PPS：修订间差异

2026年2月28日 (六) 22:41的版本

Parented Predecessor Sequence(PPS)是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是标记父项位置。

PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。

2025年8月，PPS2被发现无穷降链。

2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。

截止到2026年2月28日，目前可以确定大于以下序列的PPS存在无穷降链：

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,21,18,9,3,0,31,28,9,3,0,36,27,18,9,3,0,42,38,18,9,3,0,48,37,27,18,9,3,0,55,50,27,18,9,3,0,62,49,37,27,18,9,3,0,70,64,37,27,18,9,3,0,78,63,49,37,27,18,9,3,0,87,80,49,37,27,18,9,3,0,96,79,63,49,37,27,18,9,3,0,106,98,63,49,37,27,18,9,3,0,......

对PPS无穷降链的寻找可使用自动果糕机进行辅助。

后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了PRRS。

前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号

定义

以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。

PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）

极限表达式：0,1,2,3,4,5,......

记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x

展开：

1.如果末项是0，则它是后继序数

2.末项之前的部分保持不变

3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1

4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i>x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值

5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项

分析

另见PPS分析

PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。

地府段

PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。

第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10

2025年7月22日，来自PCF

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。

它们分别对应序数 $ε_{ω^{ω^{ω^{ε_{0} + 1} \times 2}}}$

和 $ε_{ω^{ω^{ω^{ω^{ε_{ε_{0}} + 1}}}}}$ 。

几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。

第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ PPS良序极限是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，四百行扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。

根据3165991573的分析，我们可以确定PPS的良序极限为ζ₀

改版

PPM 1.2

Parented Predecessor Matrix 1,2

极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)

LNZ：末列的最大非零行序号

坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数

记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y

末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。

弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换

强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)

其他项展开：对任意的i>y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值

基本列[n]为展开到第y+nL-1项

PPM 2

Parented Predecessor Matrix 2

极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)

LNZ：末列的最大非零行序号

坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数

记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y

末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。

弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换

强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)

其他项展开：对任意的i>y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值

基本列[n]为展开到第y+nL-1项

PPM 3

Parented Predecessor Matrix 3

极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)

LNZ：末列的最大非零行序号

坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数

记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y

末列展开：{

把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。

弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换

强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)

}

末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”

其他项展开：对任意的i>y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值

基本列[n]为展开到第y+nL-1项

@@ 第7行： / 第7行： @@
 年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。
-截止到2026年2月23日，目前可以确定大于以下序列的PPS存在无穷降链：
+截止到2026年2月28日，目前可以确定大于以下序列的PPS存在无穷降链：
-,1,<span style="color:red;">0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,6,2,0,15,0,38,38,15,0,38,15,0,45,45,13,8,6,0,0,38,15,0,55,55,13,0,59,58,0,62,58,0,63,53,15,0,0,0,62,55,0,74,74,74,72,55</span>,<span style="color:blue;">0,80,80,0,83,80,0,86,86,84,0,90,86,84,0,94,94,93,0,94,94,93,0,93,0,104,104,93,0,104,104,91,84,80,0,93,0,116,116,93,0,116,93,0,123,123,91,86,84,0,0,116,93,0,133,133,91,0,137,136,0,140,136,0,141,131,93,0,0,0,140,133,0,152,152,152,150,133</span>,<span style="color:green;">0,158,158,0,161,158,0,164,164,162,0,168,164,162,0,172,172,171,0,172,172,171,0,171,0,182,182,171,0,182,182,169,162,158,0,171,0,194,194,171,0,194,171,0,201,201,169,164,162,0,0,194,171,0,211,211,169,0,215,214,0,218,214,0,219,209,171,0,0,0,218,211,0,230,230,230,228,211</span>,<span style="color:purple;">0,236,236,0,239,236,0,242,242,240,0,246,242,240,0,250,250,249,0,250,250,249,0,249,0,260,260,249,0,260,260,247,240,236,0,249,0,272,272,249,0,272,249,0,279,279,247,242,240,0,0,272,249,0,289,289,247,0,293,292,0,296,292,0,297,287,249,0,0,0,296,289,0,308,308,308,306,289</span>,...
+,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,21,18,9,3,0,31,28,9,3,0,36,27,18,9,3,0,42,38,18,9,3,0,48,37,27,18,9,3,0,55,50,27,18,9,3,0,62,49,37,27,18,9,3,0,70,64,37,27,18,9,3,0,78,63,49,37,27,18,9,3,0,87,80,49,37,27,18,9,3,0,96,79,63,49,37,27,18,9,3,0,106,98,63,49,37,27,18,9,3,0,......
 对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。
@@ 第55行： / 第56行： @@
 ==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====
-,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，'''四百行'''扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。
+,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ PPS良序极限是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，'''四百行'''扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。
-截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能<math>\ge \zeta_0</math>。
+根据3165991573的分析，我们可以确定PPS的良序极限为ζ₀
 === 改版 ===