皮亚诺公理体系

Peano 公理是定义自然数集合及其基本性质的一组公理。

定义

用数学语言（一阶逻辑与集合论）可形式化表述如下：

设 $N$ 为一个集合，$0\in N$ 为其一个特定元素，$s:N\to N$为一个函数（称为“后继函数”），满足以下五条公理：

1. $0\in N$（0 是自然数）
2. $\mathrm{\forall }n\in N,s(n)\in N$（后继函数的封闭性）
3. $\mathrm{\forall }n\in N,s(n)\ne 0$（0 不是任何自然数的后继）
4. $\mathrm{\forall }n,m\in N,s(n)=s(m)\Rightarrow n=m$（后继函数的单射性）
5. $\mathrm{\forall }P\subseteq N,(0\in P\wedge \mathrm{\forall }n\in P(s(n)\in P))\Rightarrow P=N$（数学归纳公理）

历史

• 1888 年，理查德·戴德金（Richard Dedekind）在论文《什么是数，什么应该是数？》（Was sind und was sollen die Zahlen?）中，通过“链”的概念（由基元素通过后继关系生成）结合归纳法，首次系统阐述自然数的连续性，为皮亚诺的工作奠定基础。
• 1889 年，朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）在著作《算术原理：新方法阐述》（Arithmetices principia, nova methodo exposita）中，首次系统提出自然数的公理化定义，后继函数（successor function）成为其核心概念之一。
• 后续发展中，伯特兰·罗素与阿尔弗雷德·怀特海在《数学原理》（Principia Mathematica，1910-1913）中将其纳入类型论框架，试图将算术还原为逻辑。

逻辑框架方面，皮亚诺原初的二阶逻辑归纳公理（量化所有性质）被弱化为一阶逻辑的公理模式（仅覆盖可定义性质），形成标准的一阶皮亚诺算术（PA），成为现代数学基础的核心系统。

PA 公理体系

PA 的公理分为两类：基础公理（定义自然数的基本结构）和算术公理（定义加法、乘法的运算规则）。

用一阶逻辑改写 Peano 公理：

1. $\mathrm{\exists }!x(x=0)$
2. $\mathrm{\forall }n\in N,\mathrm{\exists }!m\in N(m=s(n))$
3. $\mathrm{\forall }n(s(n)\ne 0)$
4. $\mathrm{\forall }n,m(s(n)=s(m)\Rightarrow n=m)$
5. $\mathrm{\forall }\phi (\phi (0)\wedge \mathrm{\forall }n(\phi (n)\Rightarrow \phi (s(n)))\Rightarrow \mathrm{\forall }n\phi (n))$

算术公理（加法和乘法）：

加法

1. $\mathrm{\forall }n(n+0=n)$
2. $\mathrm{\forall }n,m(n+s(m)=s(n+m))$

乘法

1. $\mathrm{\forall }n(n\times 0=0)$
2. $\mathrm{\forall }n,m(n\times s(m)=(n\times m)+n)$

和皮亚诺公理的区别

1. 逻辑层次不同：
   • Peano 公理：原始版本是二阶逻辑的，其数学归纳公理量化所有子集（如 $\mathrm{\forall }P\subseteq N$）。
   • PA 公理体系：是一阶逻辑的，数学归纳公理被改写为无穷多条一阶公理的模式（即对每个一阶公式 $\phi$ 单独成立）。
2. 内容扩展性不同：
   • Peano 公理：仅定义自然数集合的存在性、后继关系和归纳原则，未涉及具体运算。
   • PA 公理体系：在自然数结构基础上，显式定义加法和乘法，并给出其递归规则和基本性质，支持算术运算的严格推导。
3. 证明能力不同：
   • Peano 公理：作为二阶理论，可唯一（同构意义下）刻画自然数集合，但无法在一阶逻辑中完全形式化。
   • PA 公理体系：作为一阶理论，可被形式化为计算机可验证的证明系统（如使用 Gödel 数编码），但受限于一阶逻辑的不完备性（如PA无法证明自身的相容性）。