BHO

BHO（Bachmann-Howard Ordinal，巴克曼－霍华德序数），是一个重要的序数。它被认为是具有“里程碑”意义的一个序数。

BHO

记号	表达式
Veblen 函数	\(\varphi(1@(1@(\cdots)))=\varphi(\min\;\alpha\mapsto1@(\alpha)\;\text{Fixed Point})\)
BOCF	$\psi ({\mathrm{\Omega }}_2)=\psi ({\psi }_1({\psi }_1({\psi }_1(\cdots ))))$
MOCF	$\psi ({\psi }_1(0))=\psi ({\epsilon }_{\mathrm{\Omega }+1})=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{\cdots }}})$
BMS	$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)=(0,0)(1,1)(2,2)$
HPrSS	$1,4$
0-Y	$1,3,6$
Y序列	$1,2,4,7$
PSS Hydra	${\psi }_1^{\text{H}}({\psi }_2^{\text{H}}({\psi }_3^{\text{H}}(0))))$
Weak Veblen 函数	\(\varphi(1@(1@(\cdots)))=\varphi(\min\;\alpha\mapsto1@(\alpha)\;\text{Fixed Point})\)
BHM	$\left(\begin{array}{cccccccc}0& 1& 1& 1& 2& 1& 2& 3\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$
BSM	$\left(\begin{array}{ccccccc}0& 1& 2& 0& 1& 1& 2\end{array}\right)$
NOCF	$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Omega }}+{\mathrm{\Omega }}_{\omega })/\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Omega }}+{\mathrm{\Omega }}_{\psi (\mathrm{\Omega })})$
M记号	$\psi (\psi (M\times 2))$

性质

BHO 是 $\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$、$\mathrm{A}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\mathrm{-}}$、${\text{ID}}_1$ 与 KP 的证明论序数。

BHO 是 Weak Veblen 函数与 Veblen 函数的追平点。

极限在此处的记号

记号

MPF

带 / 的 BAN

Bird's H

Ω记号

Veblen 函数

Weak Veblen 函数