链式箭头记号：修订间差异

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2025年7月2日 (三) 04:49的版本

链式箭头记号(Chained arrow notation,别名康威链^[注])是由John Horton Conway和Richard K. Guy制作的高德纳箭头的推广记号。

定义

$a \to b = a^{b}$

$a \to b \to c = a ↑^{c} b = a \underset{c}{\underset{⏟}{↑ \dots ↑}} b$

$a \to \dots \to b \to 1 = a \to \dots \to b$

$a \to \dots \to b \to 1 \to c = a \to \dots \to b$

$a \to \dots \to b \to (c + 1) \to (d + 1) = a \to \dots \to b \to (a \to \dots \to b \to c \to (d + 1)) \to d$

示例

$\begin{aligned} 3 \to 3 \to 2 \to 2 & = 3 \to 3 \to (3 \to 3 \to 1 \to 2) \to 1 \\ = 3 \to 3 \to (3 \to 3 \to 1 \to 2) \\ = 3 \to 3 \to (3 \to 3) \\ = 3 \to 3 \to 27 \\ = 3 ↑^{27} 3 \end{aligned}$

cg函数

$c g (n) = \underset{n}{\underset{⏟}{n \to n \to \dots \to n \to n}}$

(很明显是Conway-Guy函数)

下标拓展

这是由Peter Hurford给出的链式箭头记号的下标拓展。

较为详细的定义如下：

$a \to_{1} b = a \to b$

$a \to_{i} \dots \to_{i} b \to 1 = a \to_{i} \dots \to_{i} b$

$a \to_{i} \dots \to_{i} b \to_{i} 1 \to_{i} c = a \to_{i} \dots \to_{i} b$

$a \to_{i + 1} b = \underset{b个 a}{\underset{⏟}{a \to_{i} a \to_{i} . . . \to_{i} a}}$

$a \to_{i} \dots \to_{i} b \to_{i} (c + 1) \to_{i} (d + 1) = a \to_{i} \dots \to_{i} b \to_{i} (a \to_{i} \dots \to_{i} b \to_{i} c \to_{i} (d + 1)) \to_{i} d$

小贴士

1. $c g (n)$ 的增长率近似于 $f_{ω^{2}} (n)$ 。

2. $n \to_{n} n$ 的增长率近似于 $f_{ω^{3}} (n)$ 。

3.葛立恒数 $G (64)$ 介于 $3 \to 3 \to 64 \to 2$ 和 $3 \to 3 \to 65 \to 2$ 之间。

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 ==== 下标拓展 ====
-这是由Peter Hurford给出的链式箭头记号的下标拓展：
+这是由Peter Hurford给出的链式箭头记号的下标拓展。
-<math>a \rightarrow_c b = \underbrace{a \rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}\ldots\rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}a}_{b \rightarrow_{c-1}'s}</math>
+较为详细的定义如下：
+<math>a \rightarrow_1 b = a\rightarrow b</math>
+<math>a \rightarrow_i\ldots\rightarrow_i b \rightarrow 1 = a \rightarrow_i\ldots\rightarrow_i b</math>
+<math>a \rightarrow_i\ldots\rightarrow_i b \rightarrow_i 1 \rightarrow_i c = a \rightarrow_i\ldots\rightarrow_i b</math>
+<math>a\rightarrow_{i+1} b=\underbrace{a\rightarrow_{i} a\rightarrow_{i}...\rightarrow_{i}a}_{\text{b个}a} </math>
+<math>a \rightarrow_i\ldots\rightarrow_i b \rightarrow_i (c + 1) \rightarrow_i (d + 1) = a \rightarrow_i\ldots\rightarrow_i b \rightarrow_i (a \rightarrow_i\ldots\rightarrow_i b \rightarrow_i c \rightarrow_i (d + 1) ) \rightarrow_i d</math>
 ==== 小贴士 ====
-[[葛立恒数]]<math>G(64)</math>介于<math>3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2</math>和<math>3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2</math>之间。
+.<math>cg(n)</math>的[[增长率]]近似于<math>f_{\omega^2}(n)</math>。
+.<math>n \rightarrow_n n</math>的增长率近似于<math>f_{\omega^3}(n)</math>。
+.[[葛立恒数]]<math>G(64)</math>介于<math>3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2</math>和<math>3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2</math>之间。