PPS
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Parented Predecessor Sequence(PPS)是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是标记父项位置。
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。
2025年8月，PPS2被发现无穷降链。
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。
截止到2026年2月23日，目前可以确定大于以下序列的PPS存在无穷降链： 0,1,0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,6,2,0,15,0,38,38,15,0,38,15,0,45,45,13,8,6,0,0,38,15,0,55,55,13,0,59,59,53,15,0,59,59,53,0,68,68,0,71,68,0,74,74,72,0,78,74,72,0,82,82,81,0,82,82,81,0,81,0,92,92,81,0,92,92,79,72,68,0,81,0,104,104,81,0,104,81,0,111,111,79,74,72,0,0,104,81,0,121,121,79,0,125,125,119,81,0,125,125,119,0,134,134,0,137,134,0,140,140,138,0,144,140,138,0,148,148,147,0,148,148,147,0,147,0,158,158,147,0,158,158,145,138,134,0,147,0,170,170,147,0,170,147,0,177,177,145,140,138,0,0,170,147,0,187,187,145,0,191,191,185,147,0,191,191,185,0,200,200,0,203,200,0,206,206,204,0,210,206,204,0,214,214,213,0,214,214,213,0,213,0,224,224,213,0,224,224,211,204,200,0,213,0,236,236,213,0,236,213,0,243,243,211,206,204,0,0,236,213,0,253,253,211,0,257,257,251,213,0,257,257,251,0,266,266,0,269,266,0,272,272,270,0,276,272,270,0,280,280,279,0,280,280,279,0,279,0,290,290,279,0,290,290,277,270,266,0,279,0,302,302,279,0,302,279,0,309,309,277,272,270,0,0,302,279,0,319,319,277,0,323,323,317,279,0,323,323,317,0,332,332,0,335,332,0,338,338,336,0,342,338,336,0,346,346,345,0,346,346,345,0,345,0,356,356,345,0,356,356,343,336,332,0,345,0,368,368,345,0,368,345,0,375,375,343,338,336,0,0,368,345,0,385,385,343,0,389,389,383,345,0,389,389,383,...
对PPS无穷降链的寻找可使用自动果糕机进行辅助。
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了PRRS。
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号
定义
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x
展开：
1.如果末项是0，则它是后继序数
2.末项之前的部分保持不变
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i>x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项
分析
另见PPS分析
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。
地府段
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。
第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。
它们分别对应序数
和。
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。
第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，四百行扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能。
改版
PPM 1.2
Parented Predecessor Matrix 1,2
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)
LNZ：末列的最大非零行序号
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)
其他项展开：对任意的i>y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值
基本列[n]为展开到第y+nL-1项
PPM 2
Parented Predecessor Matrix 2
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)
LNZ：末列的最大非零行序号
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)
其他项展开：对任意的i>y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值
基本列[n]为展开到第y+nL-1项
PPM 3
Parented Predecessor Matrix 3
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)
LNZ：末列的最大非零行序号
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y
末列展开：{
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)
}
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”
其他项展开：对任意的i>y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值
基本列[n]为展开到第y+nL-1项