FSO

FSO（Feferman-Schütte Ordinal，费弗曼-舒特序数），是二元 Veblen 函数的极限。

序数记号	表达式
常用表示	${\mathrm{\Gamma }}_0$
Veblen 函数	$\phi (1,0,0)$
BOCF	$\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }})=\psi ({\psi }_1({\psi }_1({\psi }_1(0))))$
MOCF	$\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }})$
BMS	$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 0& 1& 1& 1\end{array}\right)=(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)$
HPrSS / 0-Y	$1,3,5,7$
1-Y / ω-Y	$1,2,4,6,8$
PSS Hydra	${\psi }_1^{\text{H}}({\psi }_2^{\text{H}}({\psi }_2^{\text{H}}({\psi }_2^{\text{H}}(0))))$
weak Veblen 函数	\(\varphi(1@(1,0))\)
BHM	$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=(0)(1,1)$
BSM	$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\end{array}\right)$
NOCF	$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Omega }})$
M 记号	$\psi (\psi (M+\psi (M+\psi (M))))$
FOS	$0,1,\omega ,\omega 2,\omega 3$

性质

FSO 是第一个不可直谓序数。

证明论序数：$\mathrm{A}\mathrm{T}{\mathrm{R}}_{\mathrm{0}}$，${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{R}$，$\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{R}\mathrm{T}$，$\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{R}\mathrm{T}$，$\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{.}$，$\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{.}$，$\mathrm{F}{\mathrm{P}}_{\mathrm{0}}$，$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{i}}^{\mathrm{-}}$，$\mathrm{C}\mathrm{Z}{\mathrm{F}}^{\mathrm{-}}\mathrm{+}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{A}\mathrm{C}$，${\widehat{\mathrm{I}\mathrm{D}}}_{<\omega }$，${\widehat{\mathrm{I}\mathrm{D}}}^{*}$，${\mathrm{M}\mathrm{L}}_{<\omega }$，$\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{U}$，$\mathrm{U}\mathrm{(}\mathrm{P}\mathrm{A}\mathrm{)}$

极限在此处的记号：UnAN，二元 Veblen 函数