序数超运算

序数超运算是对序数使用超运算的尝试。它虽然是最直观、新人最容易想到的模式，但已经被长期的googology实践所证明是低效、难以扩展的。

原定义

首先，我们仿照高德纳箭头在自然数上的定义和序数运算的定义，给出序数使用高德纳箭头的定义：

1. $\alpha {\uparrow }^1\beta ={\alpha }^{\beta }$
2. $\alpha {\uparrow }^{c}1=\alpha$
3. $\alpha {\uparrow }^{c+1}(\beta +1)=\alpha {\uparrow }^c(\alpha {\uparrow }^{c+1}\beta )$
4. $\alpha {\uparrow }^c\lambda =sup\{\alpha {\uparrow }^c\beta |\beta <\lambda \}$

其中$\alpha ,\beta$是任意序数，c是自然数，$\lambda$是非0极限序数。

这样一来，就有$\omega {\uparrow }^2(\omega +1)={\omega }^{\omega {\uparrow }^2\omega }=sup\{{\omega }^{\omega {\uparrow }^{2}n}|n<\omega \}=sup\{\omega {\uparrow }^{2}n|n<\omega \}=\omega {\uparrow }^2\omega$.进一步，对任意$\beta \ge \omega$，都有$\omega {\uparrow }^2\beta =\omega {\uparrow }^2\omega$.再进一步，对任意的$c\ge 2,\beta \ge \omega$,都有$\omega {\uparrow }^c\beta =\omega {\uparrow }^2\omega$.

这显然不是我们所期待的。

左结合法

第一种试图解决问题的方案是左结合法。它借鉴了下箭头表示法，给出序数使用下箭头的定义：

1. $\alpha {\downarrow }^1\beta ={\alpha }^{\beta }$
2. $\alpha {\downarrow }^{c}1=\alpha$
3. $\alpha {\downarrow }^{c+1}(\beta +1)=(\alpha {\downarrow }^{c+1}\beta )\downarrow \alpha$
4. $\alpha {\downarrow }^c\lambda =sup\{\alpha {\downarrow }^c\beta |\beta <\lambda \}$

其中$\alpha ,\beta$是任意序数，c是自然数，$\lambda$是非0极限序数。

于是有：

$\omega {\downarrow }^{2}2={\omega }^{\omega }$

$\omega {\downarrow }^{2}3={\omega }^{{\omega }^2}$

$\omega {\downarrow }^2\omega ={\omega }^{{\omega }^{\omega }}$

$(\omega {\downarrow }^2\omega ){\downarrow }^{2}2={\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}$

$\omega {\downarrow }^{3}3={\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}}$

$\omega {\downarrow }^{3}4={\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}}}}$

$\omega {\downarrow }^3\omega ={\epsilon }_0$

$(\omega {\downarrow }^3\omega ){\downarrow }^{2}2={\epsilon }_0^{{\epsilon }_0}$

$(\omega {\downarrow }^3\omega ){\downarrow }^2\omega ={\epsilon }_0^{{\epsilon }_0^{\omega }}$

$(\omega {\downarrow }^3\omega ){\downarrow }^{3}2={\epsilon }_0^{{\epsilon }_0^{{\epsilon }_0}}$

$(\omega {\downarrow }^3\omega ){\downarrow }^{3}3={\epsilon }_0^{{\epsilon }_0^{{\epsilon }_0^{{\epsilon }_0^{{\epsilon }_0}}}}$

$\omega {\downarrow }^{4}3={\epsilon }_1$

$\omega {\downarrow }^{4}4={\epsilon }_2$

$\omega {\downarrow }^4\omega ={\epsilon }_{\omega }$

$(\omega {\downarrow }^4\omega ){\downarrow }^3\omega ={\epsilon }_{\omega +1}$

$(\omega {\downarrow }^4\omega ){\downarrow }^{4}2={\epsilon }_{{\epsilon }_{\omega }}$

$(\omega {\downarrow }^4\omega ){\downarrow }^{4}3={\epsilon }_{{\epsilon }_{\omega }2}$

$\omega {\downarrow }^{5}3={\epsilon }_{{\epsilon }_{\omega }\omega }$

$\omega {\downarrow }^{5}4={\epsilon }_{{\epsilon }_{{\epsilon }_{\omega }\omega }\omega }$

$\omega {\downarrow }^5\omega ={\zeta }_0$

$\omega {\downarrow }^6\omega ={\zeta }_{\omega }$

$\omega {\downarrow }^7\omega =\phi (3,0)$

$\omega {\downarrow }^{1+2n}\omega =\phi (n,0)$

把下箭头用到序数上，其极限为$\phi (\omega ,0)$，也符合箭头运算的强度。

但是，左结合的下箭头行为和高德纳箭头差异还是不小，而且两个箭头对应一个$\phi (n,0)$还是不太符合我们的预期。

攀爬法

第二种试图解决问题的方案是攀爬法。攀爬法提供了一种更强的推广。我们知道，${\epsilon }_1$的基本列是$\{{\omega }^{{\epsilon }_0+1},{\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_0+1}},{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_0+1}}},\cdots \}$，我们可以将其表示为$\{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\cdots }}}+1,{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\cdots }}+1},{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\cdots }+1}},\cdots \}$.在这里我们把$\omega$的指数塔固定在$\omega$。在这样的基本列中，+1像在指数塔攀爬一样，攀爬法也因此而得名。在基本列的尽头，+1攀爬到了指数塔的顶端，与原来在顶端的1相加变为2。因此我们得到${\epsilon }_1=\underset{\omega +1layers}{\underbrace{{\omega }^{{\omega }^{{\cdots }^2}}}}$.进一步的，按照攀爬法我们有${\epsilon }_{\omega }=\underset{\omega +1layers}{\underbrace{{\omega }^{{\omega }^{{\cdots }^{\omega }}}}}$,我们将其记为$\omega \uparrow \uparrow (\omega +1)={\epsilon }_{\omega }$.

进一步有：

$\omega \uparrow \uparrow (\omega +2)={\epsilon }_{{\omega }^{\omega }}$

$\omega \uparrow \uparrow (\omega \times 2)={\epsilon }_{{\epsilon }_0}$

$\omega \uparrow \uparrow ({\omega }^2)={\zeta }_0$

$\omega \uparrow \uparrow ({\omega }^3)={\eta }_0$

$\omega \uparrow \uparrow ({\omega }^{\omega })=\phi (\omega ,0)$

$\omega \uparrow \uparrow \omega \uparrow \uparrow \omega =\phi (\phi (1,0),0)$

$\omega {\uparrow }^{3}4=\phi (\phi (\phi (1,0),0),0)$

$\omega {\uparrow }^3\omega =\phi (1,0,0)$

$\omega {\uparrow }^3(\omega +1)=\phi (1,0,1)$

$\omega {\uparrow }^3({\omega }^2)=\phi (1,1,0)$

$\omega {\uparrow }^3\omega {\uparrow }^3\omega =\phi (1,\phi (1,0,0),0)$

$\omega {\uparrow }^{4}4=\phi (1,\phi (1,\phi (1,0,0),0),0)$

$\omega {\uparrow }^4\omega =\phi (2,0,0)$

$\omega {\uparrow }^5\omega =\phi (3,0,0)$

$\omega {\uparrow }^{\omega }\omega =\phi (\omega ,0,0)$

由此我们得到了攀爬法序数超运算的极限是$\phi (\omega ,0,0)$.

但是现在已经证明了，攀爬法是非良序的。因此这一做法得到的推广是不可靠的。

+1法

第三中试图解决问题的方案是+1法。

它基于一种特别朴素的想法，即：如果$\omega {\uparrow }^c\alpha =\alpha$,则修改其值为$\omega {\uparrow }^c(\alpha +1)$.显然，这一改变真正起到效果的是指数上的变化。关于+1法序数超运算，我们有：

$\omega \uparrow \uparrow (\omega +1)={\omega }^{{\epsilon }_0+1}$

$\omega \uparrow \uparrow (\omega +2)={\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_0+1}}$

$\omega \uparrow \uparrow (\omega \times 2)={\epsilon }_1$

$\omega \uparrow \uparrow (\omega \times 3)={\epsilon }_2$

$\omega \uparrow \uparrow ({\omega }^2)={\epsilon }_{\omega }$

$\omega \uparrow \uparrow \omega \uparrow \uparrow \omega ={\epsilon }_{{\epsilon }_0}$

$\omega {\uparrow }^3\omega ={\zeta }_0$

$\omega {\uparrow }^3(\omega +1)={\epsilon }_{{\zeta }_0+1}$

$\omega {\uparrow }^3(\omega \times 2)={\zeta }_1$

$\omega {\uparrow }^3\omega {\uparrow }^3\omega ={\zeta }_{{\zeta }_0}$

$\omega {\uparrow }^4\omega ={\eta }_0$

$\omega {\uparrow }^5\omega =\phi (4,0)$

$\omega {\uparrow }^{\omega }\omega =\phi (\omega ,0)$

于是我们得到其极限为$\phi (\omega ,0)$。它的优点是它和$\phi$函数行为完全一致。但缺点也是这个。这导致了$\omega \uparrow \uparrow (\omega +1)=(\omega \uparrow \uparrow \omega )\times \omega$这种奇异的结果，某种意义上丢失了超运算自己的特性。因此可以说，+1法序数超运算被$\phi$函数上位替代了。

总结

到目前为止，序数超运算不是不良定义，就是不理想的。我们不建议在任何地方使用高于${\epsilon }_0$的序数超运算和更高级别的运算。如果要使用，必须仅仅将它作为形式上的符号，并且明确地说明其具体含义。事实上，我们完全可以使用Veblen 函数这样的更加强大且清晰的序数记号来替代它。