这本质上与普通函数相同，但末尾是 $\mathrm{\Omega }[n]$ 而不是 $\omega [n]$。

然后我们可以说，如果序数具有共尾性 $\mathrm{\Omega }$ ，那么 $\psi (\alpha )[0]=\psi (f(0)),\psi (\alpha )[n]=\psi (\alpha [n])$。

尽管其初始值增长得较慢，但是它最终还是与通常的 OCF 发生了追平。

更高的不可数基数

我们现在引入 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$ 基数。首先，它有助于引入“后继基数”的概念。${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$ 的后继基数是 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$。我们还需要引入“势”的概念，即表达式中的最高基数。因此，${\mathrm{\Omega }}_2^2$ 的势是 ${\mathrm{\Omega }}_2$。还有一件重要的事情需要注意：如果 α 不是后继，则 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$ 的共尾性等于 $\alpha$，因此 ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Omega }}$ 的共尾性为 $\mathrm{\Omega }$。

这是处理具有共尾性 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$ 的折叠基数的一般规则，记作 $f({\mathrm{\Omega }}_{\alpha })$。

$\psi (\alpha )[0]=\psi (f({\psi }_{\alpha }(0))),\psi (\alpha )[n+1]=\psi (f({\psi }_{\beta }(f(\alpha [n]))))$

我们为更高基数定义了 ${\psi }_{\alpha }$ 函数。其工作原理是：在 ${\psi }_{\alpha }$ 折叠函数中，$\alpha$ 是第一个对角化的基数；所有低于它的基数都遵循 FS 规则（因为它将具有更大的共尾性）。此外，${\psi }_{\alpha }(0)$ 是其后继基数为 $\alpha$ 的基数。注意，有时我们使用 ${\psi }_n$，它实际上对应于 ${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{n+1}}$ 函数。这种简写很常用，并且是允许的（除非它与正常符号冲突）。

类似的概念适用于更高的基数，极限与正常 OCF 相同。

不可达基数

我们现在引入不可达基数 $I$，作为 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$ 的对角化器。具有共尾性 $I$ 的项以与之前类似的方式分解为 ${\psi }_I$ 函数的嵌套。${\psi }_I$ 函数的原理如下：

1. ${\psi }_I(0)=\mathrm{\Omega }$
2. ${\psi }_I(\alpha +1)$ 是 ${\psi }_I(\alpha )$ 之后的下一个基数
3. ${\psi }_I(\alpha )$ 在其下方的对角化，以防它是一个极限。

在 $\psi (I^{\omega })$ 处，我们追平了通常的 OCF 。在此之后，我们可以得到诸如 $\psi (I^I)$ 之类的东西。此时，我们需要定义 $I$ 的“后继基数”。这很简单——它是 ${\mathrm{\Omega }}_{I+1}$。然后我们可以有进一步的后继，并最终有极限基数。

现在我们得到了一个与得到 $I$ 类似的结果，我们需要另一个不可达基数。我们使用 $I_2$ 来表示这一点。${\psi }_{I_2}(0)=I$，否则一切都将以与以前相同的方式分解。然后我们可以定义更多不可达项，如 $I_3$、$I_4$ 等。它们以类似的方式分解：${\psi }_{I_{n+1}}(0)=I_n$。

超不可达基数

现在我们可以建立一个序数对角化子序列。我们将继续使用 $I$ 来表示每个函数。其中第一个是 $\mathrm{\Omega }(0,\alpha )={\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$，然后 $\mathrm{\Omega }(1,\alpha )=I_{\alpha }$。因此，$\mathrm{\Omega }(2,0)$ 是 $\mathrm{\Omega }(1,\alpha )=I_{\alpha }$ 的极限。一般来说，${\psi }_{\mathrm{\Omega }(\alpha +1,\beta +1)}(0)=\mathrm{\Omega }(\alpha +1,\beta )$，而 ${\psi }_{\mathrm{\Omega }(\alpha +1,0)}(0)=\mathrm{\Omega }(\alpha ,0)$。一般而言，${\psi }_{\mathrm{\Omega }(\alpha +1,\beta )}(\gamma +1)$ 是 ${\psi }_{\mathrm{\Omega }(\alpha +1,\beta )}(\gamma )$ 之后的下一个 $\mathrm{\Omega }(\alpha ,\beta )$ 基数。

一般来说，若要计算 ${\psi }_{\alpha }(0)$，其中 $\alpha$ 以 0 结尾，找到最后一个非零项并将其减一；而若要得到 ${\psi }_{\alpha }(\beta +1)$，则将该项之后的项加 1 。其极限是 $\mathrm{\Omega }(1,0,0,\cdots )$，与普通 OCF 中的 $I(1,0,0,\cdots )$ 相似。

引入一个 Mahlo 基数

在某些方面，I 函数看起来像 Veblen ϕ 函数，我们需要一种方法来对它进行对角化。这就是 Mahlo 基数 $M$ 和 ${\psi }_M$ 函数。${\psi }_M(\alpha )$ 仍然是 ${\mathrm{\Omega }}_{1+\alpha }$。但 ${\psi }_M(M)=I$。事实上，$M$ 基本上是它所取代的东西的对角化子。

TO DO: 未完成