PPS

Parented Predecessor Sequence(PPS)是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是标记父项位置。

PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。

2025年8月，PPS2被发现无穷降链。

2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。

截止到2026年2月20日，目前PPS的已知良序极限为0,1,0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,8,6,0,15,0,38,38,15,0,38,38,13,6,2,0,8,6,0,51,51,50,0,51,51,50,0,50,0,61,61,50,0,61,61,0,6,0,70,8,6,0,74,74,73,0,74,74,73,0,73,0,84,84,73,0,84,84,71,8,6,0,73,0,96,96,73,0,96,96,71,6,0,105,105,0,108,108,0,111,111,0,114,114,0,117,117,...

后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了PRRS。

前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号

定义

以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。

PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）

极限表达式：0,1,2,3,4,5,......

记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x

展开：

1.如果末项是0，则它是后继序数

2.末项之前的部分保持不变

3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1

4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i>x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值

5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项

分析

另见PPS分析

PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。

地府段

PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。

第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10

2025年7月22日，来自PCF

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。

它们分别对应序数${\epsilon }_{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_0+1}\times 2}}}$

和${\epsilon }_{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_{{\epsilon }_0}+1}}}}}$。

几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。

第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，四百行扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。

截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能$\ge {\zeta }_0$。