PPS

Parented Predecessor Sequence(PPS)是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是标记父项位置。

PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。

2025年8月，PPS2被发现无穷降链。

2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。

截止到2026年2月23日，目前PPS的已知良序极限为0,1,0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,6,2,0,15,0,38,38,15,0,38,15,0,45,45,13,8,6,0,51,43,15,0,0,45,45,13,0,60,60,0,63,60,0,66,66,64,0,70,66,64,0,74,74,73,0,74,74,73,0,73,0,84,84,73,0,84,84,71,64,60,0,73,0,96,96,73,0,96,73,0,103,103,71,66,64,0,109,101,73,0,0,103,103,71,0,118,118,0,121,118,0,124,124,122,0,128,124,122,0,132,132,131,0,132,132,131,0,131,0,142,142,131,0,142,142,129,122,118,0,131,0,154,154,131,0,154,131,0,161,161,129,124,122,0,167,159,131,0,0,161,161,129,0,176,176,0,179,176,0,182,182,180,0,186,182,180,0,190,190,189,0,190,190,189,0,189,0,200,200,189,0,200,200,187,180,176,0,189,0,212,212,189,0,212,189,0,219,219,187,182,180,0,225,217,189,0,0,219,219,187,0,234,234,0,237,234,0,240,240,238,0,244,240,238,0,248,248,247,0,248,248,247,0,247,0,258,258,247,0,258,258,245,238,234,0,247,0,270,270,247,0,270,247,0,277,277,245,240,238,0,283,275,247,0,0,277,277,245,0,292,292,0,295,292,0,298,298,296,0,302,298,296,0,306,306,305,0,306,306,305,0,305,0,316,316,305,0,316,316,303,296,292,0,305,0,328,328,305,0,328,305,0,335,335,303,298,296,0,341,333,305,0,0,335,335,303

对PPS无穷降链的寻找可使用自动果糕机进行辅助。

后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了PRRS。

前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号

定义

以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。

PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）

极限表达式：0,1,2,3,4,5,......

记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x

展开：

1.如果末项是0，则它是后继序数

2.末项之前的部分保持不变

3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1

4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i>x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值

5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项

分析

另见PPS分析

PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。

地府段

PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。

第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10

2025年7月22日，来自PCF

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。

它们分别对应序数${\epsilon }_{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_0+1}\times 2}}}$

和${\epsilon }_{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_{{\epsilon }_0}+1}}}}}$。

几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。

第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，四百行扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。

截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能$\ge {\zeta }_0$。

改版

PPM 1.2

Parented Predecessor Matrix 1,2

极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)

LNZ：末列的最大非零行序号

坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数

记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y

末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。

弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换

强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)

其他项展开：对任意的i>y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值

基本列[n]为展开到第y+nL-1项

PPM 2

Parented Predecessor Matrix 2

极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)

LNZ：末列的最大非零行序号

坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数

记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y

末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。

弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换

强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)

其他项展开：对任意的i>y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值

基本列[n]为展开到第y+nL-1项

PPM 3

Parented Predecessor Matrix 3

极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)

LNZ：末列的最大非零行序号

坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数

记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y

末列展开：{

把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。

弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换

强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)

}

末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”

其他项展开：对任意的i>y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值

基本列[n]为展开到第y+nL-1项