TREE函数

TREE函数是由数理逻辑学家Harvey Friedman提出的图论函数。

定义

给定两棵树 $A$ 和 $B$ ，我们称 $A$ 能嵌入到 $B$ 中，如果 $B$ 能通过有限次以下操作得到 $A$ ：

给定正整数n， $T R E E (n)$ 被定义为满足以下条件的“树列” ${T_{n}}$ 的最大长度：

$t r e e (n)$ (注意大小写)被称为弱tree函数，它研究的不是染色树，而是普通树。

给定正整数n， $t r e e (n)$ 被定义为满足以下条件的“树列” ${T_{n}}$ 的最大长度：

对于 $T R E E (n)$ ，有：

$T R E E (1) = 1$

$T R E E (2) = 3$

对于 $t r e e (n)$ ，有：

$t r e e (1) = 2$

$t r e e (2) = 5$

$t r e e (3) > 844, 424, 930, 131, 960$

和 $T R E E (1)$ 、 $T R E E (2)$ 仅有一位数的取值相比， $T R E E (3)$ 的值出现了“暴涨”，其远远超过了葛立恒数和Hydra(5)，这使它成为大数领域中最著名的数字之一。

HypCos在这篇回答^[1]中给出了 $T R E E (3)$ 、的一个下界：

${\rm TREE(3)}>H_{\varphi(1@\omega,3)\cdot\varphi(1@\omega)}({\rm tree(tree(3)+1)})$(其中H为哈代层级，下同)

2025年5月24日，HypCos在这篇回答^[2]中给出了 $t r e e (4)$ 的一个下界：

$t r e e (4) > H_{ε_{ω^{2} 2 + 1} + α} (2 ↑ ↑ ↑ 6)$