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大数史

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早期大数时期（* - 1888）

  • 约 BC 3500 - BC 500 年，苏美尔与巴比伦的大数使用：苏美尔人使用 60 进制（sexagesimal）系统，在行政、天文和数学文本中频繁记录大数。例如：《普林顿322》（Plimpton 322）泥板（约 BC 1800 年）记录了毕达哥拉斯三元组，其中涉及较大的整数（如 1590000），用于土地测量或建筑计算。乌尔第三王朝的行政记录中，使用“gur”的倍数表示谷物储备，如“10 gur”或更大数量。巴比伦人进一步发展了60进制，在天文表（如《当娜星表》）中记录行星运动周期。[1][2][3]
  • 约 BC 3300 - BC 1300 年，哈拉帕文明的大数使用：哈拉帕文明使用十进制系统，在度量衡（如长度、重量）中体现对大数的划分。例如：长度单位“cubit”的倍数（如“10 cubit”），重量单位“karsha”的倍数（如“100 karsha”）。“Dholavira符号”等可能记录了更大的数量。[4][5]
  • 约 BC 3100 - BC 300 年，古埃及的大数使用：古埃及人使用十进制系统，在数学纸草（如《莱因德纸草》和《莫斯科纸草》）中记录大数，主要用于土地分配、谷物存储和金字塔建设。例如《莱因德纸草》（约公元前 1650 年）中提到“1000000”用于计算金字塔石块的体积（问题第79题）。法老对神的献祭记录中，使用“百”、“千”等单位（如“10000头牛”），反映对大数的实用化命名。古埃及的“hekat”单位的倍数（如“1,000 hekat”）也体现了对大数的系统化记录。[6][7]
  • 约 BC 1600 - BC 256 年，中国的大数使用：商代甲骨文中，使用“百”、“千”、“万”等单位记录祭祀品数量（甲骨文卜辞“壬午卜，贞：王宾歳亡尤？ 百牛、百犬。”）周代金文（如《毛公鼎》）中，使用“万”单位（如“赐汝马四匹、牛二十又七、羊三百又五十”）。《尚书·牧誓》中“百万”一词首次出现（“率诸侯之师百万”）。[8][9][10]
  • 约 BC 216 年，阿基米德（Archimedes，Ἀρχιμήδης）写下了《数沙者》（Ψαμμίτης）一书，其中描述了一种基于 myriad 的记数系统，并达到了 108×1016。[11][12][13]
  • 约 BC 190 年，佩尔加的阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，Ἀπολλώνιος）撰写了《圆锥曲线论》，并发明了罗马数字中高位数的上标符号。[14][15]
  • 约 BC 200 - 100 年，《方便心论》可能将"Jaghanya Parīta Asaṃkhyāta"大致定义为约 10↑↑(1.285×10136)。[16]
  • 约 1 世纪，普鲁塔克（Plutarch）在《道德小品》（Moralia）的《论灵魂的原始与命运》（De animae procreatione in Timaeo）中，普鲁塔克通过柏拉图《蒂迈欧篇》的注释，讨论了宇宙的无限性与时间的永恒性。他提到“无限大的数”（ἄπειρος ἀριθμός）作为哲学隐喻，反映古希腊对“无限”概念的早期探索，尽管非严格数学定义，但为后世大数理论提供了哲学基础。[17][18][19]
  • 约 190 - 210 年，东汉数学家徐岳（或约公元 540 - 560 年，南北朝时期数学家甄鸾）撰写出《数术记遗》一书，相当完整地记载了中国表示数量的数词，这些数词计有：一、二 、三、四、五、六、七、八、九、 十、百、千、万（十千）、亿、兆（万亿）、京、垓 、秭、穰、沟、涧、正、载。还描述了中国古代三种数字单位制：上数、中数、下数。[20][21][22]
  • 约 3-4 世纪，《华严经》成书，涉及阿僧祇、无量、不可说不可说转等大数，与中国上数记数核心一致。[23][24]
  • 约 4-5 世纪，《孙子算经》载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载。”和《数术记遗》一致。[25]
  • 703 年，贝德（Venerable Bede）在《时间的计算》（De temporum ratione）中，系统化了时间单位的命名，包括“世纪”（saeculum，100年）、“千年”（millennium，1000年）等。[26][27][28]
  • 1484 年，尼古拉斯·丘卡特（Nicolas Chuquet）在著作《数的三重艺术》（Triparty en la science des nombres）中，首次系统描述了使用指数符号表示大数的方法。[29][30]
  • 1494 年，“million”（百万，106）一词最早见于意大利数学家卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）的《算术、几何、比与比例概要》（Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità）。[31]“billion”（十亿，109）和“trillion”（万亿，1012）等术语在 16 世纪法国数学文献中开始使用，尽管当时定义与现代不同（如法国曾用“billion”表示 1012，而英语国家用 109）。[32]
  • 1544 年，米夏埃尔·施蒂费尔（Michael Stifel）在《整数算术》（Arithmetica integra）中，提出了用“+”和“-”表示指数的符号系统，例如“12+3”表示 12×103（即12000），“12-1”表示 12×10-1（即1.2）。这一符号系统简化了大数的书写，为后世科学记数法的发展奠定了基础，也体现了文艺复兴时期对大数表示的数学化尝试。[33][34]
  • 1585 年，西蒙·斯特芬（Simon Stevin）在著作《十进制》（De Thiende）中，系统阐述了十进制小数，并提出用指数表示数的思想。[35][36]
  • 1631 年，吉田光由（Yoshida Mitsuyoshi）在《尘劫记》（Jinkoki）中定义了数位系统，直至"无量大数"（muryoutaisuu）。[37]
  • 1687 年，艾萨克·牛顿（Isaac Newton）在《自然哲学的数学原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica）中，广泛使用指数符号（如“a×10b”）表示天体运动中的极大或极小数值，其符号体系已与现代形式一致。1713 年，理查德·本特利（Richard Bentley）在编辑牛顿《原理》的第二版时，进一步标准化了指数符号的书写规则，这一规则沿用至今。[38][39][40]
  • 1705 年，“quadrillion”最早见于法国数学家安托万·帕尔芒蒂耶（Antoine Parent）的《数学分析》（Élémens de mathématiques）中。[41]
  • 1748 年，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在《无穷分析引论》（Introductio in analysin infinitorum）中，系统化了无穷大和无穷小的概念，明确区分了“可数无穷大”（如自然数集合的基数）与“不可数无穷大”（如实数集合的基数），并指出“任何有限的数都无法完全表示无穷大”。[42]
  • 1751 - 1772 年，“quintillion”最早见于法国数学家让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert）的《百科全书》（Encyclopédie）条目中。[43]
  • 1830 年，乔治·皮科克（George Peacock）在《代数符号论》（Treatise on Algebra）中提出“符号代数”的概念，强调通过规则（如加法、乘法的递归定义）生成新数。[44]

前大数时期 (1874 - 1970)

  • 1874 年，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）在论文《论所有代数数的一个性质》（Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen）中证明了一个结论：所有实代数数的集合是可数的，而实数整体是不可数的，成为集合论的开端。[45]
  • 1878 年，Cantor 在论文《关于用有理数域上的线性变换构造空间》（Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre）中进一步探讨了无限集合的性质，提出“两个集合等势（即存在双射）”作为集合大小相等的定义，并区分了“可数集”与“不可数集”，并初步讨论了“超限数”（transfinite numbers）的概念。[46]
  • 1883 年，Cantor 在《基础集合论》（Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre）一书中系统阐述了集合论，正式定义了集合的基本概念（如集合、元素、子集、并集、交集等），提出“基数”（cardinal）和“序数”（ordinal）的区分，并引入“良序集”（well-ordered set）的概念。此外，他首次严格定义了“超限数”，并讨论了超限数的算术（加法、乘法等）。[47][48]
  • 1888 年，理查德·戴德金（Richard Dedekind）在论文《什么是数，什么应该是数？》（Was sind und was sollen die Zahlen?）中，通过“链”的概念（由基元素通过后继关系生成）结合归纳法，首次系统阐述自然数的连续性。[49]
  • 1889 年，朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）在著作《算术原理：新方法阐述》（Arithmetices principia, nova methodo exposita）中，首次系统提出自然数的公理化定义（皮亚诺公理体系），后继函数（successor function）成为其核心概念之一。[50][51]
  • 1895 - 1897 年，Cantor 在《集合论新贡献》（Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre）一书中系统定义了序数的运算，证明序数满足结合律、交换律等性质，并讨论了“良序定理”，提出“绝对无限”（absolute infinite）的概念。[52]
  • 1908 年，奥斯瓦尔德·维布伦（Osward Veblen）在 1908–1910 年间发表的论文中，首次系统提出了通过递归定义构造“连续递增函数”的方法，为Veblen 函数奠定了基础，在论文中讨论了如何通过递归定义生成更大的序数。[53][54][55]
  • 1907 - 1921 年，恩斯特·弗里德里希·费迪南德·策梅洛（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo）提出了集合论公理化系统，[56]后经过亚伯拉罕·弗兰克尔（Abraham Halevi Fraenkel）和托拉尔夫·斯科伦（Thoralf Albert Skolem）改进，形成了完整的 ZFC 集合论体系。[57][58][59]
  • 1910 - 1913 年，伯特兰·罗素（Bertrand Russell）与阿尔弗雷德·怀特海（Alfred Whitehead）在《数学原理》（Principia Mathematica）中将皮亚诺公理纳入类型论框架，试图将算术还原为逻辑。[60]
  • 1923 年，约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）在论文中，提出用序数定义自然数，将后继函数具体化为集合论中的运算。[61][62]
  • 1927 年，加布里埃尔·苏丹（Gabriel Sudan）在论文中定义了 Sudan's Function，作为计算理论中的重要例子，类似于阿克曼函数。[63][64]
  • 1928 年，威廉·阿克曼（Wilhelm Ackermann）在论文中定义了最早的阿克曼函数（Ackermann's Function）。[65]
  • 1938 年，googol（10100）和 googolplex（1010100）由美国数学家爱德华·卡斯纳（Edward Kasner）的九岁侄子米尔顿·西罗蒂（Milton Sirotta）命名。[66]
  • 1944 年，鲁本·古德斯坦（Reuben Goodstein）在论文中首次定义了 Goodstein 序列，并提出其终止性定理。该定理的原始证明基于序数理论：通过将每个 Goodstein 序列映射到一个递减的序数序列（利用“遗传基数”的序数解释），利用良序原理（每个递减的序数序列必终止）证明所有 Goodstein 序列最终会达到 0。这一工作是对希尔伯特第一个问题（连续统假设）的回应之一，但当时未引起广泛关注。[67][68]
  • 1947 年，Goodstein 提出了超运算的概念，并命名了 tetration, pentation 和 hexation。[69]
  • 1950 年，海因茨·巴克曼（Heinz Bachmann）在他的个人主页中定义了第一个真正意义上的序数折叠函数（Ordinal Collapsing Function，OCF）。[70][71]
  • 1950 年，雨果·斯坦豪斯（Hugo Steinhaus）和列奥·莫泽（Leo Moser）创作了 Steinhaus-Moser Notation，它也是第一个现代意义上的大数记号。[72]同时依赖出现的还有 Triangle Function, Square Function, Circle Function 这几个函数。
  • 1953 年，格才高尔契克（Grzegorczyk）提出了格才高尔契克分层（Grzegorczyk Hierarchy），也是第一个现代意义上的增长层级。[73]
  • 1962 年，蒂博尔·拉多（Tibor Radó）定义了忙碌海狸函数（Busy Beaver Function，BB）。[74][75]
  • 1964 年，米尔顿·格林（Milton Green）在研究 Busy Beaver 的下界时定义了几个增长率达到 ω 的函数。[76]

中大数时期 (1970 - 2009)

  • 1970 年，斯坦利·韦纳（Stanley Wainer）和马丁·雨果·勒布（Martin Hugo Löb）定义了最原始的快速增长层级（Fast Growing Hierarchy）。[77][78]
  • 1971 年，罗纳德·格雷厄姆（或译为葛立恒，Ronald Graham）和布鲁斯·李·罗斯柴尔德（Bruce Lee Rothschild）给出了拉姆齐（Ramsey）问题的一个上界，这一值后来被传为葛立恒数。[79]
  • 1972 年，Wainer 引入了哈代层级，这个名称的来历是因为受到戈弗雷·哈代（Godfery Hardy）的一篇文章的影响。[80][81]
  • 1976 年，唐纳德·高德纳（Donald E.Knuth）在他的论文中定义了现在所使用的高德纳箭头。[82]
  • 1977 年，马丁·加德纳（Martin Gardner）在他的文章中定义了现在的葛立恒数。[83][84]
  • 1981 年，Jussi Ketonen 和 Robert Solovay 定义了快速增长层级现在的形式。
  • 1983 年，雅采克·奇洪（Jacek Cichon）和 Wainer 定义了慢速增长层级（Slow Growing Hierarchy）。[85][86][87]
  • 1984 年，哈维·罗斯（Harvey Rose）在《子递归：函数和层次结构》（Subrecursion: Functions and Hierarchies）一书中定义了相当于 ε0 以下的增长层级。[88]
  • 1986 年，威尔弗里德·布赫霍茨（Wilfried Buchholz）定义了最初的 BOCF。[89]
  • 1987 年，Buchholz 与 Wainer 定义了 Wainer 基本列系统。[90]
  • 1990 年，迈克尔·拉斯金（Michael Rathjen）定义了 ROCF。[91]
  • 1992 年，理查德·莱弗（Richard Laver）定义了 Laver Table。[92]
  • 1994 年，Rathjen 定义了另外一种形式的 ROCF 和 Ψ 函数。[93][94]
  • Superfactorial, 1995, Clifford A. Pickover, F
  • Hyperfactorial, 1995, Sloane & Plouffe, F
  • Conway's Chain（康威链）, 1996, Conway, N
  • Mythical Tree Problem, 1999, Friedman Harvey, F
  • Loader's Number, 2001, Loader, F
  • 2006 年，Rathjen 重新定义了 Bachmann's Function，序数 BHO 也在此时被命名。
  • Torian, 2009, Aalbert Torsius, F
  • Big Ass Number, 2009, Matt Leach, F
  • Really Big Ass Number, 2009, Matt Leach, F
  • Expostfacto Function, 2009, Tom Kreitzberg, F
  • Booga- Function, 2011, Sbiis Saibian, F
  • Friedman's Finite Ordered Tree Problem, 2014, Harvey Friedman, F
  • Friedman's Vector Reduction Problem, 2014, Harvey Friedman, F
  • Bop-counting Function, 2015, Harvey Friedman, F
  • PlantStar's Debut Notation, 2018, Alpineer, N
  • Aperiotion, 2024, -, F

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