链式箭头记号：修订间差异

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2025年7月2日 (三) 04:17的版本

链式箭头记号(Chained arrow notation,别名康威链^[注])是由John Horton Conway和Richard K. Guy制作的高德纳箭头的推广记号。

定义

$a \to b = a^{b}$

$a \to b \to c = a ↑^{c} b = a \underset{c}{\underset{⏟}{↑ \dots ↑}} b$

$a \to \dots \to b \to 1 = a \to \dots \to b$

$a \to \dots \to b \to 1 \to c = a \to \dots \to b$

$a \to \dots \to b \to (c + 1) \to (d + 1) = a \to \dots \to b \to (a \to \dots \to b \to c \to (d + 1)) \to d$

示例

$\begin{aligned} 3 \to 3 \to 2 \to 2 & = 3 \to 3 \to (3 \to 3 \to 1 \to 2) \to 1 \\ = 3 \to 3 \to (3 \to 3 \to 1 \to 2) \\ = 3 \to 3 \to (3 \to 3) \\ = 3 \to 3 \to 27 \\ = 3 ↑^{27} 3 \end{aligned}$

cg函数

$c g (n) = \underset{n}{\underset{⏟}{n \to n \to \dots \to n \to n}}$

(很明显是Conway-Guy函数)

下标拓展

这是由Peter Hurford给出的链式箭头记号的下标拓展：

$a \to_{c} b = \underset{b \to_{c^{'} - 1} s}{\underset{⏟}{a \to_{c - 1} a \to_{c - 1} \dots \to_{c - 1} a \to_{c - 1} a}}$

小贴士

葛立恒数G(64)介于 $3 \to 3 \to 64 \to 2$ 和 $3 \to 3 \to 65 \to 2$ 之间。

@@ 第11行： / 第11行： @@
 <math>a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (c + 1) \rightarrow (d + 1) = a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d + 1) ) \rightarrow d</math>
+==== 示例 ====
+<math>\begin{align}
+\rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2& = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 2) \rightarrow 1\\&= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 2)\\&= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3)\\&= 3 \rightarrow 3 \rightarrow 27\\&= 3 \uparrow^{27} 3
+\end{align}</math>
+==== cg函数 ====
+<math>cg(n) = \underbrace{n \rightarrow n \rightarrow \ldots \rightarrow n \rightarrow n}_n</math>
+(很明显是Conway-Guy函数)
+==== 下标拓展 ====
+这是由Peter Hurford给出的链式箭头记号的下标拓展：
+<math>a \rightarrow_c b = \underbrace{a \rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}\ldots\rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}a}_{b \rightarrow_{c-1}'s}</math>
+==== 小贴士 ====
+[[葛立恒数]]G(64)介于<math>3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2</math>和<math>3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2</math>之间。