TREE函数：修订间差异

←上一编辑下一编辑→

可视化wikitext

2025年7月17日 (四) 17:41的版本

TREE函数是由数理逻辑学家Harvey Friedman提出的图论函数。

定义

树的嵌入

给定两棵树 $A$ 和 $B$ ，我们称 $A$ 能嵌入到 $B$ 中，如果 $B$ 能通过有限次以下操作得到 $A$ ：

删除一个叶子节点。
若某点只有两条边和它连接，删除这个点，用一条边连接与它相邻的两个顶点(即将两条相邻的边合并成一条)。

例如，图中右边的两棵树均能嵌入到左边的树中，但它们不能互相嵌入。

TREE(n)

TREE函数研究的是一类特殊的树，其每个顶点被赋予一个值，称为该点的“颜色”。

给定正整数n， $T R E E (n)$ 被定义为满足以下条件的“树列” ${T_{n}}$ 的最大长度：

所有树的顶点至多有 $n$ 种不同的颜色；
$T_{k}$ 至多有 $k$ 个顶点；
对于正整数 $k < l$ ， $T_{k}$ 不能嵌入到 $T_{l}$ 中。

tree(n)

$t r e e (n)$ (注意大小写)被称为弱tree函数，它研究的不是染色树，而是普通树。

给定正整数n， $t r e e (n)$ 被定义为满足以下条件的“树列” ${T_{n}}$ 的最大长度：

$T_{k}$ 至多有 $n + k$ 个顶点；
对于正整数 $k < l$ ， $T_{k}$ 不能嵌入到 $T_{l}$ 中。

有限性证明

$T R E E (n)$ 和 $t r e e (n)$ 的序列总是有限的，这可由Kruskal树定理保证。

我们首先要引入良拟序(Well-quasi-ordering)的概念，它可以看成良序在一般偏序集上的推广。

设 $(X, \leq)$ 为一偏序集，若对于 $X$ 中任意无穷序列 $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots$ ，总存在 $i < j$ 使得 $x_{i} \leq x_{j}$ ，则称 $\leq$ 为集合 $X$ 上的一个良拟序。

换句话说，若偏序集中不存在“无穷降链”，也不存在“无穷不可比较链”，则称该偏序为一个良拟序。

Kruskal树定理说明，树的嵌入关系是一个良拟序。

也就是说，任意无限棵树构成的序列中，必存在两棵树，前面的树能嵌入到后面的树中。这就证明了 $t r e e (n)$ 的有限性。

取值

n较小时

对于 $T R E E (n)$ ，有：

$T R E E (1) = 1$

$T R E E (2) = 3$

对于 $t r e e (n)$ ，有：

$t r e e (1) = 2$

$t r e e (2) = 5$

$t r e e (3) > 844, 424, 930, 131, 960$

TREE(3)

和 $T R E E (1)$ 、 $T R E E (2)$ 仅有一位数的取值相比， $T R E E (3)$ 的值出现了“暴涨”，其远远超过了葛立恒数和Hydra(5)，这使它成为大数领域中最著名的数字之一。

右图是 $T R E E (3)$ 序列可能的前几项。

HypCos在这篇回答^[1]中给出了 $T R E E (3)$ 的一个下界：

${\rm TREE(3)}>H_{\varphi(1@\omega,3)\cdot\varphi(1@\omega)}({\rm tree(tree(3)+1)})$(其中H为哈代层级，下同)

tree(4)

2025年5月24日，HypCos在这篇回答^[2]中给出了 $t r e e (4)$ 的一个下界： $t r e e (4) > H_{ε_{ω^{2} 2 + 1} + α} (2 ↑ ↑ ↑ 6)$

参考资料

[1] ttps://www.zhihu.com/question/353941713/answer/885942447

[2] ttps://www.zhihu.com/question/1907086430552950742/answer/1909662327449584802

[1]

[2]

@@ 第4行： / 第4行： @@
 === 树的嵌入 ===
+[[文件:树的嵌入.png|缩略图]]
 给定两棵树<math>A</math>和<math>B</math>，我们称<math>A</math>能嵌入到<math>B</math>中，如果<math>B</math>能通过有限次以下操作得到<math>A</math>：
 * 删除一个叶子节点。
 * 若某点只有两条边和它连接，删除这个点，用一条边连接与它相邻的两个顶点(即将两条相邻的边合并成一条)。
+例如，图中右边的两棵树均能嵌入到左边的树中，但它们不能互相嵌入。
 === TREE(n) ===
+TREE函数研究的是一类特殊的树，其每个顶点被赋予一个值，称为该点的“颜色”。
 给定正整数n，<math>\rm TREE(n)</math>被定义为满足以下条件的“树列”<math>\{T_n\}</math>的最大长度：
@@ 第23行： / 第27行： @@
 # <math>T_k</math>至多有<math>n+k</math>个顶点；
 # 对于正整数<math>k<l</math>，<math>T_k</math>不能嵌入到<math>T_l</math>中。
+== 有限性证明 ==
+<math>\rm TREE(n)</math>和<math>\rm tree(n)</math>的序列总是有限的，这可由Kruskal树定理保证。
+我们首先要引入'''良拟序(Well-quasi-ordering)'''的概念，它可以看成[[良序]]在一般[[良序#偏序集|偏序集]]上的推广。
+设<math>(X,\le)</math>为一偏序集，若对于<math>X</math>中任意无穷序列<math>x_0,x_1,x_2,\cdots</math>，总存在<math>i<j</math>使得<math>x_i\le x_j</math>，则称<math>\le</math>为集合<math>X</math>上的一个良拟序。
+换句话说，若偏序集中不存在“无穷降链”，也不存在“无穷不可比较链”，则称该偏序为一个良拟序。
+Kruskal树定理说明，树的嵌入关系是一个良拟序。
+也就是说，任意无限棵树构成的序列中，必存在两棵树，前面的树能嵌入到后面的树中。这就证明了<math>\rm tree(n)</math>的有限性。
 == 取值 ==
@@ 第42行： / 第59行： @@
 === TREE(3) ===
+[[文件:TREE(3).jpg|缩略图]]
 和<math>\rm TREE(1)</math>、<math>\rm TREE(2)</math>仅有一位数的取值相比，<math>\rm TREE(3)</math>的值出现了“暴涨”，其远远超过了[[葛立恒数]]和[[Kirby-Paris Hydra|Hydra(5)]]，这使它成为大数领域中最著名的数字之一。
-HypCos在这篇回答<ref>https://www.zhihu.com/question/353941713/answer/885942447</ref>中给出了<math>\rm TREE(3)</math>、的一个下界：
+右图是<math>\rm TREE(3)</math>序列可能的前几项。
+HypCos在这篇回答<ref>https://www.zhihu.com/question/353941713/answer/885942447</ref>中给出了<math>\rm TREE(3)</math>的一个下界：
 \({\rm TREE(3)}>H_{\varphi(1@\omega,3)\cdot\varphi(1@\omega)}({\rm tree(tree(3)+1)})\)(其中H为[[增长层级#哈代层级|哈代层级]]，下同)
 === tree(4) ===
-年5月24日，HypCos在这篇回答<ref>https://www.zhihu.com/question/1907086430552950742/answer/1909662327449584802</ref>中给出了<math>\rm tree(4)</math>的一个下界：
+年5月24日，HypCos在这篇回答<ref>https://www.zhihu.com/question/1907086430552950742/answer/1909662327449584802</ref>中给出了<math>\rm tree(4)</math>的一个下界：<math>{\rm tree(4)}>H_{\varepsilon_{\omega^22+1}+\alpha}(2\uparrow\uparrow\uparrow6)</math>
-<math>{\rm tree(4)}>H_{\varepsilon_{\omega^22+1}+\alpha}(2\uparrow\uparrow\uparrow6)</math>
+== 参考资料 ==
 <references />
 [[分类:记号]]