稳定序数

$L_{\alpha }$ 是 $L_{\beta }$ 的 ${\mathrm{\Sigma }}_n$ 初等子结构，如果任取 ${\mathrm{\Sigma }}_n$ 公式 $\phi$ 均有单射 $j$ 满足$L_{\alpha }\models \phi (x_1,x_2,\cdots )$ 等价于 $L_{\beta }\models \phi (j(x_1),j(x_2),\cdots )$，也称其为 $L_{\alpha }{\mathrm{\Sigma }}_n\text{稳定到}{L}_{\beta }$。

除此外，我们还有 $L_{\alpha }$ 是 $L_{\beta }-{\mathrm{\Pi }}_n\text{-反射}$ 用于表达一些精细的层级，其中 $L_{\alpha }{\mathrm{\Sigma }}_1\text{稳定到}{L}_{\beta }$
（如未特别说明，下文的稳定到均为 ${\mathrm{\Sigma }}_1$ 稳定到）

函数式定义：

$L_{\alpha }$ 是 $L_{f(\alpha )}\text{-}{\mathrm{\Pi }}_n$ 反射 onto $X$，当且仅当对于任意 ${\mathrm{\Pi }}_n$ 公式 $\phi$ 及参数 $\gamma \in L_{\alpha }$、${\gamma }^{\prime }\in L_{{\alpha }^{\prime }}$（其中 ${\alpha }^{\prime }\in \alpha \cap X$），有 $L_{f(\alpha )}\models \phi (\alpha ,\gamma )\to L_{f({\alpha }^{\prime })}\models \phi ({\alpha }^{\prime },{\gamma }^{\prime })$。

序数式定义：

$L_{\alpha }$ 是 $L_{\beta }\text{-}{\mathrm{\Pi }}_n$ 反射 onto $X$，当且仅当对于任意 ${\mathrm{\Pi }}_n$ 公式 $\phi$ 及参数 $\gamma \in \alpha$、${\gamma }^{\prime }\in {\alpha }^{\prime }$（其中 ${\beta }^{\prime }\in \alpha$ 且 ${\alpha }^{\prime }\in \alpha \cap X$），有 $L_{\beta }\models \phi (\alpha ,\gamma )\to L_{{\beta }^{\prime }}\models \phi ({\alpha }^{\prime },{\gamma }^{\prime })$。

关于函数式定义，由于 $\omega$-ply 的顶点下成员均为 $\omega$-ply，这会触发 $f$ 与 $\alpha$ 的某种不动点，导致无法继续推进。

结构讲解

参见词条 Σ1 稳定序数、方括号稳定。

枚举

稳定序数有如下路径：

$\beta =\min \alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}=\text{psd.}{\mathrm{\Pi }}_{\omega }$

$\beta =\underset{n\in \omega }{\sup }\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}=\min {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in {\omega }^2}{\sup }\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}=\min {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}{\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in \beta }{\sup }\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}=\min {\mathrm{\Pi }}_1{\text{onto}}^{(1,0)}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in \beta }{\sup }\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}(\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2)=\min {\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in \omega }{\sup }\{\alpha :{\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}\}=\min {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}{\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in \beta }{\sup }\{\alpha :{\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}\}(\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2)=\min {\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}{\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in \beta }{\sup }\{\alpha :\{n:{\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1{\text{onto}}^n\{L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}\}=\min {\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1{\text{onto}}^{(1,0)}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in \beta }{\sup }\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}(\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2\text{onto}{\mathrm{\Pi }}_2)=\min ({\mathrm{\Pi }}_2\text{onto}{\mathrm{\Pi }}_2)\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in \beta }{\sup }\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}(\beta \in {\mathrm{\Pi }}_3)=\min {\mathrm{\Pi }}_3\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in \beta }{\sup }\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}(L_{\beta }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\beta +1})=\min \{\beta :L_{\beta }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\beta +1}\}\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}(\beta \in {\mathrm{\Pi }}_n)$

$\beta =\underset{n\in \omega }{\sup }\{\alpha :\{\beta :L_{\beta }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\beta +1}\}\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}\}=\min {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\beta :L_{\beta }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\beta +1}\}\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in \beta }{\sup }\{\alpha :\{\beta :L_{\beta }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\beta +1}\}\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}\}(\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2)=\min {\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\beta :L_{\beta }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\beta +1}\}\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in \beta }{\sup }\{\alpha :\{\beta :L_{\beta }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\beta +1}\}\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}\}(L_{\beta }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\beta +1})=\min \{\gamma :L_{\gamma }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\gamma +1}\}\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\beta :L_{\beta }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\beta +1}\}\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in \beta }{\sup }\{\alpha :\{n:(\{\beta :L_{\beta }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\beta +1}\}\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}{)}^n\}\}=\min (\{\beta :L_{\beta }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\beta +1}\}\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}{)}^{(1,0)}$

$\beta =\min {\mathrm{\Pi }}_2\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\})$

$\beta =\underset{n\in \beta }{\sup }\{\alpha :{\mathrm{\Pi }}_2\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}\}=\min {\mathrm{\Pi }}_1{\text{onto}}^{(1,0)}{\mathrm{\Pi }}_2\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in \beta }{\sup }\{\alpha :{\mathrm{\Pi }}_2\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}\}(\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2)=\min {\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}{\mathrm{\Pi }}_2\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in \beta }{\sup }\{\alpha :{\mathrm{\Pi }}_2\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}\}(L_{\beta }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\beta +1})=\min \{\beta :L_{\beta }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\beta +1}\}\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}{\mathrm{\Pi }}_2\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta =\underset{n\in \beta }{\sup }\{\alpha :{\mathrm{\Pi }}_2\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}\}(\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\})=\min {\mathrm{\Pi }}_2\text{onto}\{\beta :L_{\beta }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\beta +1}\}\cap {\mathrm{\Pi }}_1\text{onto}{\mathrm{\Pi }}_2\text{onto}\{\alpha :L_{\alpha }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{L}_{\alpha +1}\}$

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}是前$n\in \beta$个$\alpha$满足${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap$(${\mathrm{\Pi }}_1$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足{x:(${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}$\cap {\mathrm{\Pi }}_1$$onto{)}^x$}的上界，则$\beta$是(${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}$\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ $onto{)}^{(1,0)}$的最小成员

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_3$是${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的，则$\beta$是 ${\mathrm{\Pi }}_3\cap ({\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$是 ${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的，则$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap$(${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_3$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$，且$L_{\beta }$是$L_{\beta +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，且$L_{\alpha }$是$L_{\alpha +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射}的最小成员

$\beta$是({$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} $onto{)}^{(1,0)}${$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，且$L_{\alpha }$是$L_{\alpha +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射}的最小成员

$\beta \in${$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，且$L_{\alpha }$是$L_{\alpha +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射}是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，且$L_{\alpha }$是$L_{\alpha +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射}的，则$\beta$是{$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，且$L_{\alpha }$是$L_{\alpha +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射}$\cap$({$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\gamma :L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，且$L_{\gamma }$是$L_{\gamma +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射})的最小成员

$\beta$是{$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，且$L_{\alpha }$是$L_{\alpha +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射} onto {$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$，且$L_{\beta }$是$L_{\beta +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射}的最小成员

$\beta$是({$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，且$L_{\alpha }$是$L_{\alpha +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射}$onto{)}^{(1,0)}$的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$，且$L_{\beta }$是$L_{\beta +1}$-${\mathrm{\Pi }}_3$反射

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +2}$，则$\beta$满足对$n\in \omega$均有$L_{\beta }$是$L_{\beta +1}$-${\mathrm{\Pi }}_n$反射

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +2}$}的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +2}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +2}$})的最小成员

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_3$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +2}$}的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +2}$}的最小成员

$\beta$是{$\gamma :L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +2}$}$\cap$({$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +2}$})的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$且$L_{\beta }$是$L_{\beta +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +2}$}的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +2}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +2}$}的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +2}$，且$L_{\beta }$是$L_{\beta +2}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +3}$，则对$n\in \omega$有$L_{\beta }$是$L_{\beta +2}$-$P{i}_n$反射

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +\omega }$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta *2}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +\alpha +1}$，其中$\alpha$是最小的$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$

$\beta$是第二个满足$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta *2}$的序数

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2$$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$})的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +\gamma }$}$\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员，其中$\gamma$是满足$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma *2}$的最小序数

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +\gamma }$}$\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员，其中$\gamma$是上一条中的$\beta$

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta *2}$}$\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +\gamma }$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员，其中$\gamma$是最小的$L_{\gamma }$是$L_{\gamma *2}$

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta *2}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员

$L_{\beta }$是$L_{\beta *2}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta *2+1}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{{\beta }^2}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{{\mathrm{\Omega }}_{\beta +1}}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$，且$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，则$L_{\gamma }$是首个大于$\beta$序数满足$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，且$L_{\beta }$是$L_{\gamma +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，且$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma +2}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，且$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma +\omega }$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，且$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma *2}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，且$L_{\beta }$稳定到$L_{{\mathrm{\Omega }}_{\gamma +1}}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，且$L_{\beta }$稳定到$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，对$\gamma \in \alpha$

$L_{\beta }$稳定到$L_{{\gamma }_n}$稳定到$L_{{\gamma }_n+1}$，对于$n\in \omega$和${\gamma }_n\in {\gamma }_{n+1}$，则L_{\gamma}</math>是${\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$，其中$\gamma$是${\mathrm{\Pi }}_1$ onto ${\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$，其中$\gamma$是${\mathrm{\Pi }}_2\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$，其中$\gamma$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$，其中$\gamma$是${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$，其中$\gamma$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$，其中$L_{\gamma }$是$L_{\gamma +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +2}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +\beta }$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma *2}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\zeta }$稳定到$L_{\zeta +1}$

$L_{{\beta }_x}$稳定到$L_{{\beta }_{x+1}}$，对$n\in \omega$，则${\beta }_n$是$\omega$-ply，常规稳定链的终点，在此后需要涉及更高阶的反射

与 BMS 的关系

Racheline 证明 BMS 良序的文章中，给出了 BMS 到 ${\mathrm{\Sigma }}_n$-稳定的一个单射。

我们把 BMS 中第 n 行的父项关系记作 <n，每个列当成一个单独的序数。如此翻译，就得到了一个 ${\mathrm{\Sigma }}_n$ 稳定的表达式。

如 $(0,0)(1,1)$，(0,0) 记作 α，(1,1) 记作 β，注意到第一行上 $\alpha <1\beta$，第二行上 $\alpha <2\beta$，翻译过来可只写$\alpha <2\beta$。

又如 $(0,0)(1,1)(2,1)$ 翻译成 $a<2(b,c),b<1c$。

又如 $(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)$，翻译成 $a<2(b,c,d,e,f),b<1c<1d,b,c,d\in e,e<1f<1g,g<2(j,k,l),j<1k<1l$。

又如 $a<2(b,d),b<2(c,e),c<1e,(b,c,e)\in d$，翻译为 $(0,0)(1,1)(2,2)(3,2)(1,1)$。其中属于关系对应的是 BMS 对应项的位置，然后 a 稳定到 b 暗含 a 属于 b。

注意并非满射。如 $a<1b<2c$ 在稳定中标准而在 BMS 中是 $(0,0)(1,0)(2,1)$ 不标准。