用户:Abcdefg/Spatial‑Digit‑Hierarchy

Spatial‑Digit‑Hierarchy（中文：空间‑数码‑层级函数），简称 SDH(S,D,H)，是一个自创有限大数组合函数。 > 注意：本函数缩写SDH与通信领域的同步数字体系(SDH)重名，二者毫无关联。该函数用于描述多维网格的点位数量与方块摆放总方案数。它不是序数记号，不存在表达式展开改写的规则，所有输出结果均为有限正整数。

参数说明

$S$：空间维数，代表网格的维度，取正整数。
$D$：单轴内存字节数，决定每一根坐标轴可表示的坐标范围，取正整数。
$H$：模式参数，仅可取 $0$ 或 $1$。
- $H=0$**：输出多维网格的全部点位总个数。
- $H=1$**：输出网格内所有方块摆放的全部方案总数，每个格子仅有放方块、不放方块两种选择。

数学定义

解析失败 (语法错误): {\displaystyle \begin{align*} SDH(S,D,0)&\approx 2^S \times 10^{S\,(D-1)} \\ SDH(S,D,1)&=2^{\,SDH(S,D,0)} \end{align*} }

嵌套规则

函数的参数 $S$、$D$ 可以代入另一个SDH函数的输出结果，支持多层嵌套。因为SDH直接求值，没有表达式展开步骤，因此不会产生无穷降链。

示例

1. $SDH(3,1024,0)$：3维网格，单轴1024字节，输出网格点位总数。 2. $SDH(3,1024,1)$：同一个三维网格，输出全部方块摆放方案的总数量。 3. $SDH\big(SDH(1,1024,0),SDH(1,1024,0),1\big)$：将SDH输出作为外层的S与D参数，计算摆法总数。

增长性质

$SDH(S,D,0)$属于指数层级； $SDH(S,D,1)$属于二重指数层级。经过多层嵌套之后可以得到极大的有限自然数，但该函数的增长远弱于BMS、BLP这类Worm型序数记号。

参见