用户:Abcdefg

Spatial‑Digit‑Hierarchy（中文：空间‑数码‑层级函数），简称 SDH(S,D,H)，是一个自创有限大数组合函数。注意：本函数缩写SDH与通信领域的同步数字体系(SDH)重名，二者毫无关联。该函数用于计算多维网格内方块摆放的全部可行方案总数量。它不是序数记号，不存在表达式展开改写的规则，所有输出结果均为有限正整数。

参数说明

S：空间维数，代表网格的维度，取正整数。
D：单轴坐标点总数量。代表一根坐标轴上一共有多少个不同的坐标点，取正整数。
H：单个格子的状态总数量（包含空位置），取大于等于2的正整数。

参数通俗解释

D：D=1000，代表一根轴上总共有1000个坐标点。
S：S=2代表二维平面网格；S=3代表三维立体网格；S=1代表一条直线上的一串点。
H：每个格子拥有H种不同选择。例如H=2，就是两种状态：空、放置方块；H=5代表每个格子可以为空、方块A、方块B、方块C、方块D，一共五种状态。

数学定义

S维网格，每一根坐标轴拥有D个坐标点。网格全部点位的总数量记作 M：

M = D^S

SDH(S,D,H) = H^M

>文字解释：M代表网格里面全部格子的总个数；H是每一个格子可以选取的状态数目。把每个格子的全部状态做组合，得到所有摆放方案的总数。

嵌套规则

函数的 S、D、H 这三个参数位置，都可以代入另一个SDH函数计算出来的结果，支持多层嵌套。因为SDH直接算出具体的数值，没有表达式展开化简的步骤，因此不会产生无穷降链。

示例

SDH(2,1000,2)：二维网格，每根轴有1000个坐标点，每个格子2种状态，计算全部摆放方案总数。
SDH(3,500,5)：三维网格，每根轴有500个坐标点，每个格子共有5种不同状态，计算摆放方案总数。
SDH( SDH(2,100,2), 100, 3 )：将内层SDH的输出结果作为外层的S参数，进行嵌套计算。

增长性质

SDH(S,D,H)本身属于指数‑二重指数层级。经过多层嵌套之后可以得到极大的有限自然数，但该函数的增长远弱于BLP这类Worm型序数记号。

参见