Σ1稳定序数

Σ1稳定序数是一个非递归记号。它是最初级的稳定序数。本条目介绍$\omega -\pi -{\mathrm{\Pi }}_0$之前的Σ1稳定链的结构讲解。

前排提示：请先阅读条目反射序数。

结构讲解

反射序数的进位模式

绝大多数读者应该在学习OCF 时第一次接触“折叠 (Collapsing) ”这个概念。在最基础的OCF中，我们以 ${\omega }_n^{\text{CK}}={\mathrm{\Omega }}_n$作为折叠用的序数。

递归序数与非递归序数的差距，是我们对“折叠”最直观的感受——一个序数想要“折叠”它下方的序数，前提应该是：它下方的一系列序数如何递归运算都达不到它本身。

比如， Ω 是 ω 作任何递归运算都无法得到的序数，任何的 ${\omega }^{\omega },{\epsilon }_0,\mathrm{B}\mathrm{O},\mathrm{\psi }\mathrm{(}{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{I}}\mathrm{(}\mathrm{0}\mathrm{)}\mathrm{)}$… 都小于Ω。

再往上，“递归运算”好像也需要被加强。 M 看起来像是从 Ω 出发如何取容许点都得不到的序数， K 是如何取${\mathrm{\Pi }}_2\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}$ 都得不到的序数……

有没有什么方式，能够系统性地总结这些规律呢？

我们曾经用$(1-{)}^{1,0}$定义 $\alpha \to (1-{)}^{\alpha }$的不动点。现在，我们尝试一种新的记法： $(1-{)}^{\alpha }=(1-{)}^{1,0}$

在这种记法中，$(1-{)}^{\alpha }$被定义成：$(1-{)}^{\alpha }=\{\alpha |\mathrm{\forall }\beta <\alpha ,\alpha \in (1-{)}^{\beta }\}$

右边的集合定义了一个“真不动点”，也就是这样定义出来的$\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{\mathrm{\alpha }}$都是$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{\mathrm{1},\mathrm{0}}$ 。

这种记法定义出来的$(1-{)}^{\alpha }$为$\{{\epsilon }_0,{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots \}$ 。

再往上，我们还可以定义$(1-{)}^{\alpha +1}$ ：$(1-{)}^{\alpha +1}={\mathrm{\Pi }}_1\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}{\mathrm{)}}^{\mathrm{\alpha }}$

此处的$(1-{)}^{\alpha }$ 和上文的定义相同。这样的定义可以规避不存在 $\alpha ={\epsilon }_{\alpha +1}$的问题。

以此类推，我们有：$(1-{)}^{\alpha +n}=(1-{)}^n(1-{)}^{\alpha }$

然后定义$(1-{)}^{\alpha \times 2}$：$(1-{)}^{\alpha \times 2}=\{\alpha |\mathrm{\forall }\beta <\alpha ,\alpha \in 1-{)}^{\alpha +\beta }\}$

考虑$(1-{)}^{\alpha +n}$ ，

当 $n={\epsilon }_0$的时候， $(1-{)}^{\alpha +n}$ 实际上就是 ${\epsilon }_{{\epsilon }_0}$这一类序数；

当 $n={\epsilon }_{{\epsilon }_0}$的时候， $(1-{)}^{\alpha +n}$ 则是 ${\epsilon }_{{\epsilon }_{{\epsilon }_0}}$之类的序数。

以此类推， $(1-{)}^{\alpha \times 2}$实际上就是所有 ζ 序数的真类（真类一般是一个比集合更大的概念）。

同样地， $(1-{)}^{\alpha \times 3}$则是 $\eta$序数的真类，$(1-{)}^{\alpha \times \omega }$ 则是 $\phi (\omega ,n)$序数的真类。

继续，还可以定义 $(1-{)}^{{\alpha }^2},(1-{)}^{{\alpha }^{\alpha }},(1-{)}^{{\epsilon }_{\alpha +1}}\cdots$

细心的读者会发现，这里的α实际上与OCF中Ω的行为相当相似，$\alpha \times n$ 与 $\psi ({\mathrm{\Omega }}^n)$ 起到的作用相当。

我们常说${\mathrm{\Pi }}_2$折叠$(1-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots }$ ，也会说Ω折叠了$\psi (n)$，而这里的 $(1-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots }$和 $\psi (n)$都可以被$(1-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}$ 所代替，通过α更加复杂的递归运算，我们总能表示通过${\mathrm{\Pi }}_1$和onto 得到的一系列真类。

在$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{I+1})$等地方，我们使用 ${\mathrm{\Omega }}_{I+1}$来折叠 $I,I^I,I^{I^I},\cdots$等 I 的递归运算。这样的做法可以扩展到更大的各种非递归序数。

那么既然诸如 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$ 这样的α的非递归运算可以折叠α的递归运算，那么我们也可以用$(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$来表示一个折叠 ${\mathrm{\Pi }}_1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$的真类，即：${\mathrm{\Pi }}_2={\mathrm{\Pi }}_1\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}}}$

又称作：${\mathrm{\Pi }}_1$和${\mathrm{\Pi }}_2$之间的进位为迭代${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$次进位。

这种记法是一种服务于应用的记法，想要严谨化定义它需要相当复杂的集合论和数理逻辑知识，此处不多作介绍。

同样地，按照这种记法，能够有：

$21-2=(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}2$

$2-2=(21-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

这种记法巧妙地将“取容许点”等概念化作一个序数的递归运算，从而将各种“折叠方式”统一。

这样的事实也解释了为什么我们总是用${\psi }_I$折叠$\mathrm{\Phi }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$和${\psi }_M$折叠 $I(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$，而不选择用${\psi }_M$去折叠 $\mathrm{\Phi }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$：

因为 $\mathrm{\Phi }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$对应的刚好是 $(1-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}2$ ，那么折叠它的理应是 $21-2=(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}2$；$I(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$对应的刚好是 $(21-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}$ ，折叠它的理应是 $2-2=(21-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$。

以下是一些例子：

对于$21-(2-2)$，按照 PrSS方式展开，我们知道它是 $(1-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots }2-2$。这对应了 $(1-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}2-2$，故折叠它的是$(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}2-2$ ，这个式子就是 $21-(2-2)$ 。

对于$21-(21-{)}^{1,0}(2-2)$，按照PrSS方式展开，我们知道它是 $(1-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots }(21-{)}^{1,0}2-2$。这对应了 $(1-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}(21-{)}^{1,0}2-2$ ，故折叠它的是$(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}(21-{)}^{1,0}2-2$ ，这个式子就是 $21-(21-{)}^{1,0}(2-2)$ 。

对于$2-21-2-2$，按照PrSS方式展开，我们知道它是 $(21-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma \cdots }2-2$ 。这对应了$(21-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}2-2$ ，故折叠它的是 $(21-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}2-2$，这个式子就是 $2-21-2-2$ 。

在反射序数的更高阶段，仍然遵从${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$次进位：

$2-2-2=(2-21-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

$3=(2-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

$3-3=(32-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

$4=(3-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$……

一般地，只要是基于PrSS规则展开的反射序数表达式，都遵循迭代${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$次进位。

稳定序数的定义基础

走完反射序数的长路，我们就得到了 $\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$ 。如果我们对它进行一系列更强的迭代，就可以有：

${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$、${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{2}}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$、${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{3}}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }},\mathrm{\cdots }$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{\mathrm{4}}$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{\mathrm{\omega }}$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{\mathrm{1},\mathrm{0}}$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{\alpha }}}\mathrm{\cdots }$

然后我们得到 $(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}\mathrm{)}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{=}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}}}$。

通过一些特殊手段，我们还可以定义下标超过 ω的反射序数，比如：

${\mathrm{\Pi }}_{\omega +1}={\mathrm{\Pi }}_{\omega }\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}}}$

${\mathrm{\Pi }}_{\omega +2}={\mathrm{\Pi }}_{\omega +1}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}}}$

$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathrm{=}\sup \mathrm{\{}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{+}\mathrm{n}}\mathrm{|}\text{<mi fromhbox="1">n</mi>}\mathrm{\in }\mathrm{\omega }\mathrm{\}}$

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}}}$……

继续，我们还可以定义${\mathrm{\Pi }}_{{\omega }^{\omega }},{\mathrm{\Pi }}_{{\epsilon }_0},{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Omega }},{\mathrm{\Pi }}_I,{\mathrm{\Pi }}_{{\mathrm{\Pi }}_{\omega }},\cdots$ 一直到$\alpha \to {\mathrm{\Pi }}_{\alpha }={\mathrm{\Pi }}_{1,0}$ 。

不过，我们有一个更高效的方式，那就是稳定序数。

如果α是$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$反射序数，那么α 就是 α+1 稳定序数；

如果α是$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{2}}$反射序数，那么α就是α+2 稳定序数；

……

如果α是$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1},\mathrm{0}}$反射序数，那么α就是$\alpha \times 2$稳定序数。

稳定序数的 + 后面每后继一个序数，就对应了反射序数的ω个层级。这样的迭代简单而高效，且便于继续扩展。

把反射序数的各种迭代看做是Veblen 函数，那么稳定序数就像是OCF 。

现在，让我们看一看稳定序数是如何运作的吧。

定义：α是β稳定的（即α 是β稳定序数）

这是一个和α相关的命题，在数理逻辑意义上指的是 $L_{\alpha }{\prec }_1{L}_{\beta }$ （即 $L_{\alpha }$ 是 $L_{\beta }$ 的 ${\mathrm{\Sigma }}_1$初等子结构）。当然，现在我们不必在乎它在数理逻辑上有些什么意义。

“α是β稳定的”，这里的β需要是比α更大或者相等的一些序数，比如$\alpha +1$ 、 $\alpha \times 2$、 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$之类的。此时， β被称作α的稳定目标。

它是对 α的一个很强的约束。比如如果我们想要对着一个α说出：“你是 α+1 稳定的！”，那它至少得是一个${\mathrm{\Pi }}_{\omega }$ 反射序数才行。

如果我们想要把所有β稳定的序数全部召集起来，就需要用到“β稳定序数”的概念：

定义：β稳定序数

这是一个真类， 其中包含了全部是β稳定序数的 α。比如α+1 稳定序数，其中就包含了第一个 α+1 稳定序数（即 $\mathrm{1}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$），第二个 α+1 稳定序数（即 $\mathrm{2}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$ ）……

其用公式表示为：

$\lambda \alpha .(\beta )-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$或（在部分情况常用）：$\alpha \to \beta$.

$\lambda \alpha .(\alpha +1)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$指的就是 α+1 稳定序数，$\lambda \alpha .(\alpha \times 2)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$ 指的就是$\alpha \times 2$稳定序数。

一些习惯 作为一种约定俗成的习惯，我们常用$\lambda \alpha .(\beta )-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$这个式子本身来指代其中的第一个序数。比如 $\lambda \alpha .(\alpha +1)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$ 指代 $\mathrm{1}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{\lambda }\mathrm{\alpha }\mathrm{.}\mathrm{(}\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$ 。

有些时候，我们也会用 $\alpha \to \beta$来指代“α 是β稳定的”这个命题。

然后，我们就可以用稳定序数的表达式来写出上面扩展的一系列反射序数：

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{=}\mathrm{\lambda }\mathrm{\alpha }\mathrm{.}\mathrm{(}\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$、$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{\lambda }\mathrm{\alpha }\mathrm{.}\mathrm{(}\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$、$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{2}}}\mathrm{=}\mathrm{\lambda }\mathrm{\alpha }\mathrm{.}\mathrm{(}\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{\omega }\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$、$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{0}}}\mathrm{=}\mathrm{\lambda }\mathrm{\alpha }\mathrm{.}\mathrm{(}\mathrm{\alpha }\mathrm{+}{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{0}}\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$、$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{=}\mathrm{\lambda }\mathrm{\alpha }\mathrm{.}\mathrm{(}\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{\Omega }\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$、$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1},\mathrm{0}}\mathrm{=}\mathrm{\lambda }\mathrm{\alpha }\mathrm{.}\mathrm{(}\mathrm{\alpha }\mathrm{\times }\mathrm{2}\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$

不过，稳定序数的“步子”好像迈得有点大了。如果我们想要表示 ${\mathrm{\Pi }}_{\omega +1}$，乃至 $1-{\mathrm{\Pi }}_{\omega +1}$等反射序数，需要怎么办？

为了解决这样的问题，我们引入稳定序数的“迭代计数器”：

定义：$\lambda \alpha .(X)-{\mathrm{\Pi }}_{\beta }$ 表达式

对于一个 $\lambda \alpha .(X)-{\mathrm{\Pi }}_{\beta }(\beta <\omega )$表达式，α是我们正在讨论的稳定序数； X 是α的稳定目标。这个表达式总是指代一个真类。

当 $\beta =1$ ，即 $\lambda \alpha .(X)-{\mathrm{\Pi }}_1$时，它指代的就是$\lambda \alpha .(X)-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$ 。

当$\beta >1$，设$\beta =\gamma +1$，则$\lambda \alpha .(X)-{\mathrm{\Pi }}_{\gamma +1}=\lambda \alpha .(X)-{\mathrm{\Pi }}_{\gamma }\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\text{<mi fromhbox="1">X</mi>}\mathrm{+}\mathrm{1}}}$。此处的${\mathrm{\Omega }}_{X+1}$ 指的是 X 的下一个非递归序数。

当 $\beta =0$ ，即 $\lambda \alpha .(X)-{\mathrm{\Pi }}_0$时，我们习惯用它来省略psd. 。

比如，$\lambda \alpha .(\alpha +1)-{\mathrm{\Pi }}_0=\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}\mathrm{\lambda }\mathrm{\alpha }\mathrm{.}\mathrm{(}\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{=}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$。

一般来说，$\lambda \alpha .(X+1)-{\mathrm{\Pi }}_0=\sup \{\lambda \alpha .(X)-{\mathrm{\Pi }}_n|n<\omega \}$

这样的定义粗浅一看可能比较难懂，我们用它与扩展反射序数的分析来协助理解。

$\lambda \alpha .(\alpha +1)-{\mathrm{\Pi }}_0=\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$、$\mathrm{2}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{.}\mathrm{\lambda }\mathrm{\alpha }\mathrm{.}\mathrm{(}\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{-}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{0}}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$、${\mathrm{\Pi }}_1\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{\lambda }\mathrm{\alpha }\mathrm{.}\mathrm{(}\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{-}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{0}}\mathrm{=}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$、$\lambda \alpha .(\alpha +1)-{\mathrm{\Pi }}_0\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{\mathrm{2}}$、$\lambda \alpha .(\alpha +1)-{\mathrm{\Pi }}_1=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$、$\lambda \alpha .(\alpha +1)-{\mathrm{\Pi }}_2={\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{+}\mathrm{1}}$、$\lambda \alpha .(\alpha +1)-{\mathrm{\Pi }}_3={\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{+}\mathrm{2}}$、$\lambda \alpha .(\alpha +2)-{\mathrm{\Pi }}_0=\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{2}}$、\$lambda\alpha .(\alpha +2)-{\mathrm{\Pi }}_1=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{2}}$、$\lambda \alpha .(\alpha +2)-{\mathrm{\Pi }}_2={\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{2}\mathrm{+}\mathrm{1}}$、$\lambda \alpha .(\alpha +2)-{\mathrm{\Pi }}_3={\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{2}\mathrm{+}\mathrm{2}}$、$\lambda \alpha .(\alpha +3)-{\mathrm{\Pi }}_0=\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{3}}$……

在上面的分析中，我们可以注意到几个细节。

首先，我们可以像 ${\mathrm{\Pi }}_1\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$一样，对一个稳定序数的真类做${\mathrm{\Pi }}_1\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}$操作，乃至于做 $\lambda \alpha .(\alpha +1)-{\mathrm{\Pi }}_0\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}$操作。这样的操作保证了我们可以在使用稳定表达式的同时兼顾细致地分析。

其次，稳定表达式后的 $-{\mathrm{\Pi }}_n$计数器可以和反射序数很好地的对应。 $-{\mathrm{\Pi }}_n$ 每进位一次，就对应了反射序数进位一次。这是因为我们在定义它的时候仍然取用了和反射序数类似的进位方式：当稳定目标小于${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$ 时， ${\mathrm{\Omega }}_{X+1}$次进位刚好就是 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$ 次进位。

现在我们完成了定义稳定序数的基础。接下来，就可以正式进入单段稳定链的世界了。