链式箭头记号

链式箭头记号(Chained arrow notation,别名康威链^[注])是由John Horton Conway和Richard K. Guy制作的高德纳箭头的推广记号。

定义

$a\to b=a^b$

$a\to b\to c=a{\uparrow }^{c}b=a\underset{c}{\underbrace{\uparrow \dots \uparrow }}b$

$a\to \dots \to b\to 1=a\to \dots \to b$

$a\to \dots \to b\to 1\to c=a\to \dots \to b$

$a\to \dots \to b\to (c+1)\to (d+1)=a\to \dots \to b\to (a\to \dots \to b\to c\to (d+1))\to d$

示例

$\begin{array}{rl}3\to 3\to 2\to 2& =3\to 3\to (3\to 3\to 1\to 2)\to 1\\ & =3\to 3\to (3\to 3\to 1\to 2)\\ & =3\to 3\to (3\to 3)\\ & =3\to 3\to 27\\ & =3{\uparrow }^{27}3\end{array}$

cg函数

$cg(n)=\underset{n}{\underbrace{n\to n\to \dots \to n\to n}}$

(很明显是Conway-Guy函数)

下标拓展

这是由Peter Hurford给出的链式箭头记号的下标拓展。

较为详细的定义如下：

$a{\to }_{1}b=a^b$

$a{\to }_i\dots {\to }_{i}b\to 1=a{\to }_i\dots {\to }_{i}b$

$a{\to }_i\dots {\to }_{i}b{\to }_{i}1{\to }_{i}c=a{\to }_i\dots {\to }_{i}b$

$a{\to }_{i+1}b=\underset{\text{b个}a}{\underbrace{a{\to }_{i}a{\to }_i...{\to }_{i}a}}$

$a{\to }_i\dots {\to }_{i}b{\to }_i(c+1){\to }_i(d+1)=a{\to }_i\dots {\to }_{i}b{\to }_i(a{\to }_i\dots {\to }_{i}b{\to }_{i}c{\to }_i(d+1)){\to }_{i}d$

小贴士

1.$cg(n)$的 FGH 增长率是${\omega }^2$。

2.$n{\to }_{n}n$的 FGH 增长率是${\omega }^3$。

3.葛立恒数$G(64)$介于$3\to 3\to 64\to 2$和$3\to 3\to 65\to 2$之间。