命数定理

定理1：每个良序集都同构于唯一一个序数。

引理1：如果对于两个良序集 $W_{1}, W_{2}$ ， $W_{1}$ 同构到 $W_{2}$ ，则这个同构是唯一的。

定义：一个良序集 $(W, <)$ 根据任意一个 $W$ 的元素 $x$ 得到的始段为 $W (x) = {u \in W : u < x}$ .

引理2：不存在一个良序集同构于它的始段。

定理2：对于任何两个良序集 $W_{1}, W_{2}$ ，只会有以下其中一种情况发生:

$W_{1}$ 同构于 $W_{2}$ 的一个始段；
$W_{2}$ 同构于 $W_{1}$ 的一个始段；
$W_{1}$ 同构于 $W_{2}$ .

证明：定义 $f = {(x, y) : x \in W_{1} \land y \in W_{2} \land W_{1} (x) 同构于 W_{2} (y)}$ .

由引理2，这是一个一对一函数（如果不是，则存在 $u, y \in W_{2}$ 使得 $W_{2} (u)$ 同构于 $W_{2} (y)$ ，且 $u < y$ ，则 $W_{2} (u)$ 也是 $W_{2} (y)$ 的始段，由引理2得知矛盾，所以这是一个一对一函数）。

对于任意 $W_{1}$ 元素 $u < x$ ， $W_{2}$ 元素 $y$ ，且 $W_{1} (x)$ 同构于 $W_{2} (y)$ ，则 $W_{1} (u)$ 同构于 $W_{2} (f (u))$ ，则 $W_{2} (f (u))$ 是 $W_{2} (y)$ 的始段，所以 $f (u) < y$ ，这个映射是同构。

如果值域为 $W_{2}$ 且定义域为 $W_{1}$ ，则这个 $W_{1}$ 同构于 $W_{2}$ .

如果定义域是 $W_{1}$ 且值域为 $W_{2}$ 的始段，则 $W_{1}$ 同构于 $W_{2}$ 的始段。

如果值域是 $W_{2}$ 且定义域是 $W_{1}$ 的始段，则 $W_{2}$ 同构于 $W_{1}$ 的始段。

（假设最大只存在 $W_{1}$ 始段 $A$ 和 $W_{2}$ 始段 $B$ 同构，考虑最小的 $u \in W_{1}$ 使得 $u$ 不属于 $A$ 和最小的 $k \in W_{2}$ 使得 $k$ 不属于 $B$ ，显然，由 $u$ 和 $k$ 分别生成的始段同构，所以 $u$ 和 $k$ 所成的有序对应该是 $f$ 的元素。然而这与我们的假设相背，所以矛盾）。

定理1的证明：由于任意良序集和序数都是良序集，所以对于任意一个良序集 $W$ 和序数 $a$ ，如果 $W$ 同构于 $a$ ，则 $W$ 和 $a$ 的同构也是唯一的（否则，存在 $a < b$ 或 $c < a$ 使得 $a$ 同构于 $c$ 或者 $b$ ，由于 $a < b$ 则 $a$ 为 $b$ 始段， $c < a$ 则 $c$ 为 $a$ 始段，由引理2得到矛盾，所以这个同构唯一），如果 $W$ 同构于 $a$ 的始段，显然 $W$ 也同构于这个始段对应的序数；如果 $W$ 的始端同构于 $a$ ，那么必然存在 $b > a$ 使得 $W$ 同构于 $b$ ，由前面可得同构唯一性。

所以，任意良序集同构于唯一一个序数。