良序

偏序集

如果一个非空集合 $A$ 上定义的一个二元关系 $\le$ 满足

1. 自反性：$\mathrm{\forall }a\in A,a\le a$
2. 反对称性：$\mathrm{\forall }a,b\in A,(a\le b\wedge b\le a)\Rightarrow a=b$
3. 传递性：$\mathrm{\forall }a,b,c\in A,(a\le b\wedge b\le c)\Rightarrow a\le c$

我们就称这个二元关系为集合上的一个偏序，集合称为偏序集，记作 $(A,\le )$．

良序集

在偏序关系的基础上，我们进一步引入全序关系的概念：

设有一偏序集 $(A,\le )$，如果对集合的任意有限非空子集都有关于偏序的最小元素，即我们就称偏序是全序，$(A,\le )$ 是一个全序集．上述定义等价于 $\mathrm{\forall }a,b\in A$，总有 $a\le b$ 或 $b\le a$ 至少一者成立（集合的任意两个元素之间可以比较大小）．

如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个良序集，此时 $\le$ 为集合上的一个良序．

概念

在描述具有无限个元素的集合的元素“多少”的时候，我们定义了势，即如果两个集合间能建立双射，则它们具有相同的势．那么，为了更精确描述良序集的“大小”，我们定义保序映射：

如果集合 $(A,{ℒ})$ 和 $(B,{ℛ})$ 是良序集，$f:A\to B$，若对任意的 $x,y\in A$，有 $x{ℒ}y⟹f(x){ℛ}f(y)$，则称 $f$ 是保序映射．

良序集中小于某元素的元素构成的集合依然是良序集，我们定义这一集合为该良序集关于该元素的前段，即如果 $(W,\le )$ 是良序集且 $u\in W$，则集合 $\{x\in W|x<u\}$ 是 $W$ 关于 $u$ 的前段．

于是我们可以定义序型：

如果集合 $(A,{ℒ})$ 和 $(B,{ℛ})$ 是良序集，且存在双射 $f:A\to B$ 使得 $f$ 和 $f^{-1}$ 均为保序映射，则称 $(A,{ℒ})$和$(B,{ℛ})$ 序同构，即具有相同的序型．

如果集合 $(A,{ℒ})$ 与集合 $(B,{ℛ})$ 的某一前段同构，则称 $(A,{ℒ})$ 的序型小于 $(B,{ℛ})$．

根据命数定理，任意良序集 $(A,\le )$ 与唯一序数 $\alpha$ 同构，我们也把这个序数 $\alpha$ 叫做良序集 $(A,\le )$ 的序型．