TREE函数：修订间差异

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2025年8月20日 (三) 16:17的最新版本

TREE 函数是由数理逻辑学家 Harvey Friedman 提出的图论函数。

定义

树的嵌入

给定两棵树 A 和 B，我们称 A 能嵌入到 B 中，如果 B 能通过有限次以下操作得到 A：

删除一个叶子节点。
若某点只有两条边和它连接，删除这个点，用一条边连接与它相邻的两个顶点(即将两条相邻的边合并成一条)。

例如，图中右边的两棵树均能嵌入到左边的树中，但它们不能互相嵌入。

TREE(n)

TREE 函数研究的是一类特殊的树，其每个顶点被赋予一个值，称为该点的“颜色”。

给定正整数 n， $T R E E (n)$ 被定义为满足以下条件的“树列” ${T_{n}}$ 的最大长度：

所有树的顶点至多有 $n$ 种不同的颜色；
$T_{k}$ 至多有 $k$ 个顶点；
对于正整数 $k < l$ ， $T_{k}$ 不能嵌入到 $T_{l}$ 中。

tree(n)

$t r e e (n)$ (注意大小写)被称为弱tree函数，它研究的不是染色树，而是普通树。

给定正整数n， $t r e e (n)$ 被定义为满足以下条件的“树列” ${T_{n}}$ 的最大长度：

$T_{k}$ 至多有 $n + k$ 个顶点；
对于正整数 $k < l$ ， $T_{k}$ 不能嵌入到 $T_{l}$ 中。

有限性证明

$T R E E (n)$ 和 $t r e e (n)$ 的序列总是有限的，这可由 Kruskal 树定理保证。

我们首先要引入良拟序（Well-quasi-ordering）的概念，它可以看成良序在一般偏序集上的推广。

设 $(X, \leq)$ 为一偏序集，若对于 $X$ 中任意无穷序列 $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots$ ，总存在 $i < j$ 使得 $x_{i} \leq x_{j}$ ，则称 $\leq$ 为集合 $X$ 上的一个良拟序。

换句话说，若偏序集中不存在“无穷降链”，也不存在“无穷不可比较链”，则称该偏序为一个良拟序。

Kruskal 树定理说明，树的嵌入关系是一个良拟序。

也就是说，任意无限棵树构成的序列中，必存在两棵树，前面的树能嵌入到后面的树中。这就证明了 $t r e e (n)$ 的有限性。

取值

n 较小时

对于 $T R E E (n)$ ，有：

$T R E E (1) = 1$
$T R E E (2) = 3$

对于 $t r e e (n)$ ，有：

$t r e e (1) = 2$
$t r e e (2) = 5$
$t r e e (3) \geq 844, 424, 930, 131, 960$

TREE(3)

和 $T R E E (1)$ 、 $T R E E (2)$ 仅有一位数的取值相比， $T R E E (3)$ 的值出现了“暴涨”，其远远超过了葛立恒数和 Hydra(5)，这使它成为大数领域中最著名的数字之一。

右图是 $T R E E (3)$ 序列可能的前几项。

HypCos 在这篇回答^[1]中给出了 $T R E E (3)$ 的一个下界：

${\rm TREE(3)}>H_{\varphi(1@\omega,3)\cdot\varphi(1@\omega)}({\rm tree(tree(3)+1)})$（其中 H 为哈代层级，下同）

tree(4)

2025 年 5 月 24 日，HypCos 在这篇回答^[2]中给出了 $t r e e (4)$ 的一个下界： $t r e e (4) > H_{ε_{ω^{2} 2 + 1} + α} (2 ↑ ↑ ↑ 6)$

增长率

通过对树的嵌入关系进行编序(此处等待进一步说明)，我们可以得到 $T R E E (n)$ 和 $t r e e (n)$ 的增长率分别为

${\rm TREE(n)}\sim\varphi(\omega@\omega)$

${\rm tree(n)}\sim\varphi(1@\omega)$

参考资料

↑ HypCos (2019). 从数学原理上说一说，葛立恒数、tree(3) 等数为什么那么大？[From a mathematical point of view, why are Graham's constants, tree(3) and other numbers so big?]. (EB/OL), Zhihu. https://www.zhihu.com/question/353941713/answer/885942447
↑ HypCos (2025). 大数问题：tree(4)有多大？[Googology problem: How big is tree(4)?]. (EB/OL), Zhihu. https://www.zhihu.com/question/1907086430552950742/answer/1909662327449584802

[1] HypCos (2019). 从数学原理上说一说，葛立恒数、tree(3) 等数为什么那么大？[From a mathematical point of view, why are Graham's constants, tree(3) and other numbers so big?]. (EB/OL), Zhihu. https://www.zhihu.com/question/353941713/answer/885942447

[2] HypCos (2025). 大数问题：tree(4)有多大？[Googology problem: How big is tree(4)?]. (EB/OL), Zhihu. https://www.zhihu.com/question/1907086430552950742/answer/1909662327449584802

[1]

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-'''TREE函数'''是由数理逻辑学家Harvey Friedman提出的图论函数。
+'''TREE 函数'''是由数理逻辑学家 Harvey Friedman 提出的图论函数。
-== 定义 ==
+=== 定义 ===
-=== 树的嵌入 ===
+==== 树的嵌入 ====
-给定两棵树<math>A</math>和<math>B</math>，我们称<math>A</math>能嵌入到<math>B</math>中，如果<math>B</math>能通过有限次以下操作得到<math>A</math>：
+[[文件:树的嵌入.png|缩略图]]
+给定两棵树 A 和 B，我们称 A 能嵌入到 B 中，如果 B 能通过有限次以下操作得到 A：
 * 删除一个叶子节点。
 * 若某点只有两条边和它连接，删除这个点，用一条边连接与它相邻的两个顶点(即将两条相邻的边合并成一条)。
+例如，图中右边的两棵树均能嵌入到左边的树中，但它们不能互相嵌入。
-=== TREE(n) ===
+==== TREE(n) ====
-给定正整数n，<math>\rm TREE(n)</math>被定义为满足以下条件的“树列”<math>\{T_n\}</math>的最大长度：
+TREE 函数研究的是一类特殊的树，其每个顶点被赋予一个值，称为该点的“颜色”。
-# 所有树的顶点至多有<math>n</math>种不同的颜色；
+给定正整数 n，<math>\rm TREE(n)</math> 被定义为满足以下条件的“树列”<math>\{T_n\}</math> 的最大长度：
-# <math>T_k</math>至多有<math>k</math>个顶点；
-# 对于正整数<math>k<l</math>，<math>T_k</math>不能嵌入到<math>T_l</math>中。
+# 所有树的顶点至多有 <math>n</math> 种不同的颜色；
+# <math>T_k</math> 至多有 <math>k</math> 个顶点；
+# 对于正整数 <math>k<l</math>，<math>T_k</math> 不能嵌入到 <math>T_l</math> 中。
-=== tree(n) ===
+==== tree(n) ====
 <math>\rm tree(n)</math>(注意大小写)被称为'''弱tree函数'''，它研究的不是染色树，而是普通树。
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 # 对于正整数<math>k<l</math>，<math>T_k</math>不能嵌入到<math>T_l</math>中。
-== 取值 ==
+=== 有限性证明 ===
+<math>\rm TREE(n)</math> 和 <math>\rm tree(n)</math> 的序列总是有限的，这可由 Kruskal 树定理保证。
+我们首先要引入'''良拟序（Well-quasi-ordering）'''的概念，它可以看成[[良序]]在一般[[良序#偏序集|偏序集]]上的推广。
+设 <math>(X,\le)</math> 为一偏序集，若对于 <math>X</math> 中任意无穷序列 <math>x_0,x_1,x_2,\cdots</math>，总存在 <math>i<j</math> 使得 <math>x_i\le x_j</math>，则称 <math>\le</math> 为集合 <math>X</math> 上的一个良拟序。
+换句话说，若偏序集中不存在“无穷降链”，也不存在“无穷不可比较链”，则称该偏序为一个良拟序。
+Kruskal 树定理说明，树的嵌入关系是一个良拟序。
+也就是说，任意无限棵树构成的序列中，必存在两棵树，前面的树能嵌入到后面的树中。这就证明了 <math>\rm tree(n)</math> 的有限性。
-=== n较小时 ===
+=== 取值 ===
-对于<math>\rm TREE(n)</math>，有：
-<math>\rm TREE(1)=1</math>
+==== n 较小时 ====
+对于 <math>\rm TREE(n)</math>，有：
-<math>\rm TREE(2)=3</math>
+* <math>\rm TREE(1)=1</math>
+* <math>\rm TREE(2)=3</math>
 对于<math>\rm tree(n)</math>，有：
-<math>\rm tree(1)=2</math>
+# <math>\rm tree(1)=2</math>
+# <math>\rm tree(2)=5</math>
+# <math>{\rm tree(3)\geq844,424,930,131,960}</math>
+==== TREE(3) ====
+[[文件:TREE(3).jpg|缩略图]]
+和 <math>\rm TREE(1)</math>、<math>\rm TREE(2)</math> 仅有一位数的取值相比，<math>\rm TREE(3)</math> 的值出现了“暴涨”，其远远超过了[[葛立恒数]]和 [[Kirby-Paris Hydra|Hydra(5)]]，这使它成为大数领域中最著名的数字之一。
-<math>\rm tree(2)=5</math>
+右图是 <math>\rm TREE(3)</math> 序列可能的前几项。
-<math>{\rm tree(3)>844,424,930,131,960}</math>
+HypCos 在这篇回答<ref>HypCos (2019). 从数学原理上说一说，葛立恒数、tree(3) 等数为什么那么大？[From a mathematical point of view, why are Graham's constants, tree(3) and other numbers so big?]. ''(EB/OL), Zhihu''. https://www.zhihu.com/question/353941713/answer/885942447</ref>中给出了 <math>\rm TREE(3)</math> 的一个下界：
-=== TREE(3) ===
+\({\rm TREE(3)}>H_{\varphi(1@\omega,3)\cdot\varphi(1@\omega)}({\rm tree(tree(3)+1)})\)（其中 H 为[[增长层级#哈代层级|哈代层级]]，下同）
-和<math>\rm TREE(1)</math>、<math>\rm TREE(2)</math>仅有一位数的取值相比，<math>\rm TREE(3)</math>的值出现了“暴涨”，其远远超过了[[葛立恒数]]和[[Kirby-Paris Hydra|Hydra(5)]]，这使它成为大数领域中最著名的数字之一。
-HypCos在这篇回答<ref>https://www.zhihu.com/question/353941713/answer/885942447</ref>中给出了<math>\rm TREE(3)</math>、的一个下界：
+==== tree(4) ====
+年 5 月 24 日，HypCos 在这篇回答<ref>HypCos (2025). 大数问题：tree(4)有多大？[Googology problem: How big is tree(4)?]. ''(EB/OL), Zhihu''.  https://www.zhihu.com/question/1907086430552950742/answer/1909662327449584802</ref>中给出了 <math>\rm tree(4)</math> 的一个下界：<math>{\rm tree(4)}>H_{\varepsilon_{\omega^22+1}+\alpha}(2\uparrow\uparrow\uparrow6)</math>
-\({\rm TREE(3)}>H_{\varphi(1\omega,3)\cdot\varphi(1\omega)}({\rm tree(tree(3)+1)})\)(其中H为[[增长层级#哈代层级|哈代层级]]，下同)
+=== 增长率 ===
+通过对树的嵌入关系进行编序(此处等待进一步说明)，我们可以得到 <math>\rm TREE(n)</math> 和 <math>\rm tree(n)</math> 的增长率分别为
-=== tree(4) ===
+\({\rm TREE(n)}\sim\varphi(\omega@\omega)\)
-年5月24日，HypCos在这篇回答<ref>https://www.zhihu.com/question/1907086430552950742/answer/1909662327449584802</ref>中给出了<math>\rm tree(4)</math>的一个下界：
-<math>{\rm tree(4)}>H_{\varepsilon_{\omega^22+1}+\alpha}(2\uparrow\uparrow\uparrow6)</math>
+\({\rm tree(n)}\sim\varphi(1@\omega)\)
+== 参考资料 ==
+<references />{{默认排序:相关问题}}
+[[分类:记号]]