weak Veblen 函数：修订间差异

←上一编辑下一编辑→

可视化wikitext

2025年7月17日 (四) 07:02的版本

Weak Veblen 函数（又称“弱 φ”、“弱 Veblen”等），是 Veblen 函数的变体。

定义

现在有两种 Veblen 函数的变体可被称为 Weak Veblen。

如果称 Veblen 函数的末位+1等价于跳到下一个 ε 点（不动点进制），定义 Veblen 函数为 $F P ϕ$ ，那么可以直观地定义下面两种Weak Veblen：

若 Weak Veblen 函数的末位 $+ 1$ 对应于其序数值 $\times ω$ ，则称其为 $\times ω ϕ$ 。

若 Weak Veblen 函数的末位 $+ 1$ 对应于其序数值 $+ 1$ ，则称其为 $+ 1 ϕ$ 。

以下是两种Weak Veblen直到序元级别的定义：

$+ 1 ϕ$

$\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0$。
$\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)。[n+1]=\varphi(\#,\alpha\text{@}(\beta+1),\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[n]\text{@}\beta)$。
对于极限序数$\alpha$，$\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta)[n]=\varphi(\#,\alpha[n]\text{@}\beta)$。
对于极限序数$\beta$，$\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}\beta,0\text{@}0)。[n]=\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta,1\text{@}\beta[n])$。
$\varphi(\#,(\gamma+1)\text{@}0)=\varphi(\#,\gamma\text{@}0)+1$。

$\times ω ϕ$

$\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0$。
$\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)。[n+1]=\varphi(\#,\alpha\text{@}(\beta+1),\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[n]\text{@}\beta)$。
对于极限序数$\alpha$，$\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta)[n]=\varphi(\#,\alpha[n]\text{@}\beta)$。
对于极限序数$\beta$，$\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}\beta,0\text{@}0)[n]=\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta,1\text{@}\beta[n])$。
$\varphi(\#,(\gamma+1)\text{@}0)=\varphi(\#,\gamma\text{@}0)\cdot\varphi(1)$。

分析

以下分析中，左为 $F P ϕ$ ，中为 $\times ω ϕ$ ，右为 $+ 1 ϕ$ 。

$φ(0)=φ(0)=φ(0)$

$φ(0)\cdot2=φ(0)\cdot2=φ(φ(0))$

$φ(0)\cdot3=φ(0)\cdot3=φ(φ(φ(0)))$

$φ(1)=φ(1)=φ(1,0)=$ ω

$φ(1)+1=φ(1)+1=φ(1,1)$

$φ(1)+2=φ(1)+2=φ(1,2)$

$φ(1)\cdot2=φ(1)\cdot2=φ(1,φ(1,0))$

$φ(1)\cdot2+1=φ(1)\cdot2+1=φ(1,φ(1,1))$

$φ(1)\cdot2+2=φ(1)\cdot2+2=φ(1,φ(1,2))$

$φ(1)\cdot3=φ(1)\cdot3=φ(1,φ(1,φ(1,0)))$

$φ(2)=φ(2)=φ(2,0)$

$φ(2)+1=φ(2)+1=φ(2,1)$

$φ(2)+2=φ(2)+2=φ(2,2)$

$φ(2)+φ(1)=φ(2)+φ(1)=φ(2,φ(1,0))$

$φ(2)\cdot2=φ(2)\cdot2=φ(2,φ(2,0))$

$φ(2)\cdot3=φ(2)\cdot3=φ(2,φ(2,φ(2,0)))$

$φ(3)=φ(3)=φ(3,0)$

$φ(3)+φ(2)=φ(3)+φ(2)=φ(3,φ(2,0))$

$φ(4)=φ(4)=φ(4,0)$

$φ(φ(1))=φ(φ(1))=φ(φ(1,0),0)$

$φ(φ(1))+1=φ(φ(1))+1=φ(φ(1,0),1)$

$φ(φ(1))+φ(1)=φ(φ(1))+φ(1)=φ(φ(1,0),φ(1,0))$

$φ(φ(1))+φ(2)=φ(φ(1))+φ(2)=φ(φ(1,0),φ(2,0))$

$φ(φ(1))\cdot2=φ(φ(1))\cdot2=φ(φ(1,0),φ(φ(1,0),0))$

$φ(φ(1)+1)=φ(φ(1)+1)=φ(φ(1,1),0)$

$φ(φ(1)+2)=φ(φ(1)+2)=φ(φ(1,2),0)$

$φ(φ(1)+3)=φ(φ(1)+3)=φ(φ(1,3),0)$

$φ(φ(1)\cdot2)=φ(φ(1)\cdot2)=φ(φ(1,φ(1,0)),0)$

$φ(φ(1)\cdot2+1)=φ(φ(1)\cdot2+1)=φ(φ(1,φ(1,1)),0)$

$φ(φ(1)\cdot3)=φ(φ(1)\cdot3)=φ(φ(1,φ(1,φ(1,0))),0)$

$φ(φ(2))=φ(φ(2))=φ(φ(2,0),0)$

$φ(φ(2)+1)=φ(φ(2)+1)=φ(φ(2,1),0)$

$φ(φ(2)+φ(1))=φ(φ(2)+φ(1))=φ(φ(2,φ(1,0)),0)$

$φ(φ(3))=φ(φ(3))=φ(φ(3,0),0)$

$φ(φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1,0),0),0)$

$φ(φ(φ(1))+1)=φ(φ(φ(1))+1)=φ(φ(φ(1,0),1),0)$

$φ(φ(φ(1))+φ(1))=φ(φ(φ(1))+φ(1))=φ(φ(φ(1,0),φ(1,0)),0)$

$φ(φ(φ(1))\cdot2)=φ(φ(φ(1))\cdot2)=φ(φ(φ(1,0),φ(φ(1,0),0)),0)$

$φ(φ(φ(1)+1))=φ(φ(φ(1)+1))=φ(φ(φ(1,1),0),0)$

$φ(φ(φ(2)))=φ(φ(φ(2)))=φ(φ(φ(2,0),0),0)$

$φ(φ(φ(3)))=φ(φ(φ(3)))=φ(φ(φ(3,0),0),0)$

$φ(φ(φ(φ(1))))=φ(φ(φ(φ(1))))=φ(φ(φ(φ(1,0),0),0),0)$

$φ(φ(φ(φ(φ(1)))))=φ(φ(φ(φ(φ(1)))))=φ(φ(φ(φ(φ(1,0),0),0),0),0)$

$φ(1,0)=φ(1,0)=φ(1,0,0)=$ ε₀

$φ(1,0)+1=φ(1,0)+1=φ(1,0,1)$

$φ(1,0)+φ(1)=φ(1,0)+φ(1)=φ(1,0,φ(1,0))$

$φ(1,0)\cdot2=φ(1,0)\cdot2=φ(1,0,φ(1,0,0))$

$φ(1,0)\cdot3=φ(1,0)\cdot3=φ(1,0,φ(1,0,φ(1,0,0)))$

$φ(1,0)\cdotφ(1)=φ(1,1)=φ(1,1,0)$

$φ(1,0)\cdotφ(1)\cdot2=φ(1,1)\cdot2=φ(1,1,φ(1,1,0))$

$φ(1,0)\cdotφ(2)=φ(1,2)=φ(1,2,0)$

$φ(1,0)\cdotφ(φ(1))=φ(1,φ(1))=φ(1,φ(1,0),0)$

$φ(1,0)\cdotφ(φ(1)+1)=φ(1,φ(1)+1)=φ(1,φ(1,1),0)$

$φ(1,0)\cdotφ(φ(2))=φ(1,φ(2))=φ(1,φ(2,0),0)$

$φ(1,0)\cdotφ(φ(φ(1)))=φ(1,φ(φ(1)))=φ(1,φ(φ(1,0),0),0)$

$φ(1,0)^{2}=φ(1,φ(1,0))=φ(1,φ(1,0,0),0)$

$φ(1,0)^{2}\cdotφ(1)=φ(1,φ(1,0)+1)=φ(1,φ(φ(1,0,0)),0)$

$φ(1,0)^{2}\cdotφ(φ(φ(1)))=φ(1,φ(1,0)+φ(φ(1)))=φ(1,φ(1,0,φ(φ(1,0),0)),0)$

$φ(1,0)^{3}=φ(1,φ(1,0)\cdot2)=φ(1,φ(1,0,φ(1,0,0),0),0)$

$φ(1,0)^{φ(1)}=φ(1,φ(1,1))=φ(1,φ(1,1,0),0)$

$φ(1,0)^{φ(1)}\cdotφ(1)=φ(1,φ(1,1)+1)=φ(1,φ(φ(1,1,0)),0)$

$φ(1,0)^{φ(1)}\cdotφ(φ(1))=φ(1,φ(1,1)+2)=φ(1,φ(φ(φ(1,1,0))),0)$

$φ(1,0)^{(φ(1)+1)}=φ(1,φ(1,1)+φ(1,0))=φ(1,φ(1,1,φ(1,0,0)),0)$

$φ(1,0)^{(φ(1)\cdot2)}=φ(1,φ(1,1)\cdot2)=φ(1,φ(1,1,φ(1,1,0)),0)$

$φ(1,0)^{φ(1)^{2}}=φ(1,φ(1,2))=φ(1,φ(1,2,0),0)$

$φ(1,0)^{φ(1)^{φ(1)}}=φ(1,φ(1,φ(1)))=φ(1,φ(1,φ(1,0),0),0)$

$φ(1,0)^{φ(1,0)}=φ(1,φ(1,φ(1,0)))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0)$

$φ(1,0)^{(φ(1,0)+1)}=φ(1,φ(1,φ(1,0))+φ(1,0))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),φ(1,0,0)),0)$

$φ(1,0)^{(φ(1,0)\cdotφ(1))}=φ(1,φ(1,φ(1,0))+φ(1,1))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),φ(1,1,0)),0)$

$φ(1,0)^{φ(1,0)^{2}}=φ(1,φ(1,φ(1,2)))=φ(1,φ(1,φ(1,2,0),0),0)$

$φ(1,0)^{φ(1,0)^{φ(1)}}=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1))))=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0),0),0),0)$

$φ(1,0)^{φ(1,0)^{φ(1,0)}}=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0))))=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0),0)$

$φ(1,1)=φ(2,0)=φ(2,0,0)$

$φ(1,1)\cdotφ(1,0)=φ(2,φ(1,0))=φ(2,φ(1,0,0),0)$

$φ(1,1)\cdotφ(1,0)^{φ(1)}=φ(2,φ(1,φ(1,1)))=φ(2,φ(1,φ(1,1,0),0),0)$

$φ(1,1)\cdotφ(1,0)^{φ(1,0)}=φ(2,φ(1,φ(1,φ(1,0))))=φ(2,φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0),0)$

$φ(1,1)^{2}=φ(2,φ(2,0))=φ(2,φ(2,0,0),0)$

$φ(1,1)^{φ(1)}=φ(2,φ(2,1))=φ(2,φ(2,φ(1,0),0),0)$

$φ(1,1)^{φ(1,0)}=φ(2,φ(2,φ(1,0)))=φ(2,φ(2,φ(1,0,0),0),0)$

$φ(1,1)^{φ(1,1)}=φ(2,φ(2,φ(2,0)))=φ(2,φ(2,φ(2,0,0),0),0)$

$φ(1,2)=φ(3,0)=φ(3,0,0)$

$φ(1,φ(1))=φ(φ(1),0)=φ(φ(1,0),0,0)$

$φ(1,φ(1))\cdotφ(1,0)=φ(φ(1),φ(1,0))=φ(φ(1,0),φ(1,0,0),0)$

$φ(1,φ(1))\cdotφ(1,1)=φ(φ(1),φ(1,1))=φ(φ(1,0),φ(1,1,0),0)$

$φ(1,φ(1))^{2}=φ(φ(1),φ(1,φ(1)))=φ(φ(1,0),φ(1,φ(1,0),0))$

$φ(1,φ(1)+1)=φ(φ(1)+1,0)=φ(φ(1,1),0,0)$

$φ(1,φ(1)+2)=φ(φ(1)+2,0)=φ(φ(1,2),0,0)$

$φ(1,φ(1)\cdot2)=φ(φ(1)\cdot2,0)=φ(φ(1,φ(1,0)),0,0)$

$φ(1,φ(1)^{2})=φ(φ(2),0)=φ(φ(2,0),0,0)$

$φ(1,φ(1)^{3})=φ(φ(3),0)=φ(φ(3,0),0,0)$

$φ(1,φ(1)^{φ(1)})=φ(φ(φ(1)),0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0)$

$φ(1,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0)=φ(φ(1,0,0),0,0)$

$φ(1,φ(1,0)+1)=φ(φ(1,0)+1,0)=φ(φ(1,0,1),0,0)$

$φ(1,φ(1,0)\cdotφ(1))=φ(φ(1,1),0)=φ(φ(1,1,0),0,0)$

$φ(1,φ(1,0)^{φ(1)})=φ(φ(1,φ(1,1)),0)=φ(φ(1,φ(1,1,0),0),0,0)$

$φ(1,φ(1,1))=φ(φ(2,0),0)=φ(φ(2,0,0),0,0)$

$φ(1,φ(1,φ(1)))=φ(φ(φ(1),0),0)=φ(φ(φ(1,0),0,0),0,0)$

$φ(1,φ(1,φ(1,0)))=φ(φ(φ(1,0),0),0)=φ(φ(φ(1,0,0),0,0),0,0)$

$φ(2,0)=φ(1,0,0)=φ(1,0,0,0)=$ ζ₀

$φ(1,φ(2,0)+1)=φ(φ(1,0,0),0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0)$

$φ(1,φ(2,0)+φ(1))=φ(φ(1,0,0)+φ(1),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,0)),0,0)$

$φ(1,φ(2,0)+φ(1,0))=φ(φ(1,0,0)+φ(1,0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,0,0)),0,0)$

$φ(1,φ(2,0)+φ(1,0)\cdotφ(1))=φ(φ(1,0,0)+φ(1,1),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,1,0)),0,0)$

$φ(1,φ(2,0)+φ(1,1))=φ(φ(1,0,0)+φ(2,0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(2,0,0)),0,0)$

$φ(1,φ(2,0)+φ(1,φ(1,0)))=φ(φ(1,0,0)+φ(φ(1,0),0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(φ(1,0,0),0,0)),0,0))$

$φ(1,φ(2,0)\cdot2)=φ(φ(1,0,0)\cdot2,0)=φ(φ(1,0,1,0),0,0)$

$φ(1,φ(2,0)\cdotφ(1))=φ(φ(1,1,0),0)=φ(φ(1,0,φ(1,0),0),0,0)$

$φ(1,φ(2,0)^{2})=φ(φ(1,0,φ(1,0,0)),0)=φ(φ(1,0,φ(1,0,0,0),0),0,0)$

$φ(1,φ(1,φ(2,0)+1))=φ(φ(φ(1,0,0),0),0)=φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0),0,0)$

$φ(1,φ(1,φ(1,φ(2,0)+1)))=φ(φ(φ(φ(1,0,0),0),0),0)=φ(φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0),0,0),0,0)$

$φ(2,1)=φ(2,0,0)=φ(2,0,0,0)$

$φ(1,φ(2,1)+1)=φ(φ(2,0,0),0)=φ(φ(2,0,0,0),0,0)$

$φ(1,φ(1,φ(2,1)+1))=φ(φ(φ(2,0,0),0),0)=φ(φ(φ(2,0,0,0),0,0),0,0)$

$φ(2,2)=φ(3,0,0)=φ(3,0,0,0)$

$φ(2,φ(1))=φ(φ(1),0,0)=φ(φ(1,0),0,0,0)$

$φ(2,φ(1)\cdot2)=φ(φ(1)\cdot2,0,0)=φ(φ(1,φ(1,0)),0,0,0)$

$φ(2,φ(2))=φ(φ(2),0,0)=φ(φ(2,0),0,0,0)$

$φ(2,φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)),0,0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0,0)$

$φ(2,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0,0)=φ(φ(1,0,0),0,0,0)$

$φ(2,φ(1,1))=φ(φ(2,0),0,0)=φ(φ(2,0,0),0,0,0)$

$φ(2,φ(1,φ(1)))=φ(φ(φ(1),0),0,0)=φ(φ(φ(1,0),0,0),0,0,0)$

$φ(2,φ(2,0))=φ(φ(1,0,0),0,0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)$

$φ(2,φ(2,φ(2,0)))=φ(φ(φ(1,0,0),0,0),0,0)=φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0,0),0,0,0)$

$φ(3,0)=φ(1,0,0,0)=φ(1,0,0,0,0)=$ η₀

$φ(1,φ(3,0)+1)=φ(φ(1,0,0,0),0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0)$

$φ(2,φ(3,0)+1)=φ(φ(1,0,0,0),0,0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0,0)$

$φ(3,1)=φ(2,0,0,0)=φ(2,0,0,0,0)$

$φ(3,φ(1))=φ(φ(1),0,0,0)=φ(φ(1,0),0,0,0,0)$

$φ(3,φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)),0,0,0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0,0,0)$

$φ(3,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0),0,0,0,0)$

$φ(3,φ(2,0))=φ(φ(1,0,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0,0)$

$φ(3,φ(3,0))=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0,0,0)$

$φ(4,0)=φ(1,0,0,0,0)=φ(1,0,0,0,0,0)$

$φ(φ(1),0)=φ(1@φ(1))=φ(1@φ(1,0))=$ HCO

$φ(1,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0)$

$φ(2,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0,0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0,0)$

$φ(3,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0,0,0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0,0,0)$

$φ(φ(1),1)=φ(2@φ(1))=φ(2@φ(1,0))$

$φ(1,φ(φ(1),1)+1)=φ(φ(2@φ(1)),0)=φ(φ(2@φ(1,0)),0,0)$

$φ(φ(1),2)=φ(3@φ(1))=φ(3@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(1))=φ(φ(1)@φ(1))=φ(φ(1,0)@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(1)\cdot2)=φ(φ(1)\cdot2@φ(1))=φ(φ(1,0)\cdot2@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(2))=φ(φ(2)@φ(1))=φ(φ(2,0)@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1))@φ(1))=φ(φ(φ(1,0),0)@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(1,0))=φ(φ(1,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0)@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(2,0))=φ(φ(1,0,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0,0)@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(3,0))=φ(φ(1,0,0,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0,0,0)@φ(1,0))$

$φ(φ(1),φ(φ(1),0))=φ(φ(1@φ(1))@φ(1))=φ(φ(1@φ(1,0))@φ(1,0))$

$φ(φ(1)+1,0)=φ(1@φ(1)+1)=φ(1@φ(1,1))$

$φ(φ(1)+1,φ(φ(1)+1,0))=φ(φ(1@φ(1)+1)@φ(1)+1)=φ(φ(1@φ(1,1))@φ(1,1))$

$φ(φ(1)+2,0)=φ(1@φ(1)+2)=φ(1@φ(1,2))$

$φ(φ(1)\cdot2,0)=φ(1@φ(1)\cdot2)=φ(1@φ(1,φ(1)))$

$φ(φ(1)\cdot3,0)=φ(1@φ(1)\cdot3)=φ(1@φ(1,φ(1,φ(1,0))))$

$φ(φ(2),0)=φ(1@φ(2))=φ(1@φ(2,0))$

$φ(φ(φ(1)),0)=φ(1@φ(φ(1)))=φ(1@φ(φ(1,0),0))$

$φ(φ(1,0),0)=φ(1@φ(1,0))=φ(1@φ(1,0,0))$

$φ(φ(2,0),0)=φ(1@φ(1,0,0))=φ(1@φ(1,0,0,0))$

$φ(φ(3,0),0)=φ(1@φ(1,0,0,0))=φ(1@φ(1,0,0,0,0))$

$φ(φ(φ(1),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1)))=φ(1@φ(1@φ(1,0)))$

$φ(φ(φ(1,0),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1,0)))=φ(1@φ(1@φ(1,0,0)))$

$φ(φ(φ(2,0),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1,0,0)))=φ(1@φ(1@φ(1,0,0,0)))$

$φ(1,0,0)=φ(1@(1,0))=φ(1@(1,0))=$ FSO

$φ(1,φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0)),0)=φ(φ(1@(1,0)),0,0)$

$φ(2,φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0)),0,0)=φ(φ(1@(1,0)),0,0,0)$

$φ(φ(1),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0))$

$φ(φ(1,0),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0))$

$φ(φ(2,0),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0,0))$

$φ(φ(1,0,0),1)=φ(2@φ(1@(1,0)))=φ(2@φ(1@(1,0)))$

$φ(φ(1,0,0),2)=φ(3@φ(1@(1,0)))=φ(3@φ(1@(1,0)))$

$φ(φ(1,0,0),φ(1))=φ(φ(1)@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1,0)@φ(1@(1,0)))$

$φ(φ(1,0,0),φ(1,0))=φ(φ(1,0)@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1,0,0)@φ(1@(1,0)))$

$φ(φ(1,0,0),φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1@(1,0)))$

$φ(φ(1,0,0)+1,0)=φ(1@φ(1@(1,0))+1)=φ(1@φ(1@(1,0),1@0))$

$φ(φ(1,0,0)+φ(1),0)=φ(1@φ(1@(1,0))+φ(1))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1,0)@0))$

$φ(φ(1,0,0)+φ(1,0),0)=φ(1@φ(1@(1,0))+φ(1,0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1,0,0)@0))$

$φ(φ(1,0,0)\cdot2,0)=φ(1@φ(1@(1,0))\cdot2)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))$

$φ(φ(1,0,0)\cdotφ(1),0)=φ(1@φ(1@(1,0),1@0))=φ(1@φ(1@(1,0),1@1))$

$φ(φ(1,0,0)^{2},0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))$

$φ(φ(1,0,0)^{φ(1)},0)=φ(1@φ(1,φ(1@(1,0),1@0),0))=φ(1@φ(1,φ(1@(1,0),1@1),0))$

$φ(φ(1,0,0)^{φ(1,0)},0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1,0)@0)@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1,0)@0)@0))$

$φ(φ(1,0,0)^{φ(1,0,0)},0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0)@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0)@0))$

$φ(φ(1,φ(1,0,0)+1),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0)),0))=φ(1@φ(φ(1@(1,0)),0,0))$

$φ(φ(1,φ(1,0,0)+φ(1)),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0))+φ(1),0))=φ(1@φ(φ(1@(1,0))+φ(1,0),0))$

$φ(φ(φ(1),φ(1,0,0)+1),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0))@φ(1)))=φ(1@φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0)))$

$φ(1,0,1)=φ(1@(1,1))=φ(1@(1,1))$

$φ(1,0,2)=φ(2@(1,1))=φ(2@(1,1))$

$φ(1,0,φ(1))=φ(φ(1)@(1,1))=φ(φ(1,0)@(1,1))$

$φ(1,0,φ(1,0))=φ(φ(1,0)@(1,1))=φ(φ(1,0,0)@(1,1))$

$φ(1,0,φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@(1,1))=φ(φ(1@(1,0))@(1,1))$

$φ(1,1,0)=φ(1@(1,1))=φ(1@(1,1))$

$φ(1,1,φ(1,1,0))=φ(φ(1@(1,1))@(1,1))=φ(φ(1@(1,1))@(1,1))$

$φ(1,2,0)=φ(1@(1,2))=φ(1@(1,2))$

$φ(1,φ(1),0)=φ(1@(1,φ(1)))=φ(1@(1,φ(1,0)))$

$φ(1,φ(1,0),0)=φ(1@(1,φ(1,0)))=φ(1@(1,φ(1,0,0)))$

$φ(1,φ(1,0,0),0)=φ(1@(1,φ(1@(1,0))))=φ(1@(1,φ(1@(1,0))))$

$φ(2,0,0)=φ(1@(2,0))=φ(1@(2,0))$

$φ(2,0,1)=φ(2@(2,0))=φ(2@(2,0))$

$φ(2,1,0)=φ(1@(2,1))=φ(1@(2,1))$

$φ(2,φ(2,0,0),0)=φ(1@(2,φ(1@(2,0))))=φ(1@(2,φ(1@(2,0))))$

$φ(3,0,0)=φ(1@(3,0))=φ(1@(3,0))$

$φ(φ(1),0,0)=φ(1@(φ(1),0))=φ(1@(φ(1,0),0))$

$φ(φ(1,0),0,0)=φ(1@(φ(1,0),0))=φ(1@(φ(1,0,0),0))$

$φ(φ(1,0,0),0,0)=φ(1@(φ(1@(1,0)),0))=φ(1@(φ(1@(1,0)),0))$

$φ(1,0,0,0)=φ(1@(1,0,0))=φ(1@(1,0,0))$

$φ(1,0,0,1)=φ(2@(1,0,0))=φ(2@(1,0,0))$

$φ(1,0,1,0)=φ(1@(1,0,1))=φ(1@(1,0,1))$

$φ(1,1,0,0)=φ(1@(1,1,0))=φ(1@(1,1,0))$

$φ(2,0,0,0)=φ(1@(2,0,0))=φ(1@(2,0,0))$

$φ(φ(1),0,0,0)=φ(1@(φ(1),0,0))=φ(1@(φ(1,0),0,0))$

$φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)=φ(1@(φ(1@(1,0,0)),0,0))=φ(1@(φ(1@(1,0,0)),0,0))$

$φ(1,0,0,0,0)=φ(1@(1,0,0,0))=φ(1@(1,0,0,0))$

$φ(1,0,0,0,0,0)=φ(1@(1,0,0,0,0))=φ(1@(1,0,0,0,0))$

$φ(1,1,4,5,1,4)=φ(5@(1,1,4,5,1))=φ(5@(1,1,4,5,1))$

$φ(1@φ(1))=φ(1@(1@φ(1)))=φ(1@(1@φ(1,0)))=$ SVO

$φ(1,φ(1@φ(1))+1)=φ(1@(1@φ(1)),1@1)=φ(1@(1@φ(1,0)),1@2)$

$φ(1@φ(1),1@0)=φ(2@(1@φ(1)))=φ(2@(1@φ(1,0)))$

$φ(1@φ(1),1@1)=φ(1@(1@φ(1),1@0))=φ(1@(1@φ(1,0),1@0))$

$φ(1@φ(1),1@2)=φ(1@(1@φ(1),1@1))=φ(1@(1@φ(1,0),1@1))$

$φ(2@φ(1))=φ(1@(2@φ(1)))=φ(1@(2@φ(1,0)))$

$φ(φ(1)@φ(1))=φ(1@(φ(1)@φ(1)))=φ(1@(φ(1,0)@φ(1,0)))$

$φ(1@φ(1)+1)=φ(1@(1@φ(1)+1))=φ(1@(1@φ(1,1)))$

$φ(1@φ(1)\cdot2)=φ(1@(1@φ(1)\cdot2))=φ(1@(1@φ(1,φ(1,0))))$

$φ(1@φ(2))=φ(1@(1@φ(2)))=φ(1@(1@φ(2,0)))$

$φ(1@φ(1,0))=φ(1@(1@φ(1,0)))=φ(1@(1@φ(1,0,0)))$

$φ(1@φ(2,0))=φ(1@(1@φ(1,0,0)))=φ(1@(1@φ(1,0,0,0)))$

$φ(1@φ(1,0,0))=φ(1@(1@φ(1@(1,0))))=φ(1@(1@φ(1@(1,0))))$

$φ(1@φ(1@φ(1)))=φ(1@(1@φ(1@(1@φ(1)))))=φ(1@(1@φ(1@(1@φ(1,0)))))=$ LVO

历史

据信在 2024 年下旬及以前的 Weak Veblen 都是指的 $\times ω ϕ$ ，但在这之后 $\times ω ϕ$ 的生态位快速被 $+ 1 ϕ$ 所代替了，所以出现了一些较为混乱的局面。

@@ 第1行： / 第1行： @@
-weak Veblen 函数（又称“弱 φ”、“弱 veblen”等）是 Veblen 函数的变体。
+'''Weak Veblen 函数（又称“弱 φ”、“弱 Veblen”等）'''，是 [[Veblen函数|Veblen 函数]]的变体。
 === 定义 ===
- 一些必要的区分：现在有两种 Veblen 函数的变体可被称为弱 φ。如果称 Veblen 函数的末位+1等价于跳到下一个 ε 点（不动点进制），那么可以直观地定义下面两种弱 φ（与此同时，Veblen 函数是 FP φ）：末位+1=序数*ω（或称 *ω φ）和末位+1=序数+1（+1 φ）。据信在 2024 年下旬及以前的弱 φ 都是指的 *ω φ，但在这之后 *ω φ 的生态位快速被 +1 φ 所代替了，所以出现了一些比较混乱的局面。
+现在有两种 Veblen 函数的变体可被称为 Weak Veblen。
-以下是直到序元级别的定义：
-'''+1 φ'''
+如果称 Veblen 函数的末位+1等价于跳到下一个 ε 点（[[不动点]]进制），定义 Veblen 函数为 <math>\mathrm{FP}\ \phi</math>，那么可以直观地定义下面两种Weak Veblen：
-# \(\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)\begin{cases}[0]&=&0\\[n+1]&=&\varphi(\#,\alpha\text{@}(\beta+1),\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[n]\text{@}\beta)\)\end{cases}\)
+* 若 Weak Veblen 函数的末位 <math>+1</math> 对应于其序数值<math> \times\omega</math>，则称其为 <math>\times\omega\ \phi</math>。
-# 对于极限序数\(\alpha\)，\(\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta)[n]=\varphi(\#,\alpha[n]\text{@}\beta)\)
-# 对于极限序数\(\beta\)，\(\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}\beta,0\text{@}0)[n]=\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta,1\text{@}\beta[n])\)
+* 若 Weak Veblen 函数的末位 <math>+1</math> 对应于其序数值 <math>+1</math>，则称其为 <math>+1\ \phi</math>。
-# \(\varphi(\#,(\gamma+1)\text{@}0)=\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),\gamma\text{@}0)+1\)
-'''*ω φ'''
+以下是两种Weak Veblen直到序元级别的定义：
-# \(\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)\begin{cases}[0]&=&0\\[n+1]&=&\varphi(\#,\alpha\text{@}(\beta+1),\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[n]\text{@}\beta)\)\end{cases}\)
-# 对于极限序数\(\alpha\)，\(\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta)[n]=\varphi(\#,\alpha[n]\text{@}\beta)\)
+<big>'''<math>+1\ \phi</math>'''</big>
-# 对于极限序数\(\beta\)，\(\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}\beta,0\text{@}0)[n]=\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta,1\text{@}\beta[n])\)
-# \(\varphi(\#,(\gamma+1)\text{@}0)=\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),\gamma\text{@}0)*\varphi(1)\)
+# \(\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0\)。
+# \(\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)。[n+1]=\varphi(\#,\alpha\text{@}(\beta+1),\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[n]\text{@}\beta)\)。
+# 对于极限序数\(\alpha\)，\(\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta)[n]=\varphi(\#,\alpha[n]\text{@}\beta)\)。
+# 对于极限序数\(\beta\)，\(\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}\beta,0\text{@}0)。[n]=\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta,1\text{@}\beta[n])\)。
+# \(\varphi(\#,(\gamma+1)\text{@}0)=\varphi(\#,\gamma\text{@}0)+1\)。
+<big>'''<math>\times\omega\ \phi</math>'''</big>
+# \(\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0\)。
+# \(\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)。[n+1]=\varphi(\#,\alpha\text{@}(\beta+1),\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[n]\text{@}\beta)\)。
+# 对于极限序数\(\alpha\)，\(\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta)[n]=\varphi(\#,\alpha[n]\text{@}\beta)\)。
+# 对于极限序数\(\beta\)，\(\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}\beta,0\text{@}0)[n]=\varphi(\#,\alpha\text{@}\beta,1\text{@}\beta[n])\)。
+# \(\varphi(\#,(\gamma+1)\text{@}0)=\varphi(\#,\gamma\text{@}0)\cdot\varphi(1)\)。
 === 分析 ===
-以下：左为 FP φ，中为 *ω φ，右为 +1 φ
+以下分析中，左为 <math>\mathrm{FP}\ \phi</math>，中为 <math>\times\omega\ \phi</math>，右为 <math>+1\ \phi</math>。
+\(φ(0)=φ(0)=φ(0)\)
-φ(0)=φ(0)=φ(0)
+\(φ(0)\cdot2=φ(0)\cdot2=φ(φ(0))\)
-φ(0)*2=φ(0)*2=φ(φ(0))
+\(φ(0)\cdot3=φ(0)\cdot3=φ(φ(φ(0)))\)
-φ(0)*3=φ(0)*3=φ(φ(φ(0)))
+\(φ(1)=φ(1)=φ(1,0)=\) '''[[FTO|ω]]'''
-φ(1)=φ(1)=φ(1,0)='''[[FTO]](ω)'''
+\(φ(1)+1=φ(1)+1=φ(1,1)\)
-φ(1)+1=φ(1)+1=φ(1,1)
+\(φ(1)+2=φ(1)+2=φ(1,2)\)
-φ(1)+2=φ(1)+2=φ(1,2)
+\(φ(1)\cdot2=φ(1)\cdot2=φ(1,φ(1,0))\)
-φ(1)*2=φ(1)*2=φ(1,φ(1,0))
+\(φ(1)\cdot2+1=φ(1)\cdot2+1=φ(1,φ(1,1))\)
-φ(1)*2+1=φ(1)*2+1=φ(1,φ(1,1))
+\(φ(1)\cdot2+2=φ(1)\cdot2+2=φ(1,φ(1,2))\)
-φ(1)*2+2=φ(1)*2+2=φ(1,φ(1,2))
+\(φ(1)\cdot3=φ(1)\cdot3=φ(1,φ(1,φ(1,0)))\)
-φ(1)*3=φ(1)*3=φ(1,φ(1,φ(1,0)))
+\(φ(2)=φ(2)=φ(2,0)\)
-φ(2)=φ(2)=φ(2,0)
+\(φ(2)+1=φ(2)+1=φ(2,1)\)
-φ(2)+1=φ(2)+1=φ(2,1)
+\(φ(2)+2=φ(2)+2=φ(2,2)\)
-φ(2)+2=φ(2)+2=φ(2,2)
+\(φ(2)+φ(1)=φ(2)+φ(1)=φ(2,φ(1,0))\)
-φ(2)+φ(1)=φ(2)+φ(1)=φ(2,φ(1,0))
+\(φ(2)\cdot2=φ(2)\cdot2=φ(2,φ(2,0))\)
-φ(2)*2=φ(2)*2=φ(2,φ(2,0))
+\(φ(2)\cdot3=φ(2)\cdot3=φ(2,φ(2,φ(2,0)))\)
-φ(2)*3=φ(2)*3=φ(2,φ(2,φ(2,0)))
+\(φ(3)=φ(3)=φ(3,0)\)
-φ(3)=φ(3)=φ(3,0)
+\(φ(3)+φ(2)=φ(3)+φ(2)=φ(3,φ(2,0))\)
-φ(3)+φ(2)=φ(3)+φ(2)=φ(3,φ(2,0))
+\(φ(4)=φ(4)=φ(4,0)\)
-φ(4)=φ(4)=φ(4,0)
+\(φ(φ(1))=φ(φ(1))=φ(φ(1,0),0)\)
-φ(φ(1))=φ(φ(1))=φ(φ(1,0),0)
+\(φ(φ(1))+1=φ(φ(1))+1=φ(φ(1,0),1)\)
-φ(φ(1))+1=φ(φ(1))+1=φ(φ(1,0),1)
+\(φ(φ(1))+φ(1)=φ(φ(1))+φ(1)=φ(φ(1,0),φ(1,0))\)
-φ(φ(1))+φ(1)=φ(φ(1))+φ(1)=φ(φ(1,0),φ(1,0))
+\(φ(φ(1))+φ(2)=φ(φ(1))+φ(2)=φ(φ(1,0),φ(2,0))\)
-φ(φ(1))+φ(2)=φ(φ(1))+φ(2)=φ(φ(1,0),φ(2,0))
+\(φ(φ(1))\cdot2=φ(φ(1))\cdot2=φ(φ(1,0),φ(φ(1,0),0))\)
-φ(φ(1))*2=φ(φ(1))*2=φ(φ(1,0),φ(φ(1,0),0))
+\(φ(φ(1)+1)=φ(φ(1)+1)=φ(φ(1,1),0)\)
-φ(φ(1)+1)=φ(φ(1)+1)=φ(φ(1,1),0)
+\(φ(φ(1)+2)=φ(φ(1)+2)=φ(φ(1,2),0)\)
-φ(φ(1)+2)=φ(φ(1)+2)=φ(φ(1,2),0)
+\(φ(φ(1)+3)=φ(φ(1)+3)=φ(φ(1,3),0)\)
-φ(φ(1)+3)=φ(φ(1)+3)=φ(φ(1,3),0)
+\(φ(φ(1)\cdot2)=φ(φ(1)\cdot2)=φ(φ(1,φ(1,0)),0)\)
-φ(φ(1)*2)=φ(φ(1)*2)=φ(φ(1,φ(1,0)),0)
+\(φ(φ(1)\cdot2+1)=φ(φ(1)\cdot2+1)=φ(φ(1,φ(1,1)),0)\)
-φ(φ(1)*2+1)=φ(φ(1)*2+1)=φ(φ(1,φ(1,1)),0)
+\(φ(φ(1)\cdot3)=φ(φ(1)\cdot3)=φ(φ(1,φ(1,φ(1,0))),0)\)
-φ(φ(1)*3)=φ(φ(1)*3)=φ(φ(1,φ(1,φ(1,0))),0)
+\(φ(φ(2))=φ(φ(2))=φ(φ(2,0),0)\)
-φ(φ(2))=φ(φ(2))=φ(φ(2,0),0)
+\(φ(φ(2)+1)=φ(φ(2)+1)=φ(φ(2,1),0)\)
-φ(φ(2)+1)=φ(φ(2)+1)=φ(φ(2,1),0)
+\(φ(φ(2)+φ(1))=φ(φ(2)+φ(1))=φ(φ(2,φ(1,0)),0)\)
-φ(φ(2)+φ(1))=φ(φ(2)+φ(1))=φ(φ(2,φ(1,0)),0)
+\(φ(φ(3))=φ(φ(3))=φ(φ(3,0),0)\)
-φ(φ(3))=φ(φ(3))=φ(φ(3,0),0)
+\(φ(φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1,0),0),0)\)
-φ(φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1,0),0),0)
+\(φ(φ(φ(1))+1)=φ(φ(φ(1))+1)=φ(φ(φ(1,0),1),0)\)
-φ(φ(φ(1))+1)=φ(φ(φ(1))+1)=φ(φ(φ(1,0),1),0)
+\(φ(φ(φ(1))+φ(1))=φ(φ(φ(1))+φ(1))=φ(φ(φ(1,0),φ(1,0)),0)\)
-φ(φ(φ(1))+φ(1))=φ(φ(φ(1))+φ(1))=φ(φ(φ(1,0),φ(1,0)),0)
+\(φ(φ(φ(1))\cdot2)=φ(φ(φ(1))\cdot2)=φ(φ(φ(1,0),φ(φ(1,0),0)),0)\)
-φ(φ(φ(1))*2)=φ(φ(φ(1))*2)=φ(φ(φ(1,0),φ(φ(1,0),0)),0)
+\(φ(φ(φ(1)+1))=φ(φ(φ(1)+1))=φ(φ(φ(1,1),0),0)\)
-φ(φ(φ(1)+1))=φ(φ(φ(1)+1))=φ(φ(φ(1,1),0),0)
+\(φ(φ(φ(2)))=φ(φ(φ(2)))=φ(φ(φ(2,0),0),0)\)
-φ(φ(φ(2)))=φ(φ(φ(2)))=φ(φ(φ(2,0),0),0)
+\(φ(φ(φ(3)))=φ(φ(φ(3)))=φ(φ(φ(3,0),0),0)\)
-φ(φ(φ(3)))=φ(φ(φ(3)))=φ(φ(φ(3,0),0),0)
+\(φ(φ(φ(φ(1))))=φ(φ(φ(φ(1))))=φ(φ(φ(φ(1,0),0),0),0)\)
-φ(φ(φ(φ(1))))=φ(φ(φ(φ(1))))=φ(φ(φ(φ(1,0),0),0),0)
+\(φ(φ(φ(φ(φ(1)))))=φ(φ(φ(φ(φ(1)))))=φ(φ(φ(φ(φ(1,0),0),0),0),0)\)
-φ(φ(φ(φ(φ(1)))))=φ(φ(φ(φ(φ(1)))))=φ(φ(φ(φ(φ(1,0),0),0),0),0)
+\(φ(1,0)=φ(1,0)=φ(1,0,0)=\) '''[[SCO|ε<sub>0</sub>]]'''
-φ(1,0)=φ(1,0)=φ(1,0,0)='''[[SCO]](ε0)'''
+\(φ(1,0)+1=φ(1,0)+1=φ(1,0,1)\)
-φ(1,0)+1=φ(1,0)+1=φ(1,0,1)
+\(φ(1,0)+φ(1)=φ(1,0)+φ(1)=φ(1,0,φ(1,0))\)
-φ(1,0)+φ(1)=φ(1,0)+φ(1)=φ(1,0,φ(1,0))
+\(φ(1,0)\cdot2=φ(1,0)\cdot2=φ(1,0,φ(1,0,0))\)
-φ(1,0)*2=φ(1,0)*2=φ(1,0,φ(1,0,0))
+\(φ(1,0)\cdot3=φ(1,0)\cdot3=φ(1,0,φ(1,0,φ(1,0,0)))\)
-φ(1,0)*3=φ(1,0)*3=φ(1,0,φ(1,0,φ(1,0,0)))
+\(φ(1,0)\cdotφ(1)=φ(1,1)=φ(1,1,0)\)
-φ(1,0)*φ(1)=φ(1,1)=φ(1,1,0)
+\(φ(1,0)\cdotφ(1)\cdot2=φ(1,1)\cdot2=φ(1,1,φ(1,1,0))\)
-φ(1,0)*φ(1)*2=φ(1,1)*2=φ(1,1,φ(1,1,0))
+\(φ(1,0)\cdotφ(2)=φ(1,2)=φ(1,2,0)\)
-φ(1,0)*φ(2)=φ(1,2)=φ(1,2,0)
+\(φ(1,0)\cdotφ(φ(1))=φ(1,φ(1))=φ(1,φ(1,0),0)\)
-φ(1,0)*φ(φ(1))=φ(1,φ(1))=φ(1,φ(1,0),0)
+\(φ(1,0)\cdotφ(φ(1)+1)=φ(1,φ(1)+1)=φ(1,φ(1,1),0)\)
-φ(1,0)*φ(φ(1)+1)=φ(1,φ(1)+1)=φ(1,φ(1,1),0)
+\(φ(1,0)\cdotφ(φ(2))=φ(1,φ(2))=φ(1,φ(2,0),0)\)
-φ(1,0)*φ(φ(2))=φ(1,φ(2))=φ(1,φ(2,0),0)
+\(φ(1,0)\cdotφ(φ(φ(1)))=φ(1,φ(φ(1)))=φ(1,φ(φ(1,0),0),0)\)
-φ(1,0)*φ(φ(φ(1)))=φ(1,φ(φ(1)))=φ(1,φ(φ(1,0),0),0)
+\(φ(1,0)^{2}=φ(1,φ(1,0))=φ(1,φ(1,0,0),0)\)
-φ(1,0)^2=φ(1,φ(1,0))=φ(1,φ(1,0,0),0)
+\(φ(1,0)^{2}\cdotφ(1)=φ(1,φ(1,0)+1)=φ(1,φ(φ(1,0,0)),0)\)
-φ(1,0)^2*φ(1)=φ(1,φ(1,0)+1)=φ(1,φ(φ(1,0,0)),0)
+\(φ(1,0)^{2}\cdotφ(φ(φ(1)))=φ(1,φ(1,0)+φ(φ(1)))=φ(1,φ(1,0,φ(φ(1,0),0)),0)\)
-φ(1,0)^2*φ(φ(φ(1)))=φ(1,φ(1,0)+φ(φ(1)))=φ(1,φ(1,0,φ(φ(1,0),0)),0)
+\(φ(1,0)^{3}=φ(1,φ(1,0)\cdot2)=φ(1,φ(1,0,φ(1,0,0),0),0)\)
-φ(1,0)^3=φ(1,φ(1,0)*2)=φ(1,φ(1,0,φ(1,0,0),0),0)
+\(φ(1,0)^{φ(1)}=φ(1,φ(1,1))=φ(1,φ(1,1,0),0)\)
-φ(1,0)^φ(1)=φ(1,φ(1,1))=φ(1,φ(1,1,0),0)
+\(φ(1,0)^{φ(1)}\cdotφ(1)=φ(1,φ(1,1)+1)=φ(1,φ(φ(1,1,0)),0)\)
-φ(1,0)^φ(1)*φ(1)=φ(1,φ(1,1)+1)=φ(1,φ(φ(1,1,0)),0)
+\(φ(1,0)^{φ(1)}\cdotφ(φ(1))=φ(1,φ(1,1)+2)=φ(1,φ(φ(φ(1,1,0))),0)\)
-φ(1,0)^φ(1)*φ(φ(1))=φ(1,φ(1,1)+2)=φ(1,φ(φ(φ(1,1,0))),0)
+\(φ(1,0)^{(φ(1)+1)}=φ(1,φ(1,1)+φ(1,0))=φ(1,φ(1,1,φ(1,0,0)),0)\)
-φ(1,0)^(φ(1)+1)=φ(1,φ(1,1)+φ(1,0))=φ(1,φ(1,1,φ(1,0,0)),0)
+\(φ(1,0)^{(φ(1)\cdot2)}=φ(1,φ(1,1)\cdot2)=φ(1,φ(1,1,φ(1,1,0)),0)\)
-φ(1,0)^(φ(1)*2)=φ(1,φ(1,1)*2)=φ(1,φ(1,1,φ(1,1,0)),0)
+\(φ(1,0)^{φ(1)^{2}}=φ(1,φ(1,2))=φ(1,φ(1,2,0),0)\)
-φ(1,0)^φ(1)^2=φ(1,φ(1,2))=φ(1,φ(1,2,0),0)
+\(φ(1,0)^{φ(1)^{φ(1)}}=φ(1,φ(1,φ(1)))=φ(1,φ(1,φ(1,0),0),0)\)
-φ(1,0)^φ(1)^φ(1)=φ(1,φ(1,φ(1)))=φ(1,φ(1,φ(1,0),0),0)
+\(φ(1,0)^{φ(1,0)}=φ(1,φ(1,φ(1,0)))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0)\)
-φ(1,0)^φ(1,0)=φ(1,φ(1,φ(1,0)))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0)
+\(φ(1,0)^{(φ(1,0)+1)}=φ(1,φ(1,φ(1,0))+φ(1,0))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),φ(1,0,0)),0)\)
-φ(1,0)^(φ(1,0)+1)=φ(1,φ(1,φ(1,0))+φ(1,0))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),φ(1,0,0)),0)
+\(φ(1,0)^{(φ(1,0)\cdotφ(1))}=φ(1,φ(1,φ(1,0))+φ(1,1))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),φ(1,1,0)),0)\)
-φ(1,0)^(φ(1,0)*φ(1))=φ(1,φ(1,φ(1,0))+φ(1,1))=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),φ(1,1,0)),0)
+\(φ(1,0)^{φ(1,0)^{2}}=φ(1,φ(1,φ(1,2)))=φ(1,φ(1,φ(1,2,0),0),0)\)
-φ(1,0)^φ(1,0)^2=φ(1,φ(1,φ(1,2)))=φ(1,φ(1,φ(1,2,0),0),0)
+\(φ(1,0)^{φ(1,0)^{φ(1)}}=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1))))=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0),0),0),0)\)
-φ(1,0)^φ(1,0)^φ(1)=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1))))=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0),0),0),0)
+\(φ(1,0)^{φ(1,0)^{φ(1,0)}}=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0))))=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0),0)\)
-φ(1,0)^φ(1,0)^φ(1,0)=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0))))=φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0),0)
+\(φ(1,1)=φ(2,0)=φ(2,0,0)\)
-φ(1,1)=φ(2,0)=φ(2,0,0)
+\(φ(1,1)\cdotφ(1,0)=φ(2,φ(1,0))=φ(2,φ(1,0,0),0)\)
-φ(1,1)*φ(1,0)=φ(2,φ(1,0))=φ(2,φ(1,0,0),0)
+\(φ(1,1)\cdotφ(1,0)^{φ(1)}=φ(2,φ(1,φ(1,1)))=φ(2,φ(1,φ(1,1,0),0),0)\)
-φ(1,1)*φ(1,0)^φ(1)=φ(2,φ(1,φ(1,1)))=φ(2,φ(1,φ(1,1,0),0),0)
+\(φ(1,1)\cdotφ(1,0)^{φ(1,0)}=φ(2,φ(1,φ(1,φ(1,0))))=φ(2,φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0),0)\)
-φ(1,1)*φ(1,0)^φ(1,0)=φ(2,φ(1,φ(1,φ(1,0))))=φ(2,φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0),0)
+\(φ(1,1)^{2}=φ(2,φ(2,0))=φ(2,φ(2,0,0),0)\)
-φ(1,1)^2=φ(2,φ(2,0))=φ(2,φ(2,0,0),0)
+\(φ(1,1)^{φ(1)}=φ(2,φ(2,1))=φ(2,φ(2,φ(1,0),0),0)\)
-φ(1,1)^φ(1)=φ(2,φ(2,1))=φ(2,φ(2,φ(1,0),0),0)
+\(φ(1,1)^{φ(1,0)}=φ(2,φ(2,φ(1,0)))=φ(2,φ(2,φ(1,0,0),0),0)\)
-φ(1,1)^φ(1,0)=φ(2,φ(2,φ(1,0)))=φ(2,φ(2,φ(1,0,0),0),0)
+\(φ(1,1)^{φ(1,1)}=φ(2,φ(2,φ(2,0)))=φ(2,φ(2,φ(2,0,0),0),0)\)
-φ(1,1)^φ(1,1)=φ(2,φ(2,φ(2,0)))=φ(2,φ(2,φ(2,0,0),0),0)
+\(φ(1,2)=φ(3,0)=φ(3,0,0)\)
-φ(1,2)=φ(3,0)=φ(3,0,0)
+\(φ(1,φ(1))=φ(φ(1),0)=φ(φ(1,0),0,0)\)
-φ(1,φ(1))=φ(φ(1),0)=φ(φ(1,0),0,0)
+\(φ(1,φ(1))\cdotφ(1,0)=φ(φ(1),φ(1,0))=φ(φ(1,0),φ(1,0,0),0)\)
-φ(1,φ(1))*φ(1,0)=φ(φ(1),φ(1,0))=φ(φ(1,0),φ(1,0,0),0)
+\(φ(1,φ(1))\cdotφ(1,1)=φ(φ(1),φ(1,1))=φ(φ(1,0),φ(1,1,0),0)\)
-φ(1,φ(1))*φ(1,1)=φ(φ(1),φ(1,1))=φ(φ(1,0),φ(1,1,0),0)
+\(φ(1,φ(1))^{2}=φ(φ(1),φ(1,φ(1)))=φ(φ(1,0),φ(1,φ(1,0),0))\)
-φ(1,φ(1))^2=φ(φ(1),φ(1,φ(1)))=φ(φ(1,0),φ(1,φ(1,0),0))
+\(φ(1,φ(1)+1)=φ(φ(1)+1,0)=φ(φ(1,1),0,0)\)
-φ(1,φ(1)+1)=φ(φ(1)+1,0)=φ(φ(1,1),0,0)
+\(φ(1,φ(1)+2)=φ(φ(1)+2,0)=φ(φ(1,2),0,0)\)
-φ(1,φ(1)+2)=φ(φ(1)+2,0)=φ(φ(1,2),0,0)
+\(φ(1,φ(1)\cdot2)=φ(φ(1)\cdot2,0)=φ(φ(1,φ(1,0)),0,0)\)
-φ(1,φ(1)*2)=φ(φ(1)*2,0)=φ(φ(1,φ(1,0)),0,0)
+\(φ(1,φ(1)^{2})=φ(φ(2),0)=φ(φ(2,0),0,0)\)
-φ(1,φ(1)^2)=φ(φ(2),0)=φ(φ(2,0),0,0)
+\(φ(1,φ(1)^{3})=φ(φ(3),0)=φ(φ(3,0),0,0)\)
-φ(1,φ(1)^3)=φ(φ(3),0)=φ(φ(3,0),0,0)
+\(φ(1,φ(1)^{φ(1)})=φ(φ(φ(1)),0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0)\)
-φ(1,φ(1)^φ(1))=φ(φ(φ(1)),0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0)
+\(φ(1,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0)=φ(φ(1,0,0),0,0)\)
-φ(1,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0)=φ(φ(1,0,0),0,0)
+\(φ(1,φ(1,0)+1)=φ(φ(1,0)+1,0)=φ(φ(1,0,1),0,0)\)
-φ(1,φ(1,0)+1)=φ(φ(1,0)+1,0)=φ(φ(1,0,1),0,0)
+\(φ(1,φ(1,0)\cdotφ(1))=φ(φ(1,1),0)=φ(φ(1,1,0),0,0)\)
-φ(1,φ(1,0)*φ(1))=φ(φ(1,1),0)=φ(φ(1,1,0),0,0)
+\(φ(1,φ(1,0)^{φ(1)})=φ(φ(1,φ(1,1)),0)=φ(φ(1,φ(1,1,0),0),0,0)\)
-φ(1,φ(1,0)^φ(1))=φ(φ(1,φ(1,1)),0)=φ(φ(1,φ(1,1,0),0),0,0)
+\(φ(1,φ(1,1))=φ(φ(2,0),0)=φ(φ(2,0,0),0,0)\)
-φ(1,φ(1,1))=φ(φ(2,0),0)=φ(φ(2,0,0),0,0)
+\(φ(1,φ(1,φ(1)))=φ(φ(φ(1),0),0)=φ(φ(φ(1,0),0,0),0,0)\)
-φ(1,φ(1,φ(1)))=φ(φ(φ(1),0),0)=φ(φ(φ(1,0),0,0),0,0)
+\(φ(1,φ(1,φ(1,0)))=φ(φ(φ(1,0),0),0)=φ(φ(φ(1,0,0),0,0),0,0)\)
-φ(1,φ(1,φ(1,0)))=φ(φ(φ(1,0),0),0)=φ(φ(φ(1,0,0),0,0),0,0)
+\(φ(2,0)=φ(1,0,0)=φ(1,0,0,0)=\) '''[[CO|ζ<sub>0</sub>]]'''
-φ(2,0)=φ(1,0,0)=φ(1,0,0,0)='''[[CO]](ζ0)'''
+\(φ(1,φ(2,0)+1)=φ(φ(1,0,0),0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0)\)
-φ(1,φ(2,0)+1)=φ(φ(1,0,0),0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0)
+\(φ(1,φ(2,0)+φ(1))=φ(φ(1,0,0)+φ(1),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,0)),0,0)\)
-φ(1,φ(2,0)+φ(1))=φ(φ(1,0,0)+φ(1),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,0)),0,0)
+\(φ(1,φ(2,0)+φ(1,0))=φ(φ(1,0,0)+φ(1,0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,0,0)),0,0)\)
-φ(1,φ(2,0)+φ(1,0))=φ(φ(1,0,0)+φ(1,0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,0,0)),0,0)
+\(φ(1,φ(2,0)+φ(1,0)\cdotφ(1))=φ(φ(1,0,0)+φ(1,1),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,1,0)),0,0)\)
-φ(1,φ(2,0)+φ(1,0)*φ(1))=φ(φ(1,0,0)+φ(1,1),0)=φ(φ(1,0,0,φ(1,1,0)),0,0)
+\(φ(1,φ(2,0)+φ(1,1))=φ(φ(1,0,0)+φ(2,0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(2,0,0)),0,0)\)
-φ(1,φ(2,0)+φ(1,1))=φ(φ(1,0,0)+φ(2,0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(2,0,0)),0,0)
+\(φ(1,φ(2,0)+φ(1,φ(1,0)))=φ(φ(1,0,0)+φ(φ(1,0),0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(φ(1,0,0),0,0)),0,0))\)
-φ(1,φ(2,0)+φ(1,φ(1,0)))=φ(φ(1,0,0)+φ(φ(1,0),0),0)=φ(φ(1,0,0,φ(φ(1,0,0),0,0)),0,0))
+\(φ(1,φ(2,0)\cdot2)=φ(φ(1,0,0)\cdot2,0)=φ(φ(1,0,1,0),0,0)\)
-φ(1,φ(2,0)*2)=φ(φ(1,0,0)*2,0)=φ(φ(1,0,1,0),0,0)
+\(φ(1,φ(2,0)\cdotφ(1))=φ(φ(1,1,0),0)=φ(φ(1,0,φ(1,0),0),0,0)\)
-φ(1,φ(2,0)*φ(1))=φ(φ(1,1,0),0)=φ(φ(1,0,φ(1,0),0),0,0)
+\(φ(1,φ(2,0)^{2})=φ(φ(1,0,φ(1,0,0)),0)=φ(φ(1,0,φ(1,0,0,0),0),0,0)\)
-φ(1,φ(2,0)^2)=φ(φ(1,0,φ(1,0,0)),0)=φ(φ(1,0,φ(1,0,0,0),0),0,0)
+\(φ(1,φ(1,φ(2,0)+1))=φ(φ(φ(1,0,0),0),0)=φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0),0,0)\)
-φ(1,φ(1,φ(2,0)+1))=φ(φ(φ(1,0,0),0),0)=φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0),0,0)
+\(φ(1,φ(1,φ(1,φ(2,0)+1)))=φ(φ(φ(φ(1,0,0),0),0),0)=φ(φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0),0,0),0,0)\)
-φ(1,φ(1,φ(1,φ(2,0)+1)))=φ(φ(φ(φ(1,0,0),0),0),0)=φ(φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0),0,0),0,0)
+\(φ(2,1)=φ(2,0,0)=φ(2,0,0,0)\)
-φ(2,1)=φ(2,0,0)=φ(2,0,0,0)
+\(φ(1,φ(2,1)+1)=φ(φ(2,0,0),0)=φ(φ(2,0,0,0),0,0)\)
-φ(1,φ(2,1)+1)=φ(φ(2,0,0),0)=φ(φ(2,0,0,0),0,0)
+\(φ(1,φ(1,φ(2,1)+1))=φ(φ(φ(2,0,0),0),0)=φ(φ(φ(2,0,0,0),0,0),0,0)\)
-φ(1,φ(1,φ(2,1)+1))=φ(φ(φ(2,0,0),0),0)=φ(φ(φ(2,0,0,0),0,0),0,0)
+\(φ(2,2)=φ(3,0,0)=φ(3,0,0,0)\)
-φ(2,2)=φ(3,0,0)=φ(3,0,0,0)
+\(φ(2,φ(1))=φ(φ(1),0,0)=φ(φ(1,0),0,0,0)\)
-φ(2,φ(1))=φ(φ(1),0,0)=φ(φ(1,0),0,0,0)
+\(φ(2,φ(1)\cdot2)=φ(φ(1)\cdot2,0,0)=φ(φ(1,φ(1,0)),0,0,0)\)
-φ(2,φ(1)*2)=φ(φ(1)*2,0,0)=φ(φ(1,φ(1,0)),0,0,0)
+\(φ(2,φ(2))=φ(φ(2),0,0)=φ(φ(2,0),0,0,0)\)
-φ(2,φ(2))=φ(φ(2),0,0)=φ(φ(2,0),0,0,0)
+\(φ(2,φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)),0,0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0,0)\)
-φ(2,φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)),0,0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0,0)
+\(φ(2,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0,0)=φ(φ(1,0,0),0,0,0)\)
-φ(2,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0,0)=φ(φ(1,0,0),0,0,0)
+\(φ(2,φ(1,1))=φ(φ(2,0),0,0)=φ(φ(2,0,0),0,0,0)\)
-φ(2,φ(1,1))=φ(φ(2,0),0,0)=φ(φ(2,0,0),0,0,0)
+\(φ(2,φ(1,φ(1)))=φ(φ(φ(1),0),0,0)=φ(φ(φ(1,0),0,0),0,0,0)\)
-φ(2,φ(1,φ(1)))=φ(φ(φ(1),0),0,0)=φ(φ(φ(1,0),0,0),0,0,0)
+\(φ(2,φ(2,0))=φ(φ(1,0,0),0,0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)\)
-φ(2,φ(2,0))=φ(φ(1,0,0),0,0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)
+\(φ(2,φ(2,φ(2,0)))=φ(φ(φ(1,0,0),0,0),0,0)=φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0,0),0,0,0)\)
-φ(2,φ(2,φ(2,0)))=φ(φ(φ(1,0,0),0,0),0,0)=φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0,0),0,0,0)
+\(φ(3,0)=φ(1,0,0,0)=φ(1,0,0,0,0)=\) '''[[LCO|η<sub>0</sub>]]'''
-φ(3,0)=φ(1,0,0,0)=φ(1,0,0,0,0)='''[[LCO]](η0)'''
+\(φ(1,φ(3,0)+1)=φ(φ(1,0,0,0),0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0)\)
-φ(1,φ(3,0)+1)=φ(φ(1,0,0,0),0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0)
+\(φ(2,φ(3,0)+1)=φ(φ(1,0,0,0),0,0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0,0)\)
-φ(2,φ(3,0)+1)=φ(φ(1,0,0,0),0,0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0,0)
+\(φ(3,1)=φ(2,0,0,0)=φ(2,0,0,0,0)\)
-φ(3,1)=φ(2,0,0,0)=φ(2,0,0,0,0)
+\(φ(3,φ(1))=φ(φ(1),0,0,0)=φ(φ(1,0),0,0,0,0)\)
-φ(3,φ(1))=φ(φ(1),0,0,0)=φ(φ(1,0),0,0,0,0)
+\(φ(3,φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)),0,0,0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0,0,0)\)
-φ(3,φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1)),0,0,0)=φ(φ(φ(1,0),0),0,0,0,0)
+\(φ(3,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0),0,0,0,0)\)
-φ(3,φ(1,0))=φ(φ(1,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0),0,0,0,0)
+\(φ(3,φ(2,0))=φ(φ(1,0,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0,0)\)
-φ(3,φ(2,0))=φ(φ(1,0,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0,0)
+\(φ(3,φ(3,0))=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0,0,0)\)
-φ(3,φ(3,0))=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)=φ(φ(1,0,0,0,0),0,0,0,0)
+\(φ(4,0)=φ(1,0,0,0,0)=φ(1,0,0,0,0,0)\)
-φ(4,0)=φ(1,0,0,0,0)=φ(1,0,0,0,0,0)
+\(φ(φ(1),0)=φ(1@φ(1))=φ(1@φ(1,0))=\) '''[[HCO]]'''
-φ(φ(1),0)=φ(1@φ(1))=φ(1@φ(1,0))='''[[HCO]]'''
+\(φ(1,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0)\)
-φ(1,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0)
+\(φ(2,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0,0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0,0)\)
-φ(2,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0,0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0,0)
+\(φ(3,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0,0,0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0,0,0)\)
-φ(3,φ(φ(1),0)+1)=φ(φ(1@φ(1)),0,0,0)=φ(φ(1@φ(1,0)),0,0,0,0)
+\(φ(φ(1),1)=φ(2@φ(1))=φ(2@φ(1,0))\)
-φ(φ(1),1)=φ(2@φ(1))=φ(2@φ(1,0))
+\(φ(1,φ(φ(1),1)+1)=φ(φ(2@φ(1)),0)=φ(φ(2@φ(1,0)),0,0)\)
-φ(1,φ(φ(1),1)+1)=φ(φ(2@φ(1)),0)=φ(φ(2@φ(1,0)),0,0)
+\(φ(φ(1),2)=φ(3@φ(1))=φ(3@φ(1,0))\)
-φ(φ(1),2)=φ(3@φ(1))=φ(3@φ(1,0))
+\(φ(φ(1),φ(1))=φ(φ(1)@φ(1))=φ(φ(1,0)@φ(1,0))\)
-φ(φ(1),φ(1))=φ(φ(1)@φ(1))=φ(φ(1,0)@φ(1,0))
+\(φ(φ(1),φ(1)\cdot2)=φ(φ(1)\cdot2@φ(1))=φ(φ(1,0)\cdot2@φ(1,0))\)
-φ(φ(1),φ(1)*2)=φ(φ(1)*2@φ(1))=φ(φ(1,0)*2@φ(1,0))
+\(φ(φ(1),φ(2))=φ(φ(2)@φ(1))=φ(φ(2,0)@φ(1,0))\)
-φ(φ(1),φ(2))=φ(φ(2)@φ(1))=φ(φ(2,0)@φ(1,0))
+\(φ(φ(1),φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1))@φ(1))=φ(φ(φ(1,0),0)@φ(1,0))\)
-φ(φ(1),φ(φ(1)))=φ(φ(φ(1))@φ(1))=φ(φ(φ(1,0),0)@φ(1,0))
+\(φ(φ(1),φ(1,0))=φ(φ(1,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0)@φ(1,0))\)
-φ(φ(1),φ(1,0))=φ(φ(1,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0)@φ(1,0))
+\(φ(φ(1),φ(2,0))=φ(φ(1,0,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0,0)@φ(1,0))\)
-φ(φ(1),φ(2,0))=φ(φ(1,0,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0,0)@φ(1,0))
+\(φ(φ(1),φ(3,0))=φ(φ(1,0,0,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0,0,0)@φ(1,0))\)
-φ(φ(1),φ(3,0))=φ(φ(1,0,0,0)@φ(1))=φ(φ(1,0,0,0,0)@φ(1,0))
+\(φ(φ(1),φ(φ(1),0))=φ(φ(1@φ(1))@φ(1))=φ(φ(1@φ(1,0))@φ(1,0))\)
-φ(φ(1),φ(φ(1),0))=φ(φ(1@φ(1))@φ(1))=φ(φ(1@φ(1,0))@φ(1,0))
+\(φ(φ(1)+1,0)=φ(1@φ(1)+1)=φ(1@φ(1,1))\)
-φ(φ(1)+1,0)=φ(1@φ(1)+1)=φ(1@φ(1,1))
+\(φ(φ(1)+1,φ(φ(1)+1,0))=φ(φ(1@φ(1)+1)@φ(1)+1)=φ(φ(1@φ(1,1))@φ(1,1))\)
-φ(φ(1)+1,φ(φ(1)+1,0))=φ(φ(1@φ(1)+1)@φ(1)+1)=φ(φ(1@φ(1,1))@φ(1,1))
+\(φ(φ(1)+2,0)=φ(1@φ(1)+2)=φ(1@φ(1,2))\)
-φ(φ(1)+2,0)=φ(1@φ(1)+2)=φ(1@φ(1,2))
+\(φ(φ(1)\cdot2,0)=φ(1@φ(1)\cdot2)=φ(1@φ(1,φ(1)))\)
-φ(φ(1)*2,0)=φ(1@φ(1)*2)=φ(1@φ(1,φ(1)))
+\(φ(φ(1)\cdot3,0)=φ(1@φ(1)\cdot3)=φ(1@φ(1,φ(1,φ(1,0))))\)
-φ(φ(1)*3,0)=φ(1@φ(1)*3)=φ(1@φ(1,φ(1,φ(1,0))))
+\(φ(φ(2),0)=φ(1@φ(2))=φ(1@φ(2,0))\)
-φ(φ(2),0)=φ(1@φ(2))=φ(1@φ(2,0))
+\(φ(φ(φ(1)),0)=φ(1@φ(φ(1)))=φ(1@φ(φ(1,0),0))\)
-φ(φ(φ(1)),0)=φ(1@φ(φ(1)))=φ(1@φ(φ(1,0),0))
+\(φ(φ(1,0),0)=φ(1@φ(1,0))=φ(1@φ(1,0,0))\)
-φ(φ(1,0),0)=φ(1@φ(1,0))=φ(1@φ(1,0,0))
+\(φ(φ(2,0),0)=φ(1@φ(1,0,0))=φ(1@φ(1,0,0,0))\)
-φ(φ(2,0),0)=φ(1@φ(1,0,0))=φ(1@φ(1,0,0,0))
+\(φ(φ(3,0),0)=φ(1@φ(1,0,0,0))=φ(1@φ(1,0,0,0,0))\)
-φ(φ(3,0),0)=φ(1@φ(1,0,0,0))=φ(1@φ(1,0,0,0,0))
+\(φ(φ(φ(1),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1)))=φ(1@φ(1@φ(1,0)))\)
-φ(φ(φ(1),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1)))=φ(1@φ(1@φ(1,0)))
+\(φ(φ(φ(1,0),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1,0)))=φ(1@φ(1@φ(1,0,0)))\)
-φ(φ(φ(1,0),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1,0)))=φ(1@φ(1@φ(1,0,0)))
+\(φ(φ(φ(2,0),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1,0,0)))=φ(1@φ(1@φ(1,0,0,0)))\)
-φ(φ(φ(2,0),0),0)=φ(1@φ(1@φ(1,0,0)))=φ(1@φ(1@φ(1,0,0,0)))
+\(φ(1,0,0)=φ(1@(1,0))=φ(1@(1,0))=\) '''[[FSO]]'''
-φ(1,0,0)=φ(1@(1,0))=φ(1@(1,0))='''[[FSO]]'''
+\(φ(1,φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0)),0)=φ(φ(1@(1,0)),0,0)\)
-φ(1,φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0)),0)=φ(φ(1@(1,0)),0,0)
+\(φ(2,φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0)),0,0)=φ(φ(1@(1,0)),0,0,0)\)
-φ(2,φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0)),0,0)=φ(φ(1@(1,0)),0,0,0)
+\(φ(φ(1),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0))\)
-φ(φ(1),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0))
+\(φ(φ(1,0),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0))\)
-φ(φ(1,0),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0))
+\(φ(φ(2,0),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0,0))\)
-φ(φ(2,0),φ(1,0,0)+1)=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0,0,0))
+\(φ(φ(1,0,0),1)=φ(2@φ(1@(1,0)))=φ(2@φ(1@(1,0)))\)
-φ(φ(1,0,0),1)=φ(2@φ(1@(1,0)))=φ(2@φ(1@(1,0)))
+\(φ(φ(1,0,0),2)=φ(3@φ(1@(1,0)))=φ(3@φ(1@(1,0)))\)
-φ(φ(1,0,0),2)=φ(3@φ(1@(1,0)))=φ(3@φ(1@(1,0)))
+\(φ(φ(1,0,0),φ(1))=φ(φ(1)@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1,0)@φ(1@(1,0)))\)
-φ(φ(1,0,0),φ(1))=φ(φ(1)@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1,0)@φ(1@(1,0)))
+\(φ(φ(1,0,0),φ(1,0))=φ(φ(1,0)@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1,0,0)@φ(1@(1,0)))\)
-φ(φ(1,0,0),φ(1,0))=φ(φ(1,0)@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1,0,0)@φ(1@(1,0)))
+\(φ(φ(1,0,0),φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1@(1,0)))\)
-φ(φ(1,0,0),φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1@(1,0)))=φ(φ(1@(1,0))@φ(1@(1,0)))
+\(φ(φ(1,0,0)+1,0)=φ(1@φ(1@(1,0))+1)=φ(1@φ(1@(1,0),1@0))\)
-φ(φ(1,0,0)+1,0)=φ(1@φ(1@(1,0))+1)=φ(1@φ(1@(1,0),1@0))
+\(φ(φ(1,0,0)+φ(1),0)=φ(1@φ(1@(1,0))+φ(1))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1,0)@0))\)
-φ(φ(1,0,0)+φ(1),0)=φ(1@φ(1@(1,0))+φ(1))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1,0)@0))
+\(φ(φ(1,0,0)+φ(1,0),0)=φ(1@φ(1@(1,0))+φ(1,0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1,0,0)@0))\)
-φ(φ(1,0,0)+φ(1,0),0)=φ(1@φ(1@(1,0))+φ(1,0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1,0,0)@0))
+\(φ(φ(1,0,0)\cdot2,0)=φ(1@φ(1@(1,0))\cdot2)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))\)
-φ(φ(1,0,0)*2,0)=φ(1@φ(1@(1,0))*2)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))
+\(φ(φ(1,0,0)\cdotφ(1),0)=φ(1@φ(1@(1,0),1@0))=φ(1@φ(1@(1,0),1@1))\)
-φ(φ(1,0,0)*φ(1),0)=φ(1@φ(1@(1,0),1@0))=φ(1@φ(1@(1,0),1@1))
+\(φ(φ(1,0,0)^{2},0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))\)
-φ(φ(1,0,0)^2,0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0))
+\(φ(φ(1,0,0)^{φ(1)},0)=φ(1@φ(1,φ(1@(1,0),1@0),0))=φ(1@φ(1,φ(1@(1,0),1@1),0))\)
-φ(φ(1,0,0)^φ(1),0)=φ(1@φ(1,φ(1@(1,0),1@0),0))=φ(1@φ(1,φ(1@(1,0),1@1),0))
+\(φ(φ(1,0,0)^{φ(1,0)},0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1,0)@0)@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1,0)@0)@0))\)
-φ(φ(1,0,0)^φ(1,0),0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1,0)@0)@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1,0)@0)@0))
+\(φ(φ(1,0,0)^{φ(1,0,0)},0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0)@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0)@0))\)
-φ(φ(1,0,0)^φ(1,0,0),0)=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0)@0))=φ(1@φ(1@(1,0),φ(1@(1,0),φ(1@(1,0))@0)@0))
+\(φ(φ(1,φ(1,0,0)+1),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0)),0))=φ(1@φ(φ(1@(1,0)),0,0))\)
-φ(φ(1,φ(1,0,0)+1),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0)),0))=φ(1@φ(φ(1@(1,0)),0,0))
+\(φ(φ(1,φ(1,0,0)+φ(1)),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0))+φ(1),0))=φ(1@φ(φ(1@(1,0))+φ(1,0),0))\)
-φ(φ(1,φ(1,0,0)+φ(1)),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0))+φ(1),0))=φ(1@φ(φ(1@(1,0))+φ(1,0),0))
+\(φ(φ(φ(1),φ(1,0,0)+1),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0))@φ(1)))=φ(1@φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0)))\)
-φ(φ(φ(1),φ(1,0,0)+1),0)=φ(1@φ(φ(1@(1,0))@φ(1)))=φ(1@φ(φ(1@(1,0))@φ(1,0)))
+\(φ(1,0,1)=φ(1@(1,1))=φ(1@(1,1))\)
-φ(1,0,1)=φ(1@(1,1))=φ(1@(1,1))
+\(φ(1,0,2)=φ(2@(1,1))=φ(2@(1,1))\)
-φ(1,0,2)=φ(2@(1,1))=φ(2@(1,1))
+\(φ(1,0,φ(1))=φ(φ(1)@(1,1))=φ(φ(1,0)@(1,1))\)
-φ(1,0,φ(1))=φ(φ(1)@(1,1))=φ(φ(1,0)@(1,1))
+\(φ(1,0,φ(1,0))=φ(φ(1,0)@(1,1))=φ(φ(1,0,0)@(1,1))\)
-φ(1,0,φ(1,0))=φ(φ(1,0)@(1,1))=φ(φ(1,0,0)@(1,1))
+\(φ(1,0,φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@(1,1))=φ(φ(1@(1,0))@(1,1))\)
-φ(1,0,φ(1,0,0))=φ(φ(1@(1,0))@(1,1))=φ(φ(1@(1,0))@(1,1))
+\(φ(1,1,0)=φ(1@(1,1))=φ(1@(1,1))\)
-φ(1,1,0)=φ(1@(1,1))=φ(1@(1,1))
+\(φ(1,1,φ(1,1,0))=φ(φ(1@(1,1))@(1,1))=φ(φ(1@(1,1))@(1,1))\)
-φ(1,1,φ(1,1,0))=φ(φ(1@(1,1))@(1,1))=φ(φ(1@(1,1))@(1,1))
+\(φ(1,2,0)=φ(1@(1,2))=φ(1@(1,2))\)
-φ(1,2,0)=φ(1@(1,2))=φ(1@(1,2))
+\(φ(1,φ(1),0)=φ(1@(1,φ(1)))=φ(1@(1,φ(1,0)))\)
-φ(1,φ(1),0)=φ(1@(1,φ(1)))=φ(1@(1,φ(1,0)))
+\(φ(1,φ(1,0),0)=φ(1@(1,φ(1,0)))=φ(1@(1,φ(1,0,0)))\)
-φ(1,φ(1,0),0)=φ(1@(1,φ(1,0)))=φ(1@(1,φ(1,0,0)))
+\(φ(1,φ(1,0,0),0)=φ(1@(1,φ(1@(1,0))))=φ(1@(1,φ(1@(1,0))))\)
-φ(1,φ(1,0,0),0)=φ(1@(1,φ(1@(1,0))))=φ(1@(1,φ(1@(1,0))))
+\(φ(2,0,0)=φ(1@(2,0))=φ(1@(2,0))\)
-φ(2,0,0)=φ(1@(2,0))=φ(1@(2,0))
+\(φ(2,0,1)=φ(2@(2,0))=φ(2@(2,0))\)
-φ(2,0,1)=φ(2@(2,0))=φ(2@(2,0))
+\(φ(2,1,0)=φ(1@(2,1))=φ(1@(2,1))\)
-φ(2,1,0)=φ(1@(2,1))=φ(1@(2,1))
+\(φ(2,φ(2,0,0),0)=φ(1@(2,φ(1@(2,0))))=φ(1@(2,φ(1@(2,0))))\)
-φ(2,φ(2,0,0),0)=φ(1@(2,φ(1@(2,0))))=φ(1@(2,φ(1@(2,0))))
+\(φ(3,0,0)=φ(1@(3,0))=φ(1@(3,0))\)
-φ(3,0,0)=φ(1@(3,0))=φ(1@(3,0))
+\(φ(φ(1),0,0)=φ(1@(φ(1),0))=φ(1@(φ(1,0),0))\)
-φ(φ(1),0,0)=φ(1@(φ(1),0))=φ(1@(φ(1,0),0))
+\(φ(φ(1,0),0,0)=φ(1@(φ(1,0),0))=φ(1@(φ(1,0,0),0))\)
-φ(φ(1,0),0,0)=φ(1@(φ(1,0),0))=φ(1@(φ(1,0,0),0))
+\(φ(φ(1,0,0),0,0)=φ(1@(φ(1@(1,0)),0))=φ(1@(φ(1@(1,0)),0))\)
-φ(φ(1,0,0),0,0)=φ(1@(φ(1@(1,0)),0))=φ(1@(φ(1@(1,0)),0))
+\(φ(1,0,0,0)=φ(1@(1,0,0))=φ(1@(1,0,0))\)
-φ(1,0,0,0)=φ(1@(1,0,0))=φ(1@(1,0,0))
+\(φ(1,0,0,1)=φ(2@(1,0,0))=φ(2@(1,0,0))\)
-φ(1,0,0,1)=φ(2@(1,0,0))=φ(2@(1,0,0))
+\(φ(1,0,1,0)=φ(1@(1,0,1))=φ(1@(1,0,1))\)
-φ(1,0,1,0)=φ(1@(1,0,1))=φ(1@(1,0,1))
+\(φ(1,1,0,0)=φ(1@(1,1,0))=φ(1@(1,1,0))\)
-φ(1,1,0,0)=φ(1@(1,1,0))=φ(1@(1,1,0))
+\(φ(2,0,0,0)=φ(1@(2,0,0))=φ(1@(2,0,0))\)
-φ(2,0,0,0)=φ(1@(2,0,0))=φ(1@(2,0,0))
+\(φ(φ(1),0,0,0)=φ(1@(φ(1),0,0))=φ(1@(φ(1,0),0,0))\)
-φ(φ(1),0,0,0)=φ(1@(φ(1),0,0))=φ(1@(φ(1,0),0,0))
+\(φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)=φ(1@(φ(1@(1,0,0)),0,0))=φ(1@(φ(1@(1,0,0)),0,0))\)
-φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)=φ(1@(φ(1@(1,0,0)),0,0))=φ(1@(φ(1@(1,0,0)),0,0))
+\(φ(1,0,0,0,0)=φ(1@(1,0,0,0))=φ(1@(1,0,0,0))\)
-φ(1,0,0,0,0)=φ(1@(1,0,0,0))=φ(1@(1,0,0,0))
+\(φ(1,0,0,0,0,0)=φ(1@(1,0,0,0,0))=φ(1@(1,0,0,0,0))\)
-φ(1,0,0,0,0,0)=φ(1@(1,0,0,0,0))=φ(1@(1,0,0,0,0))
+\(φ(1,1,4,5,1,4)=φ(5@(1,1,4,5,1))=φ(5@(1,1,4,5,1))\)
-φ(1,1,4,5,1,4)=φ(5@(1,1,4,5,1))=φ(5@(1,1,4,5,1))
+\(φ(1@φ(1))=φ(1@(1@φ(1)))=φ(1@(1@φ(1,0)))=\) '''[[SVO]]'''
-φ(1@φ(1))=φ(1@(1@φ(1)))=φ(1@(1@φ(1,0)))='''[[SVO]]'''
+\(φ(1,φ(1@φ(1))+1)=φ(1@(1@φ(1)),1@1)=φ(1@(1@φ(1,0)),1@2)\)
-φ(1,φ(1@φ(1))+1)=φ(1@(1@φ(1)),1@1)=φ(1@(1@φ(1,0)),1@2)
+\(φ(1@φ(1),1@0)=φ(2@(1@φ(1)))=φ(2@(1@φ(1,0)))\)
-φ(1@φ(1),1@0)=φ(2@(1@φ(1)))=φ(2@(1@φ(1,0)))
+\(φ(1@φ(1),1@1)=φ(1@(1@φ(1),1@0))=φ(1@(1@φ(1,0),1@0))\)
-φ(1@φ(1),1@1)=φ(1@(1@φ(1),1@0))=φ(1@(1@φ(1,0),1@0))
+\(φ(1@φ(1),1@2)=φ(1@(1@φ(1),1@1))=φ(1@(1@φ(1,0),1@1))\)
-φ(1@φ(1),1@2)=φ(1@(1@φ(1),1@1))=φ(1@(1@φ(1,0),1@1))
+\(φ(2@φ(1))=φ(1@(2@φ(1)))=φ(1@(2@φ(1,0)))\)
-φ(2@φ(1))=φ(1@(2@φ(1)))=φ(1@(2@φ(1,0)))
+\(φ(φ(1)@φ(1))=φ(1@(φ(1)@φ(1)))=φ(1@(φ(1,0)@φ(1,0)))\)
-φ(φ(1)@φ(1))=φ(1@(φ(1)@φ(1)))=φ(1@(φ(1,0)@φ(1,0)))
+\(φ(1@φ(1)+1)=φ(1@(1@φ(1)+1))=φ(1@(1@φ(1,1)))\)
-φ(1@φ(1)+1)=φ(1@(1@φ(1)+1))=φ(1@(1@φ(1,1)))
+\(φ(1@φ(1)\cdot2)=φ(1@(1@φ(1)\cdot2))=φ(1@(1@φ(1,φ(1,0))))\)
-φ(1@φ(1)*2)=φ(1@(1@φ(1)*2))=φ(1@(1@φ(1,φ(1,0))))
+\(φ(1@φ(2))=φ(1@(1@φ(2)))=φ(1@(1@φ(2,0)))\)
-φ(1@φ(2))=φ(1@(1@φ(2)))=φ(1@(1@φ(2,0)))
+\(φ(1@φ(1,0))=φ(1@(1@φ(1,0)))=φ(1@(1@φ(1,0,0)))\)
-φ(1@φ(1,0))=φ(1@(1@φ(1,0)))=φ(1@(1@φ(1,0,0)))
+\(φ(1@φ(2,0))=φ(1@(1@φ(1,0,0)))=φ(1@(1@φ(1,0,0,0)))\)
-φ(1@φ(2,0))=φ(1@(1@φ(1,0,0)))=φ(1@(1@φ(1,0,0,0)))
+\(φ(1@φ(1,0,0))=φ(1@(1@φ(1@(1,0))))=φ(1@(1@φ(1@(1,0))))\)
-φ(1@φ(1,0,0))=φ(1@(1@φ(1@(1,0))))=φ(1@(1@φ(1@(1,0))))
+\(φ(1@φ(1@φ(1)))=φ(1@(1@φ(1@(1@φ(1)))))=φ(1@(1@φ(1@(1@φ(1,0)))))=\) '''[[LVO]]'''
-φ(1@φ(1@φ(1)))=φ(1@(1@φ(1@(1@φ(1)))))=φ(1@(1@φ(1@(1@φ(1,0)))))='''[[LVO]]'''
+=== 历史 ===
+据信在 2024 年下旬及以前的 Weak Veblen 都是指的 <math>\times\omega\ \phi</math>，但在这之后 <math>\times\omega\ \phi</math> 的生态位快速被 <math>+1\ \phi</math> 所代替了，所以出现了一些较为混乱的局面。