BHO

BHO（Bachmann-Howard Ordinal），是一个重要的序数。它被认为是具有“里程碑”意义的一个序数。

序数记号	表达式
Veblen 函数	\(\varphi(1@(1@(\cdots)))=\varphi(\min\;\alpha\mapsto1@(\alpha)\;\text{Fixed Point})\)
BOCF	$\psi ({\mathrm{\Omega }}_2)=\psi ({\psi }_1({\psi }_1({\psi }_1(\cdots ))))$
MOCF	$\psi ({\psi }_1(0))=\psi ({\epsilon }_{\mathrm{\Omega }+1})=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{\cdots }}})$
BMS	$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)=(0)(1,1)(2,2)$
HPrSS	$1,4$
0-Y	$1,3,6$
1-Y / ω-Y	$1,2,4,7$
PSS Hydra	${\psi }_1^{\text{H}}({\psi }_2^{\text{H}}({\psi }_3^{\text{H}}(0))))$
weak Veblen 函数	\(\varphi(1@(1@(\cdots)))=\varphi(\min\;\alpha\mapsto1@(\alpha)\;\text{Fixed Point})\)
BHM	$\left(\begin{array}{cccccccc}0& 1& 1& 1& 2& 1& 2& 3\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$
BSM	$\left(\begin{array}{ccccccc}0& 1& 2& 0& 1& 1& 2\end{array}\right)$
NOCF	$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Omega }}+{\mathrm{\Omega }}_{\omega })/\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Omega }}+{\mathrm{\Omega }}_{\psi (\mathrm{\Omega })})$
M 记号	$\psi (\psi (M\times 2))$
FOS	$0,1,\omega ,{\omega }^2$
+ω法序数超运算	$\omega \{\mathrm{\Omega }\uparrow \uparrow \omega \}\omega$

性质

BHO 是 weak Veblen 函数与 Veblen 函数的追平点。

证明论序数：$\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$，$\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\mathrm{-}}$，${\text{ID}}_1$，$\mathrm{K}\mathrm{P}$，$\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}+\mathrm{\forall }X\mathrm{\exists }M(X\in M\wedge M{\models }_{\omega }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I})$

极限在此处的记号：MPF，带 / 的 BAN，Bird's H，Ω 记号，Veblen 函数，weak Veblen 函数