PPS

Parented Predecessor Sequence(PPS)是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是标记父项位置。

PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。

前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号

定义

极限表达式：0,1,2,3,4,5,...

坏根：第(末项的值)项；如果末项是0，则表示后继序数

对于一个序列表达式，记其末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b，末项的值为x、末项的列标为y

展开：

1.末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1

2.其他项：对任意的i>y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值

对于一个非后继的序列表达式，其基本列[n]为将其展开到第y+nL-1项。

分析

另见PPS分析

PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。

地府段

PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。

第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10

2025年7月22日，来自PCF

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。

它们分别对应序数 $ε_{ω^{ω^{ω^{ε_{0} + 1} \times 2}}}$

和 $ε_{ω^{ω^{ω^{ω^{ε_{ε_{0}} + 1}}}}}$ 。

几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。

第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，四百行扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。

截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能 $\geq ζ_{0}$ 。