weak Veblen 函数

weak Veblen 函数（又称“弱 φ”、“弱 veblen”等）是 Veblen 函数的变体。

定义

一些必要的区分：现在有两种 Veblen 函数的变体可被称为弱 φ。如果称 Veblen 函数的末位+1等价于跳到下一个 ε 点（不动点进制），那么可以直观地定义下面两种弱 φ（与此同时，Veblen 函数是 FP φ）：末位+1=序数*ω（或称 *ω φ）和末位+1=序数+1（+1 φ）。据信在 2024 年下旬及以前的弱 φ 都是指的 *ω φ，但在这之后 *ω φ 的生态位快速被 +1 φ 所代替了，所以出现了一些比较混乱的局面。

以下是直到序元级别的定义：

+1 φ

1. \(\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)\begin{cases}[0]&=&0\\[n+1]&=&\varphi(\#,\alpha\text{@}(\beta+1),\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[n]\text{@}\beta)\)\end{cases}\)
2. 对于极限序数\(\alpha\)，\(\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta)[n]=\varphi(\#,\alpha[n]\text{@}\beta)\)
3. 对于极限序数\(\beta\)，\(\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}\beta,0\text{@}0)[n]=\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta,1\text{@}\beta[n])\)
4. \(\varphi(\#,(\gamma+1)\text{@}0)=\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),\gamma\text{@}0)+1\)

*ω φ

1. \(\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)\begin{cases}[0]&=&0\\[n+1]&=&\varphi(\#,\alpha\text{@}(\beta+1),\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[n]\text{@}\beta)\)\end{cases}\)
2. 对于极限序数\(\alpha\)，\(\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta)[n]=\varphi(\#,\alpha[n]\text{@}\beta)\)
3. 对于极限序数\(\beta\)，\(\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}\beta,0\text{@}0)[n]=\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta,1\text{@}\beta[n])\)
4. \(\varphi(\#,(\gamma+1)\text{@}0)=\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),\gamma\text{@}0)*\varphi(1)\)

分析

以下：左为 FP φ，中为 *ω φ，右为 +1 φ

φ(0)=φ(0)=φ(0)

φ(0)*2=φ(0)*2=φ(φ(0))

φ(0)*3=φ(0)*3=φ(φ(φ(0)))

φ(1)=φ(1)=φ(1,0)=FTO(ω)

φ(1)+1=φ(1)+1=φ(1,1)

φ(1)+2=φ(1)+2=φ(1,2)

φ(1)*2=φ(1)*2=φ(1,φ(1,0))

φ(1)*2+1=φ(1)*2+1=φ(1,φ(1,1))

φ(1)*2+2=φ(1)*2+2=φ(1,φ(1,2))

φ(1)*3=φ(1)*3=φ(1,φ(1,φ(1,0)))

φ(2)=φ(2)=φ(2,0)

φ(2)+1=φ(2)+1=φ(2,1)

φ(2)+2=φ(2)+2=φ(2,2)

φ(2)+φ(1)=φ(2)+φ(1)=φ(2,φ(1,0))

φ(2)*2=φ(2)*2=φ(2,φ(2,0))

φ(2)*3=φ(2)*3=φ(2,φ(2,φ(2,0)))

φ(3)=φ(3)=φ(3,0)

φ(3)+φ(2)=φ(3)+φ(2)=φ(3,φ(2,0))

φ(4)=φ(4)=φ(4,0)

φ(φ(1))=φ(φ(1))=φ(φ(1,0),0)

φ(φ(1))+1=φ(φ(1))+1=φ(φ(1,0),1)

φ(φ(1))+φ(1)=φ(φ(1))+φ(1)=φ(φ(1,0),φ(1,0))

φ(φ(1))+φ(2)=φ(φ(1))+φ(2)=φ(φ(1,0),φ(2,0))

φ(φ(1))*2=φ(φ(1))*2=φ(φ(1,0),φ(φ(1,0),0))

φ(φ(1)+1)=φ(φ(1)+1)=φ(φ(1,1),0)

φ(φ(1)+2)=φ(φ(1)+2)=φ(φ(1,2),0)

φ(φ(1)+3)=φ(φ(1)+3)=φ(φ(1,3),0)

φ(φ(1)*2)=φ(φ(1)*2)=φ(φ(1,φ(1,0)),0)

φ(φ(1)*2+1)=φ(φ(1)*2+1)=φ(φ(1,φ(1,1)),0)

φ(φ(1)*3)=φ(φ(1)*3)=φ(φ(1,φ(1,φ(1,0))),0)

φ(φ(2))=φ(φ(2))=φ(φ(2,0),0)

φ(φ(2)+1)=φ(φ(2)+1)=φ(φ(2,1),0)

φ(φ(2)+φ(1))=φ(φ(2)+φ(1))=φ(φ(2,φ(1,0)),0)

φ(φ(3))=φ(φ(3))=φ(φ(3,0),0)

φ(φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1,0),0),0)

φ(φ(φ(1))+1)=φ(φ(φ(1))+1)=φ(φ(φ(1,0),1),0)

φ(φ(φ(1))+φ(1))=φ(φ(φ(1))+φ(1))=φ(φ(φ(1,0),φ(1,0)),0)

φ(φ(φ(1))*2)=φ(φ(φ(1))*2)=φ(φ(φ(1,0),φ(φ(1,0),0)),0)

φ(φ(φ(1)+1))=φ(φ(φ(1)+1))=φ(φ(φ(1,1),0),0)

φ(φ(φ(2)))=φ(φ(φ(2)))=φ(φ(φ(2,0),0),0)

φ(φ(φ(3)))=φ(φ(φ(3)))=φ(φ(φ(3,0),0),0)

φ(φ(φ(φ(1))))=φ(φ(φ(φ(1))))=φ(φ(φ(φ(1,0),0),0),0)

φ(φ(φ(φ(φ(1)))))=φ(φ(φ(φ(φ(1)))))=φ(φ(φ(φ(φ(1,0),0),0),0),0)

φ(1,0)=φ(1,0)=φ(1,0,0)=SCO(ε0)

φ(1,0)+1=φ(1,0)+1=φ(1,0,1)

φ(1,0)+φ(1)=φ(1,0)+φ(1)=φ(1,0,φ(1,0))

φ(1,0)*2=φ(1,0)*2=φ(1,0,φ(1,0,0))

φ(1,0)*3=φ(1,0)*3=φ(1,0,φ(1,0,φ(1,0,0)))

φ(1,0)*φ(1)=φ(1,1)=φ(1,1,0)

φ(1,0)*φ(1)*2=φ(1,1)*2=φ(1,1,φ(1,1,0))

φ(1,0)*φ(2)=φ(1,2)=φ(1,2,0)

φ(1,0)*φ(φ(1))=φ(1,φ(1))=φ(1,φ(1,0),0)

φ(1,0)*φ(φ(1)+1)=φ(1,φ(1)+1)=φ(1,φ(1,1),0)

φ(1,0)*φ(φ(2))=φ(1,φ(2))=φ(1,φ(2,0),0)

φ(1,0)*φ(φ(φ(1)))=φ(1,φ(φ(1)))=φ(1,φ(φ(1,0),0),0)

φ(1,0)^2=φ(1,φ(1,0))=φ(1,φ(1,0,0),0)

φ(1,0)^2*φ(1)=φ(1,φ(1,0)+1)=φ(1,φ(φ(1,0,0)),0)

φ(1,0)^2*φ(φ(φ(1)))=φ(1,φ(1,0)+φ(φ(1)))=φ(1,φ(1,0,φ(φ(1,0),0)),0)

φ(1,0)^3=φ(1,φ(1,0)*2)=φ(1,φ(1,0,φ(1,0,0),0),0)

φ(1,0)^φ(1)=φ(1,φ(1,1))=φ(1,φ(1,1,0),0)

φ(1,0)^φ(1)*φ(1)=φ(1,φ(1,1)+1)=φ(1,φ(φ(1,1,0)),0)

φ(1,0)^φ(1)*φ(φ(1))=φ(1,φ(1,1)+2)=φ(1,φ(φ(φ(1,1,0))),0)

φ(1,0)^(φ(1)+1)=φ(1,φ(1,1)+φ(1,0))=φ(1,φ(1,1,φ(1,0,0)),0)

φ(1,0)^(φ(1)*2)=φ(1,φ(1,1)*2)=φ(1,φ(1,1,φ(1,1,0)),0)

φ(1,0)^φ(1)^2=φ(1,φ(1,2))=φ(1,φ(1,2,0),0)

φ(1,0)^φ(1)^φ(1)=φ(1,φ(1,φ(1)))=φ(1,φ(1,φ(1,0),0),0)

φ(1,0)^φ(1,0)=φ(1,φ(1,φ(1,0)))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0)

φ(1,0)^(φ(1,0)+1)=φ(1,φ(1,φ(1,0))+φ(1,0))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),φ(1,0,0)),0)

φ(1,0)^(φ(1,0)*φ(1))=φ(1,φ(1,φ(1,0))+φ(1,1))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),φ(1,1,0)),0)

φ(1,0)^φ(1,0)^2=φ(1,φ(1,φ(1,2)))=φ(1,φ(1,φ(1,2,0),0),0)

φ(1,0)^φ(1,0)^φ(1)=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1))))=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0),0),0),0)

φ(1,0)^φ(1,0)^φ(1,0)=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0))))=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0),0)

φ(1,1)=φ(2,0)=φ(2,0,0)

φ(1,1)*φ(1,0)=φ(2,φ(1,0))=φ(2,φ(1,0,0),0)

φ(1,1)*φ(1,0)^φ(1)=φ(2,φ(1,φ(1,1)))=φ(2,φ(1,φ(1,1,0),0),0)

φ(1,1)*φ(1,0)^φ(1,0)=φ(2,φ(1,φ(1,φ(1,0))))=φ(2,φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0),0)

φ(1,1)^2=φ(2,φ(2,0))=φ(2,φ(2,0,0),0)

φ(1,1)^φ(1)=φ(2,φ(2,1))=φ(2,φ(2,φ(1,0),0),0)

φ(1,1)^φ(1,0)=φ(2,φ(2,φ(1,0)))=φ(2,φ(2,φ(1,0,0),0),0)

φ(1,1)^φ(1,1)=φ(2,φ(2,φ(2,0)))=φ(2,φ(2,φ(2,0,0),0),0)

φ(1,2)=φ(3,0)=φ(3,0,0)

φ(1,φ(1))=φ(φ(1),0)=φ(φ(1,0),0,0)

φ(1,φ(1))*φ(1,0)=φ(φ(1),φ(1,0))=φ(φ(1,0),φ(1,0,0),0)

φ(1,φ(1))*φ(1,1)=φ(φ(1),φ(1,1))=φ(φ(1,0),φ(1,1,0),0)

φ(1,φ(1))^2=φ(φ(1),φ(1,φ(1)))=φ(φ(1,0),φ(1,φ(1,0),0))

φ(1,φ(1)+1)=φ(φ(1)+1,0)=φ(φ(1,1),0,0)

φ(1,φ(1)+2)=φ(φ(1)+2,0)=φ(φ(1,2),0,0)

φ(1,φ(1)*2)=φ(φ(1)*2,0)=φ(φ(1,φ(1,0)),0,0)

φ(1,φ(1)^2)=φ(φ(2),0)=φ(φ(2,0),0,0)

φ(1,φ(1)^3)=φ(φ(3),0)=φ(φ(3,0),0,0)

φ(1,φ(1)^φ(1))=φ(φ(φ(1)),0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0)

φ(1,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0)=φ(φ(1,0,0),0,0)

φ(1,φ(1,0)+1)=φ(φ(1,0)+1,0)=φ(φ(1,0,1),0,0)

φ(1,φ(1,0)*φ(1))=φ(φ(1,1),0)=φ(φ(1,1,0),0,0)

φ(1,φ(1,0)^φ(1))=φ(φ(1,φ(1,1)),0)=φ(φ(1,φ(1,1,0),0),0,0)

φ(1,φ(1,1))=φ(φ(2,0),0)=φ(φ(2,0,0),0,0)

φ(1,φ(1,φ(1)))=φ(φ(φ(1),0),0)=φ(φ(φ(1,0),0,0),0,0)

φ(1,φ(1,φ(1,0)))=φ(φ(φ(1,0),0),0)=φ(φ(φ(1,0,0),0,0),0,0)

φ(2,0)=φ(1,0,0)=φ(1,0,0,0)=CO(ζ0)

φ(1,φ(2,0)+1)=φ(φ(1,0,0),0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0)

φ(1,φ(2,0)+φ(1))=φ(φ(1,0,0)+φ(1),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,0)),0,0)

φ(1,φ(2,0)+φ(1,0))=φ(φ(1,0,0)+φ(1,0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,0,0)),0,0)

φ(1,φ(2,0)+φ(1,0)*φ(1))=φ(φ(1,0,0)+φ(1,1),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,1,0)),0,0)

φ(1,φ(2,0)+φ(1,1))=φ(φ(1,0,0)+φ(2,0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(2,0,0)),0,0)

φ(1,φ(2,0)+φ(1,φ(1,0)))=φ(φ(1,0,0)+φ(φ(1,0),0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(φ(1,0,0),0,0)),0,0))

φ(1,φ(2,0)*2)=φ(φ(1,0,0)*2,0)=φ(φ(1,0,1,0),0,0)

φ(1,φ(2,0)*φ(1))=φ(φ(1,1,0),0)=φ(φ(1,0,φ(1,0),0),0,0)

φ(1,φ(2,0)^2)=φ(φ(1,0,φ(1,0,0)),0)=φ(φ(1,0,φ(1,0,0,0),0),0,0)

φ(1,φ(1,φ(2,0)+1))=φ(φ(φ(1,0,0),0),0)=φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0),0,0)

φ(1,φ(1,φ(1,φ(2,0)+1)))=φ(φ(φ(φ(1,0,0),0),0),0)=φ(φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0),0,0),0,0)

φ(2,1)=φ(2,0,0)=φ(2,0,0,0)

φ(1,φ(2,1)+1)=φ(φ(2,0,0),0)=φ(φ(2,0,0,0),0,0)

φ(1,φ(1,φ(2,1)+1))=φ(φ(φ(2,0,0),0),0)=φ(φ(φ(2,0,0,0),0,0),0,0)

φ(2,2)=φ(3,0,0)=φ(3,0,0,0)

φ(2,φ(1))=φ(φ(1),0,0)=φ(φ(1,0),0,0,0)

φ(2,φ(1)*2)=φ(φ(1)*2,0,0)=φ(φ(1,φ(1,0)),0,0,0)

φ(2,φ(2))=φ(φ(2),0,0)=φ(φ(2,0),0,0,0)

φ(2,φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)),0,0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0,0)

φ(2,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0,0)=φ(φ(1,0,0),0,0,0)

φ(2,φ(1,1))=φ(φ(2,0),0,0)=φ(φ(2,0,0),0,0,0)

φ(2,φ(1,φ(1)))=φ(φ(φ(1),0),0,0)=φ(φ(φ(1,0),0,0),0,0,0)

φ(2,φ(2,0))=φ(φ(1,0,0),0,0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)

φ(2,φ(2,φ(2,0)))=φ(φ(φ(1,0,0),0,0),0,0)=φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0,0),0,0,0)

φ(3,0)=φ(1,0,0,0)=φ(1,0,0,0,0)=LCO(η0)

φ(1,φ(3,0)+1)=φ(φ(1,0,0,0),0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0)

φ(2,φ(3,0)+1)=φ(φ(1,0,0,0),0,0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0,0)

φ(3,1)=φ(2,0,0,0)=φ(2,0,0,0,0)

φ(3,φ(1))=φ(φ(1),0,0,0)=φ(φ(1,0),0,0,0,0)

φ(3,φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)),0,0,0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0,0,0)

φ(3,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0),0,0,0,0)

φ(3,φ(2,0))=φ(φ(1,0,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0,0)

φ(3,φ(3,0))=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0,0,0)

φ(4,0)=φ(1,0,0,0,0)=φ(1,0,0,0,0,0)

φ(φ(1),0)=φ(1@φ(1))=φ(1@φ(1,0))=HCO

φ(1,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0)

φ(2,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0,0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0,0)

φ(3,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0,0,0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0,0,0)

φ(φ(1),1)=φ(2@φ(1))=φ(2@φ(1,0))

φ(1,φ(φ(1),1)+1)=φ(φ(2@φ(1)),0)=φ(φ(2@φ(1,0)),0,0)

φ(φ(1),2)=φ(3@φ(1))=φ(3@φ(1,0))

φ(φ(1),φ(1))=φ(φ(1)@φ(1))=φ(φ(1,0)@φ(1,0))

φ(φ(1),φ(1)*2)=φ(φ(1)*2@φ(1))=φ(φ(1,0)*2@φ(1,0))

φ(φ(1),φ(2))=φ(φ(2)@φ(1))=φ(φ(2,0)@φ(1,0))

φ(φ(1),φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1))@φ(1))=φ(φ(φ(1,0),0)@φ(1,0))

φ(φ(1),φ(1,0))=φ(φ(1,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0)@φ(1,0))

φ(φ(1),φ(2,0))=φ(φ(1,0,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0,0)@φ(1,0))

φ(φ(1),φ(3,0))=φ(φ(1,0,0,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0,0,0)@φ(1,0))

φ(φ(1),φ(φ(1),0))=φ(φ(1@φ(1))@φ(1))=φ(φ(1@φ(1,0))@φ(1,0))

φ(φ(1)+1,0)=φ(1@φ(1)+1)=φ(1@φ(1,1))

φ(φ(1)+1,φ(φ(1)+1,0))=φ(φ(1@φ(1)+1)@φ(1)+1)=φ(φ(1@φ(1,1))@φ(1,1))

φ(φ(1)+2,0)=φ(1@φ(1)+2)=φ(1@φ(1,2))

φ(φ(1)*2,0)=φ(1@φ(1)*2)=φ(1@φ(1,φ(1)))

φ(φ(1)*3,0)=φ(1@φ(1)*3)=φ(1@φ(1,φ(1,φ(1,0))))

φ(φ(2),0)=φ(1@φ(2))=φ(1@φ(2,0))

φ(φ(φ(1)),0)=φ(1@φ(φ(1)))=φ(1@φ(φ(1,0),0))

φ(φ(1,0),0)=φ(1@φ(1,0))=φ(1@φ(1,0,0))

φ(φ(2,0),0)=φ(1@φ(1,0,0))=φ(1@φ(1,0,0,0))

φ(φ(3,0),0)=φ(1@φ(1,0,0,0))=φ(1@φ(1,0,0,0,0))

φ(φ(φ(1),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1)))=φ(1@φ(1@φ(1,0)))

φ(φ(φ(1,0),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1,0)))=φ(1@φ(1@φ(1,0,0)))

φ(φ(φ(2,0),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1,0,0)))=φ(1@φ(1@φ(1,0,0,0)))

φ(1,0,0)=φ(1@(1,0))=φ(1@(1,0))=FSO

φ(1,φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0)),0)=φ(φ(1@(1,0)),0,0)

φ(2,φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0)),0,0)=φ(φ(1@(1,0)),0,0,0)

φ(φ(1),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0))

φ(φ(1,0),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0))

φ(φ(2,0),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0,0))

φ(φ(1,0,0),1)=φ(2@φ(1@(1,0)))=φ(2@φ(1@(1,0)))

φ(φ(1,0,0),2)=φ(3@φ(1@(1,0)))=φ(3@φ(1@(1,0)))

φ(φ(1,0,0),φ(1))=φ(φ(1)@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1,0)@φ(1@(1,0)))

φ(φ(1,0,0),φ(1,0))=φ(φ(1,0)@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1,0,0)@φ(1@(1,0)))

φ(φ(1,0,0),φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1@(1,0)))

φ(φ(1,0,0)+1,0)=φ(1@φ(1@(1,0))+1)=φ(1@φ(1@(1,0),1@0))

φ(φ(1,0,0)+φ(1),0)=φ(1@φ(1@(1,0))+φ(1))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1,0)@0))

φ(φ(1,0,0)+φ(1,0),0)=φ(1@φ(1@(1,0))+φ(1,0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1,0,0)@0))

φ(φ(1,0,0)*2,0)=φ(1@φ(1@(1,0))*2)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))

φ(φ(1,0,0)*φ(1),0)=φ(1@φ(1@(1,0),1@0))=φ(1@φ(1@(1,0),1@1))

φ(φ(1,0,0)^2,0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))

φ(φ(1,0,0)^φ(1),0)=φ(1@φ(1,φ(1@(1,0),1@0),0))=φ(1@φ(1,φ(1@(1,0),1@1),0))

φ(φ(1,0,0)^φ(1,0),0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1,0)@0)@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1,0)@0)@0))

φ(φ(1,0,0)^φ(1,0,0),0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0)@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0)@0))

φ(φ(1,φ(1,0,0)+1),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0)),0))=φ(1@φ(φ(1@(1,0)),0,0))

φ(φ(1,φ(1,0,0)+φ(1)),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0))+φ(1),0))=φ(1@φ(φ(1@(1,0))+φ(1,0),0))

φ(φ(φ(1),φ(1,0,0)+1),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0))@φ(1)))=φ(1@φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0)))

φ(1,0,1)=φ(1@(1,1))=φ(1@(1,1))

φ(1,0,2)=φ(2@(1,1))=φ(2@(1,1))

φ(1,0,φ(1))=φ(φ(1)@(1,1))=φ(φ(1,0)@(1,1))

φ(1,0,φ(1,0))=φ(φ(1,0)@(1,1))=φ(φ(1,0,0)@(1,1))

φ(1,0,φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@(1,1))=φ(φ(1@(1,0))@(1,1))

φ(1,1,0)=φ(1@(1,1))=φ(1@(1,1))

φ(1,1,φ(1,1,0))=φ(φ(1@(1,1))@(1,1))=φ(φ(1@(1,1))@(1,1))

φ(1,2,0)=φ(1@(1,2))=φ(1@(1,2))

φ(1,φ(1),0)=φ(1@(1,φ(1)))=φ(1@(1,φ(1,0)))

φ(1,φ(1,0),0)=φ(1@(1,φ(1,0)))=φ(1@(1,φ(1,0,0)))

φ(1,φ(1,0,0),0)=φ(1@(1,φ(1@(1,0))))=φ(1@(1,φ(1@(1,0))))

φ(2,0,0)=φ(1@(2,0))=φ(1@(2,0))

φ(2,0,1)=φ(2@(2,0))=φ(2@(2,0))

φ(2,1,0)=φ(1@(2,1))=φ(1@(2,1))

φ(2,φ(2,0,0),0)=φ(1@(2,φ(1@(2,0))))=φ(1@(2,φ(1@(2,0))))

φ(3,0,0)=φ(1@(3,0))=φ(1@(3,0))

φ(φ(1),0,0)=φ(1@(φ(1),0))=φ(1@(φ(1,0),0))

φ(φ(1,0),0,0)=φ(1@(φ(1,0),0))=φ(1@(φ(1,0,0),0))

φ(φ(1,0,0),0,0)=φ(1@(φ(1@(1,0)),0))=φ(1@(φ(1@(1,0)),0))

φ(1,0,0,0)=φ(1@(1,0,0))=φ(1@(1,0,0))

φ(1,0,0,1)=φ(2@(1,0,0))=φ(2@(1,0,0))

φ(1,0,1,0)=φ(1@(1,0,1))=φ(1@(1,0,1))

φ(1,1,0,0)=φ(1@(1,1,0))=φ(1@(1,1,0))

φ(2,0,0,0)=φ(1@(2,0,0))=φ(1@(2,0,0))

φ(φ(1),0,0,0)=φ(1@(φ(1),0,0))=φ(1@(φ(1,0),0,0))

φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)=φ(1@(φ(1@(1,0,0)),0,0))=φ(1@(φ(1@(1,0,0)),0,0))

φ(1,0,0,0,0)=φ(1@(1,0,0,0))=φ(1@(1,0,0,0))

φ(1,0,0,0,0,0)=φ(1@(1,0,0,0,0))=φ(1@(1,0,0,0,0))

φ(1,1,4,5,1,4)=φ(5@(1,1,4,5,1))=φ(5@(1,1,4,5,1))

φ(1@φ(1))=φ(1@(1@φ(1)))=φ(1@(1@φ(1,0)))=SVO

φ(1,φ(1@φ(1))+1)=φ(1@(1@φ(1)),1@1)=φ(1@(1@φ(1,0)),1@2)

φ(1@φ(1),1@0)=φ(2@(1@φ(1)))=φ(2@(1@φ(1,0)))

φ(1@φ(1),1@1)=φ(1@(1@φ(1),1@0))=φ(1@(1@φ(1,0),1@0))

φ(1@φ(1),1@2)=φ(1@(1@φ(1),1@1))=φ(1@(1@φ(1,0),1@1))

φ(2@φ(1))=φ(1@(2@φ(1)))=φ(1@(2@φ(1,0)))

φ(φ(1)@φ(1))=φ(1@(φ(1)@φ(1)))=φ(1@(φ(1,0)@φ(1,0)))

φ(1@φ(1)+1)=φ(1@(1@φ(1)+1))=φ(1@(1@φ(1,1)))

φ(1@φ(1)*2)=φ(1@(1@φ(1)*2))=φ(1@(1@φ(1,φ(1,0))))

φ(1@φ(2))=φ(1@(1@φ(2)))=φ(1@(1@φ(2,0)))

φ(1@φ(1,0))=φ(1@(1@φ(1,0)))=φ(1@(1@φ(1,0,0)))

φ(1@φ(2,0))=φ(1@(1@φ(1,0,0)))=φ(1@(1@φ(1,0,0,0)))

φ(1@φ(1,0,0))=φ(1@(1@φ(1@(1,0))))=φ(1@(1@φ(1@(1,0))))

φ(1@φ(1@φ(1)))=φ(1@(1@φ(1@(1@φ(1)))))=φ(1@(1@φ(1@(1@φ(1,0)))))=LVO