weak Veblen 函数：修订间差异

←上一编辑下一编辑→

可视化wikitext

2025年8月25日 (一) 13:22的版本

Weak Veblen 函数（又称“弱 φ”、“弱 Veblen”等），是 Veblen 函数的变体。

定义

现在有两种 Veblen 函数的变体可被称为 Weak Veblen。

如果称 Veblen 函数的末位+1等价于跳到下一个 ε 点（不动点进制），定义 Veblen 函数为 $F P ϕ$ ，那么可以直观地定义下面两种Weak Veblen：

若 Weak Veblen 函数的末位 $+ 1$ 对应于其序数值 $\times ω$ ，则称其为 $\times ω ϕ$ 。

若 Weak Veblen 函数的末位 $+ 1$ 对应于其序数值 $+ 1$ ，则称其为 $+ 1 ϕ$ 。

以下是两种Weak Veblen直到序元级别的定义：

$+ 1 ϕ$

$\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0$。
$\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)。[n+1]=\varphi(\#,\alpha\text{@}(\beta+1),\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[n]\text{@}\beta)$。
对于极限序数$\alpha$，$\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta)[n]=\varphi(\#,\alpha[n]\text{@}\beta)$。
对于极限序数$\beta$，$\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}\beta,0\text{@}0)。[n]=\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta,1\text{@}\beta[n])$。
$\varphi(\#,(\gamma+1)\text{@}0)=\varphi(\#,\gamma\text{@}0)+1$。

$\times ω ϕ$

$\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0$。
$\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)。[n+1]=\varphi(\#,\alpha\text{@}(\beta+1),\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[n]\text{@}\beta)$。
对于极限序数$\alpha$，$\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta)[n]=\varphi(\#,\alpha[n]\text{@}\beta)$。
对于极限序数$\beta$，$\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}\beta,0\text{@}0)[n]=\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta,1\text{@}\beta[n])$。
$\varphi(\#,(\gamma+1)\text{@}0)=\varphi(\#,\gamma\text{@}0)\cdot\varphi(1)$。

分析

以下分析中，左为 $F P ϕ$ ，中为 $\times ω ϕ$ ，右为 $+ 1 ϕ$ 。

$φ(0)=φ(0)=φ(0)$

$φ(0)\cdot2=φ(0)\cdot2=φ(φ(0))$

$φ(0)\cdot3=φ(0)\cdot3=φ(φ(φ(0)))$

$φ(1)=φ(1)=φ(1,0)=$ ω

$φ(1)+1=φ(1)+1=φ(1,1)$

$φ(1)+2=φ(1)+2=φ(1,2)$

$φ(1)\cdot2=φ(1)\cdot2=φ(1,φ(1,0))$

$φ(1)\cdot2+1=φ(1)\cdot2+1=φ(1,φ(1,1))$

$φ(1)\cdot2+2=φ(1)\cdot2+2=φ(1,φ(1,2))$

$φ(1)\cdot3=φ(1)\cdot3=φ(1,φ(1,φ(1,0)))$

$φ(2)=φ(2)=φ(2,0)$

$φ(2)+1=φ(2)+1=φ(2,1)$

$φ(2)+2=φ(2)+2=φ(2,2)$

$φ(2)+φ(1)=φ(2)+φ(1)=φ(2,φ(1,0))$

$φ(2)\cdot2=φ(2)\cdot2=φ(2,φ(2,0))$

$φ(2)\cdot3=φ(2)\cdot3=φ(2,φ(2,φ(2,0)))$

$φ(3)=φ(3)=φ(3,0)$

$φ(3)+φ(2)=φ(3)+φ(2)=φ(3,φ(2,0))$

$φ(4)=φ(4)=φ(4,0)$

$φ(φ(1))=φ(φ(1))=φ(φ(1,0),0)$

$φ(φ(1))+1=φ(φ(1))+1=φ(φ(1,0),1)$

$φ(φ(1))+φ(1)=φ(φ(1))+φ(1)=φ(φ(1,0),φ(1,0))$

$φ(φ(1))+φ(2)=φ(φ(1))+φ(2)=φ(φ(1,0),φ(2,0))$

$φ(φ(1))\cdot2=φ(φ(1))\cdot2=φ(φ(1,0),φ(φ(1,0),0))$

$φ(φ(1)+1)=φ(φ(1)+1)=φ(φ(1,1),0)$

$φ(φ(1)+2)=φ(φ(1)+2)=φ(φ(1,2),0)$

$φ(φ(1)+3)=φ(φ(1)+3)=φ(φ(1,3),0)$

$φ(φ(1)\cdot2)=φ(φ(1)\cdot2)=φ(φ(1,φ(1,0)),0)$

$φ(φ(1)\cdot2+1)=φ(φ(1)\cdot2+1)=φ(φ(1,φ(1,1)),0)$

$φ(φ(1)\cdot3)=φ(φ(1)\cdot3)=φ(φ(1,φ(1,φ(1,0))),0)$

$φ(φ(2))=φ(φ(2))=φ(φ(2,0),0)$

$φ(φ(2)+1)=φ(φ(2)+1)=φ(φ(2,1),0)$

$φ(φ(2)+φ(1))=φ(φ(2)+φ(1))=φ(φ(2,φ(1,0)),0)$

$φ(φ(3))=φ(φ(3))=φ(φ(3,0),0)$

$φ(φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1,0),0),0)$

$φ(φ(φ(1))+1)=φ(φ(φ(1))+1)=φ(φ(φ(1,0),1),0)$

$φ(φ(φ(1))+φ(1))=φ(φ(φ(1))+φ(1))=φ(φ(φ(1,0),φ(1,0)),0)$

$φ(φ(φ(1))\cdot2)=φ(φ(φ(1))\cdot2)=φ(φ(φ(1,0),φ(φ(1,0),0)),0)$

$φ(φ(φ(1)+1))=φ(φ(φ(1)+1))=φ(φ(φ(1,1),0),0)$

$φ(φ(φ(2)))=φ(φ(φ(2)))=φ(φ(φ(2,0),0),0)$

$φ(φ(φ(3)))=φ(φ(φ(3)))=φ(φ(φ(3,0),0),0)$

$φ(φ(φ(φ(1))))=φ(φ(φ(φ(1))))=φ(φ(φ(φ(1,0),0),0),0)$

$φ(φ(φ(φ(φ(1)))))=φ(φ(φ(φ(φ(1)))))=φ(φ(φ(φ(φ(1,0),0),0),0),0)$

$φ(1,0)=φ(1,0)=φ(1,0,0)=$ ε₀

$φ(1,0)+1=φ(1,0)+1=φ(1,0,1)$

$φ(1,0)+φ(1)=φ(1,0)+φ(1)=φ(1,0,φ(1,0))$

$φ(1,0)\cdot2=φ(1,0)\cdot2=φ(1,0,φ(1,0,0))$

$φ(1,0)\cdot3=φ(1,0)\cdot3=φ(1,0,φ(1,0,φ(1,0,0)))$

$φ(1,0)\cdotφ(1)=φ(1,1)=φ(1,1,0)$

$φ(1,0)\cdotφ(1)\cdot2=φ(1,1)\cdot2=φ(1,1,φ(1,1,0))$

$φ(1,0)\cdotφ(2)=φ(1,2)=φ(1,2,0)$

$φ(1,0)\cdotφ(φ(1))=φ(1,φ(1))=φ(1,φ(1,0),0)$

$φ(1,0)\cdotφ(φ(1)+1)=φ(1,φ(1)+1)=φ(1,φ(1,1),0)$

$φ(1,0)\cdotφ(φ(2))=φ(1,φ(2))=φ(1,φ(2,0),0)$

$φ(1,0)\cdotφ(φ(φ(1)))=φ(1,φ(φ(1)))=φ(1,φ(φ(1,0),0),0)$

$φ(1,0)^{2}=φ(1,φ(1,0))=φ(1,φ(1,0,0),0)$

$φ(1,0)^{2}\cdotφ(1)=φ(1,φ(1,0)+1)=φ(1,φ(φ(1,0,0)),0)$

$φ(1,0)^{2}\cdotφ(φ(φ(1)))=φ(1,φ(1,0)+φ(φ(1)))=φ(1,φ(1,0,φ(φ(1,0),0)),0)$

$φ(1,0)^{3}=φ(1,φ(1,0)\cdot2)=φ(1,φ(1,0,φ(1,0,0),0),0)$

$φ(1,0)^{φ(1)}=φ(1,φ(1,1))=φ(1,φ(1,1,0),0)$

$φ(1,0)^{φ(1)}\cdotφ(1)=φ(1,φ(1,1)+1)=φ(1,φ(φ(1,1,0)),0)$

$φ(1,0)^{φ(1)}\cdotφ(φ(1))=φ(1,φ(1,1)+2)=φ(1,φ(φ(φ(1,1,0))),0)$

$φ(1,0)^{(φ(1)+1)}=φ(1,φ(1,1)+φ(1,0))=φ(1,φ(1,1,φ(1,0,0)),0)$

$φ(1,0)^{(φ(1)\cdot2)}=φ(1,φ(1,1)\cdot2)=φ(1,φ(1,1,φ(1,1,0)),0)$

$φ(1,0)^{φ(1)^{2}}=φ(1,φ(1,2))=φ(1,φ(1,2,0),0)$

$φ(1,0)^{φ(1)^{φ(1)}}=φ(1,φ(1,φ(1)))=φ(1,φ(1,φ(1,0),0),0)$

$φ(1,0)^{φ(1,0)}=φ(1,φ(1,φ(1,0)))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0)$

$φ(1,0)^{(φ(1,0)+1)}=φ(1,φ(1,φ(1,0))+φ(1,0))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),φ(1,0,0)),0)$

$φ(1,0)^{(φ(1,0)\cdotφ(1))}=φ(1,φ(1,φ(1,0))+φ(1,1))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),φ(1,1,0)),0)$

$φ(1,0)^{φ(1,0)^{2}}=φ(1,φ(1,φ(1,2)))=φ(1,φ(1,φ(1,2,0),0),0)$

$φ(1,0)^{φ(1,0)^{φ(1)}}=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1))))=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0),0),0),0)$

$φ(1,0)^{φ(1,0)^{φ(1,0)}}=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0))))=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0),0)$

$φ(1,1)=φ(2,0)=φ(2,0,0)$

$φ(1,1)\cdotφ(1,0)=φ(2,φ(1,0))=φ(2,φ(1,0,0),0)$

$φ(1,1)\cdotφ(1,0)^{φ(1)}=φ(2,φ(1,φ(1,1)))=φ(2,φ(1,φ(1,1,0),0),0)$

$φ(1,1)\cdotφ(1,0)^{φ(1,0)}=φ(2,φ(1,φ(1,φ(1,0))))=φ(2,φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0),0)$

$φ(1,1)^{2}=φ(2,φ(2,0))=φ(2,φ(2,0,0),0)$

$φ(1,1)^{φ(1)}=φ(2,φ(2,1))=φ(2,φ(2,φ(1,0),0),0)$

$φ(1,1)^{φ(1,0)}=φ(2,φ(2,φ(1,0)))=φ(2,φ(2,φ(1,0,0),0),0)$

$φ(1,1)^{φ(1,1)}=φ(2,φ(2,φ(2,0)))=φ(2,φ(2,φ(2,0,0),0),0)$

$φ(1,2)=φ(3,0)=φ(3,0,0)$

$φ(1,φ(1))=φ(φ(1),0)=φ(φ(1,0),0,0)$

$φ(1,φ(1))\cdotφ(1,0)=φ(φ(1),φ(1,0))=φ(φ(1,0),φ(1,0,0),0)$

$φ(1,φ(1))\cdotφ(1,1)=φ(φ(1),φ(1,1))=φ(φ(1,0),φ(1,1,0),0)$

$φ(1,φ(1))^{2}=φ(φ(1),φ(1,φ(1)))=φ(φ(1,0),φ(1,φ(1,0),0))$

$φ(1,φ(1)+1)=φ(φ(1)+1,0)=φ(φ(1,1),0,0)$

$φ(1,φ(1)+2)=φ(φ(1)+2,0)=φ(φ(1,2),0,0)$

$φ(1,φ(1)\cdot2)=φ(φ(1)\cdot2,0)=φ(φ(1,φ(1,0)),0,0)$

$φ(1,φ(1)^{2})=φ(φ(2),0)=φ(φ(2,0),0,0)$

$φ(1,φ(1)^{3})=φ(φ(3),0)=φ(φ(3,0),0,0)$

$φ(1,φ(1)^{φ(1)})=φ(φ(φ(1)),0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0)$

$φ(1,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0)=φ(φ(1,0,0),0,0)$

$φ(1,φ(1,0)+1)=φ(φ(1,0)+1,0)=φ(φ(1,0,1),0,0)$

$φ(1,φ(1,0)\cdotφ(1))=φ(φ(1,1),0)=φ(φ(1,1,0),0,0)$

$φ(1,φ(1,0)^{φ(1)})=φ(φ(1,φ(1,1)),0)=φ(φ(1,φ(1,1,0),0),0,0)$

$φ(1,φ(1,1))=φ(φ(2,0),0)=φ(φ(2,0,0),0,0)$

$φ(1,φ(1,φ(1)))=φ(φ(φ(1),0),0)=φ(φ(φ(1,0),0,0),0,0)$

$φ(1,φ(1,φ(1,0)))=φ(φ(φ(1,0),0),0)=φ(φ(φ(1,0,0),0,0),0,0)$

$φ(2,0)=φ(1,0,0)=φ(1,0,0,0)=$ ζ₀

$φ(1,φ(2,0)+1)=φ(φ(1,0,0),0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0)$

$φ(1,φ(2,0)+φ(1))=φ(φ(1,0,0)+φ(1),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,0)),0,0)$

$φ(1,φ(2,0)+φ(1,0))=φ(φ(1,0,0)+φ(1,0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,0,0)),0,0)$

$φ(1,φ(2,0)+φ(1,0)\cdotφ(1))=φ(φ(1,0,0)+φ(1,1),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,1,0)),0,0)$

$φ(1,φ(2,0)+φ(1,1))=φ(φ(1,0,0)+φ(2,0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(2,0,0)),0,0)$

$φ(1,φ(2,0)+φ(1,φ(1,0)))=φ(φ(1,0,0)+φ(φ(1,0),0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(φ(1,0,0),0,0)),0,0))$

$φ(1,φ(2,0)\cdot2)=φ(φ(1,0,0)\cdot2,0)=φ(φ(1,0,1,0),0,0)$

$φ(1,φ(2,0)\cdotφ(1))=φ(φ(1,1,0),0)=φ(φ(1,0,φ(1,0),0),0,0)$

$φ(1,φ(2,0)^{2})=φ(φ(1,0,φ(1,0,0)),0)=φ(φ(1,0,φ(1,0,0,0),0),0,0)$

$φ(1,φ(1,φ(2,0)+1))=φ(φ(φ(1,0,0),0),0)=φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0),0,0)$

$φ(1,φ(1,φ(1,φ(2,0)+1)))=φ(φ(φ(φ(1,0,0),0),0),0)=φ(φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0),0,0),0,0)$

$φ(2,1)=φ(2,0,0)=φ(2,0,0,0)$

$φ(1,φ(2,1)+1)=φ(φ(2,0,0),0)=φ(φ(2,0,0,0),0,0)$

$φ(1,φ(1,φ(2,1)+1))=φ(φ(φ(2,0,0),0),0)=φ(φ(φ(2,0,0,0),0,0),0,0)$

$φ(2,2)=φ(3,0,0)=φ(3,0,0,0)$

$φ(2,φ(1))=φ(φ(1),0,0)=φ(φ(1,0),0,0,0)$

$φ(2,φ(1)\cdot2)=φ(φ(1)\cdot2,0,0)=φ(φ(1,φ(1,0)),0,0,0)$

$φ(2,φ(2))=φ(φ(2),0,0)=φ(φ(2,0),0,0,0)$

$φ(2,φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)),0,0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0,0)$

$φ(2,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0,0)=φ(φ(1,0,0),0,0,0)$

$φ(2,φ(1,1))=φ(φ(2,0),0,0)=φ(φ(2,0,0),0,0,0)$

$φ(2,φ(1,φ(1)))=φ(φ(φ(1),0),0,0)=φ(φ(φ(1,0),0,0),0,0,0)$

$φ(2,φ(2,0))=φ(φ(1,0,0),0,0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)$

$φ(2,φ(2,φ(2,0)))=φ(φ(φ(1,0,0),0,0),0,0)=φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0,0),0,0,0)$

$φ(3,0)=φ(1,0,0,0)=φ(1,0,0,0,0)=$ η₀

$φ(1,φ(3,0)+1)=φ(φ(1,0,0,0),0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0)$

$φ(2,φ(3,0)+1)=φ(φ(1,0,0,0),0,0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0,0)$

$φ(3,1)=φ(2,0,0,0)=φ(2,0,0,0,0)$

$φ(3,φ(1))=φ(φ(1),0,0,0)=φ(φ(1,0),0,0,0,0)$

$φ(3,φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)),0,0,0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0,0,0)$

$φ(3,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0),0,0,0,0)$

$φ(3,φ(2,0))=φ(φ(1,0,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0,0)$

$φ(3,φ(3,0))=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0,0,0)$

$φ(4,0)=φ(1,0,0,0,0)=φ(1,0,0,0,0,0)$

$φ(φ(1),0)=φ(1@φ(1))=φ(1@φ(1,0))=$ HCO

$φ(1,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0)$

$φ(2,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0,0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0,0)$

$φ(3,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0,0,0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0,0,0)$

$φ(φ(1),1)=φ(2@φ(1))=φ(2@φ(1,0))$

$φ(1,φ(φ(1),1)+1)=φ(φ(2@φ(1)),0)=φ(φ(2@φ(1,0)),0,0)$

$φ(φ(1),2)=φ(3@φ(1))=φ(3@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(1))=φ(φ(1)@φ(1))=φ(φ(1,0)@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(1)\cdot2)=φ(φ(1)\cdot2@φ(1))=φ(φ(1,0)\cdot2@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(2))=φ(φ(2)@φ(1))=φ(φ(2,0)@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1))@φ(1))=φ(φ(φ(1,0),0)@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(1,0))=φ(φ(1,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0)@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(2,0))=φ(φ(1,0,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0,0)@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(3,0))=φ(φ(1,0,0,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0,0,0)@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(φ(1),0))=φ(φ(1@φ(1))@φ(1))=φ(φ(1@φ(1,0))@φ(1,0))$

$φ(φ(1)+1,0)=φ(1@φ(1)+1)=φ(1@φ(1,1))$

$φ(φ(1)+1,φ(φ(1)+1,0))=φ(φ(1@φ(1)+1)@φ(1)+1)=φ(φ(1@φ(1,1))@φ(1,1))$

$φ(φ(1)+2,0)=φ(1@φ(1)+2)=φ(1@φ(1,2))$

$φ(φ(1)\cdot2,0)=φ(1@φ(1)\cdot2)=φ(1@φ(1,φ(1)))$

$φ(φ(1)\cdot3,0)=φ(1@φ(1)\cdot3)=φ(1@φ(1,φ(1,φ(1,0))))$

$φ(φ(2),0)=φ(1@φ(2))=φ(1@φ(2,0))$

$φ(φ(φ(1)),0)=φ(1@φ(φ(1)))=φ(1@φ(φ(1,0),0))$

$φ(φ(1,0),0)=φ(1@φ(1,0))=φ(1@φ(1,0,0))$

$φ(φ(2,0),0)=φ(1@φ(1,0,0))=φ(1@φ(1,0,0,0))$

$φ(φ(3,0),0)=φ(1@φ(1,0,0,0))=φ(1@φ(1,0,0,0,0))$

$φ(φ(φ(1),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1)))=φ(1@φ(1@φ(1,0)))$

$φ(φ(φ(1,0),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1,0)))=φ(1@φ(1@φ(1,0,0)))$

$φ(φ(φ(2,0),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1,0,0)))=φ(1@φ(1@φ(1,0,0,0)))$

$φ(1,0,0)=φ(1@(1,0))=φ(1@(1,0))=$ FSO

$φ(1,φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0)),0)=φ(φ(1@(1,0)),0,0)$

$φ(2,φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0)),0,0)=φ(φ(1@(1,0)),0,0,0)$

$φ(φ(1),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0))$

$φ(φ(1,0),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0))$

$φ(φ(2,0),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0,0))$

$φ(φ(1,0,0),1)=φ(2@φ(1@(1,0)))=φ(2@φ(1@(1,0)))$

$φ(φ(1,0,0),2)=φ(3@φ(1@(1,0)))=φ(3@φ(1@(1,0)))$

$φ(φ(1,0,0),φ(1))=φ(φ(1)@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1,0)@φ(1@(1,0)))$

$φ(φ(1,0,0),φ(1,0))=φ(φ(1,0)@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1,0,0)@φ(1@(1,0)))$

$φ(φ(1,0,0),φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1@(1,0)))$

$φ(φ(1,0,0)+1,0)=φ(1@φ(1@(1,0))+1)=φ(1@φ(1@(1,0),1@0))$

$φ(φ(1,0,0)+φ(1),0)=φ(1@φ(1@(1,0))+φ(1))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1,0)@0))$

$φ(φ(1,0,0)+φ(1,0),0)=φ(1@φ(1@(1,0))+φ(1,0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1,0,0)@0))$

$φ(φ(1,0,0)\cdot2,0)=φ(1@φ(1@(1,0))\cdot2)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))$

$φ(φ(1,0,0)\cdotφ(1),0)=φ(1@φ(1@(1,0),1@0))=φ(1@φ(1@(1,0),1@1))$

$φ(φ(1,0,0)^{2},0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))$

$φ(φ(1,0,0)^{φ(1)},0)=φ(1@φ(1,φ(1@(1,0),1@0),0))=φ(1@φ(1,φ(1@(1,0),1@1),0))$

$φ(φ(1,0,0)^{φ(1,0)},0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1,0)@0)@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1,0)@0)@0))$

$φ(φ(1,0,0)^{φ(1,0,0)},0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0)@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0)@0))$

$φ(φ(1,φ(1,0,0)+1),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0)),0))=φ(1@φ(φ(1@(1,0)),0,0))$

$φ(φ(1,φ(1,0,0)+φ(1)),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0))+φ(1),0))=φ(1@φ(φ(1@(1,0))+φ(1,0),0))$

$φ(φ(φ(1),φ(1,0,0)+1),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0))@φ(1)))=φ(1@φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0)))$

$φ(1,0,1)=φ(1@(1,1))=φ(1@(1,1))$

$φ(1,0,2)=φ(2@(1,1))=φ(2@(1,1))$

$φ(1,0,φ(1))=φ(φ(1)@(1,1))=φ(φ(1,0)@(1,1))$

$φ(1,0,φ(1,0))=φ(φ(1,0)@(1,1))=φ(φ(1,0,0)@(1,1))$

$φ(1,0,φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@(1,1))=φ(φ(1@(1,0))@(1,1))$

$φ(1,1,0)=φ(1@(1,1))=φ(1@(1,1))$

$φ(1,1,φ(1,1,0))=φ(φ(1@(1,1))@(1,1))=φ(φ(1@(1,1))@(1,1))$

$φ(1,2,0)=φ(1@(1,2))=φ(1@(1,2))$

$φ(1,φ(1),0)=φ(1@(1,φ(1)))=φ(1@(1,φ(1,0)))$

$φ(1,φ(1,0),0)=φ(1@(1,φ(1,0)))=φ(1@(1,φ(1,0,0)))$

$φ(1,φ(1,0,0),0)=φ(1@(1,φ(1@(1,0))))=φ(1@(1,φ(1@(1,0))))$

$φ(2,0,0)=φ(1@(2,0))=φ(1@(2,0))$

$φ(2,0,1)=φ(2@(2,0))=φ(2@(2,0))$

$φ(2,1,0)=φ(1@(2,1))=φ(1@(2,1))$

$φ(2,φ(2,0,0),0)=φ(1@(2,φ(1@(2,0))))=φ(1@(2,φ(1@(2,0))))$

$φ(3,0,0)=φ(1@(3,0))=φ(1@(3,0))$

$φ(φ(1),0,0)=φ(1@(φ(1),0))=φ(1@(φ(1,0),0))$

$φ(φ(1,0),0,0)=φ(1@(φ(1,0),0))=φ(1@(φ(1,0,0),0))$

$φ(φ(1,0,0),0,0)=φ(1@(φ(1@(1,0)),0))=φ(1@(φ(1@(1,0)),0))$

$φ(1,0,0,0)=φ(1@(1,0,0))=φ(1@(1,0,0))$

$φ(1,0,0,1)=φ(2@(1,0,0))=φ(2@(1,0,0))$

$φ(1,0,1,0)=φ(1@(1,0,1))=φ(1@(1,0,1))$

$φ(1,1,0,0)=φ(1@(1,1,0))=φ(1@(1,1,0))$

$φ(2,0,0,0)=φ(1@(2,0,0))=φ(1@(2,0,0))$

$φ(φ(1),0,0,0)=φ(1@(φ(1),0,0))=φ(1@(φ(1,0),0,0))$

$φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)=φ(1@(φ(1@(1,0,0)),0,0))=φ(1@(φ(1@(1,0,0)),0,0))$

$φ(1,0,0,0,0)=φ(1@(1,0,0,0))=φ(1@(1,0,0,0))$

$φ(1,0,0,0,0,0)=φ(1@(1,0,0,0,0))=φ(1@(1,0,0,0,0))$

$φ(1,1,4,5,1,4)=φ(5@(1,1,4,5,1))=φ(5@(1,1,4,5,1))$

$φ(1@φ(1))=φ(1@(1@φ(1)))=φ(1@(1@φ(1,0)))=$ SVO

$φ(1,φ(1@φ(1))+1)=φ(1@(1@φ(1)),1@1)=φ(1@(1@φ(1,0)),1@2)$

$φ(1@φ(1),1@0)=φ(2@(1@φ(1)))=φ(2@(1@φ(1,0)))$

$φ(1@φ(1),1@1)=φ(1@(1@φ(1),1@0))=φ(1@(1@φ(1,0),1@0))$

$φ(1@φ(1),1@2)=φ(1@(1@φ(1),1@1))=φ(1@(1@φ(1,0),1@1))$

$φ(2@φ(1))=φ(1@(2@φ(1)))=φ(1@(2@φ(1,0)))$

$φ(φ(1)@φ(1))=φ(1@(φ(1)@φ(1)))=φ(1@(φ(1,0)@φ(1,0)))$

$φ(1@φ(1)+1)=φ(1@(1@φ(1)+1))=φ(1@(1@φ(1,1)))$

$φ(1@φ(1)\cdot2)=φ(1@(1@φ(1)\cdot2))=φ(1@(1@φ(1,φ(1,0))))$

$φ(1@φ(2))=φ(1@(1@φ(2)))=φ(1@(1@φ(2,0)))$

$φ(1@φ(1,0))=φ(1@(1@φ(1,0)))=φ(1@(1@φ(1,0,0)))$

$φ(1@φ(2,0))=φ(1@(1@φ(1,0,0)))=φ(1@(1@φ(1,0,0,0)))$

$φ(1@φ(1,0,0))=φ(1@(1@φ(1@(1,0))))=φ(1@(1@φ(1@(1,0))))$

$φ(1@φ(1@φ(1)))=φ(1@(1@φ(1@(1@φ(1)))))=φ(1@(1@φ(1@(1@φ(1,0)))))=$ LVO

历史

据信在 2024 年下旬及以前的 Weak Veblen 都是指的 $\times ω ϕ$ ，但在这之后 $\times ω ϕ$ 的生态位快速被 $+ 1 ϕ$ 所代替了，所以出现了一些较为混乱的局面。

2025年8月20日 (三) 16:19的版本查看源代码 Z（留言 \| 贡献）监督员、管理员 617次编辑小无编辑摘要标签：可视化编辑 ←上一编辑		2025年8月25日 (一) 13:22的版本查看源代码 Tabelog（留言 \| 贡献） 698次编辑小文字替换 -“Veblen函数”替换为“Veblen 函数” 下一编辑→
第1行：		第1行：
	'''Weak Veblen 函数（又称“弱 φ”、“弱 Veblen”等）'''，是 [[~~Veblen函数~~\|Veblen 函数]]的变体。		'''Weak Veblen 函数（又称“弱 φ”、“弱 Veblen”等）'''，是 [[Veblen 函数\|Veblen 函数]]的变体。

	=== 定义 ===		=== 定义 ===