无穷基数的平方等于自身：修订间差异

2025年8月4日 (一) 17:40的版本

定理

对任意序数 $α$ ，有 $ℵ_{α} \times ℵ_{α} = ℵ_{α}$ ．

证明

我们如下定义 ${O r d}^{2}$ 上的良序：

$\begin{aligned} (α, β) < (γ, δ) ⟺ & \max {α, β} < \max {γ, δ} \\ \lor (\max {α, β} = \max {γ, δ} \land α < γ) \\ \lor (\max {α, β} = \max {γ, δ} \land α = γ \land β < δ) \end{aligned}$

可以证明，这个序是一个良序．

我们令 $Γ (α, β)$ 表示集合 ${(γ, δ) \in {O r d}^{2} ∣ (γ, δ) < (α, β)}$ 的序型．可以证明， $Γ : {O r d}^{2} \to O r d$ 保序且一对一．

下面用 $Γ [α \times β]$ 表示 ${Γ (γ, δ) ∣ (γ, δ) \in α \times β}$ ，即集合 $α \times β$ 在 $Γ$ 下的像集．

注意到 $Γ [ω_{α} \times ω_{α}] = Γ (0, ω_{α}) \geq ω_{α}$ ，以及 $Γ [ω \times ω] = ω$ （取对角线计数）．

我们要证 $ℵ_{α} \times ℵ_{α} = ℵ_{α}$ ，只需证 $Γ [ω_{α} \times ω_{α}] = ω_{α}$ ．

使用反证法．令 $α$ 是使得 $ω_{α} < Γ [ω_{α} \times ω_{α}]$ 的最小序数，则存在 $β, γ < ω_{α}$ 使得 $Γ (β, γ) = ω_{α}$ ．

那么我们取 $δ$ 满足 $\max {β, γ} < δ < ω_{α}$ ，则 $ω_{α} = Γ (β, γ) \in Γ [δ \times δ]$ ．

取上式两侧的基数，得到 $ℵ_{α} < | δ \times δ |$ ．

因为 $δ > \max {β, γ} \geq ω$ ，所以可设 $δ$ 的基数为 $ℵ_{ξ}$ ，其中 $ξ < α$ ．

我们刚才设 $α$ 是使得 $ω_{α} < Γ (ω_{α} \times ω_{α})$ 的最小序数，所以 $ω_{ξ} = Γ [ω_{ξ} \times ω_{ξ}]$ ，即 $ℵ_{ξ} = ℵ_{ξ} \times ℵ_{ξ}$ ．

所以 $| δ \times δ | = | δ | \times | δ | = ℵ_{ξ} \times ℵ_{ξ} = ℵ_{ξ} < ℵ_{α}$ ，矛盾．

因此，对任意序数 $α$ ，都有 $ℵ_{α} \times ℵ_{α} = ℵ_{α}$ ．

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 '''定理'''
-对任意序数 <math>\alpha</math>，有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>．
+对任意[[序数]] <math>\alpha</math>，有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>．
 '''证明'''
-我们如下定义 <math>\mathrm{Ord}^2</math> 上的良序：
+我们如下定义 <math>\mathrm{Ord}^2</math> 上的[[良序]]：
 <math display=block>
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 可以证明，这个序是一个良序．
-我们令 <math>\Gamma(\alpha,\beta)</math> 表示集合 <math>\{(\gamma,\delta)\in\mathrm{Ord}^2\mid(\gamma,\delta)<(\alpha,\beta)\}</math> 的序型．可以证明，<math>\Gamma:\mathrm{Ord}^2\to\mathrm{Ord}</math> 保序且一对一．
+我们令 <math>\Gamma(\alpha,\beta)</math> 表示集合 <math>\{(\gamma,\delta)\in\mathrm{Ord}^2\mid(\gamma,\delta)<(\alpha,\beta)\}</math> 的序型．可以证明，<math>\Gamma:\mathrm{Ord}^2\to\mathrm{Ord}</math> [[良序#概念|保序]]且一对一．
 下面用 <math>\Gamma[\alpha\times\beta]</math> 表示 <math>\{\Gamma(\gamma,\delta)\mid(\gamma,\delta)\in\alpha\times\beta\}</math>，即集合 <math>\alpha\times\beta</math> 在 <math>\Gamma</math> 下的像集．
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 那么我们取 <math>\delta</math> 满足 <math>\max\{\beta,\gamma\}<\delta<\omega_\alpha</math>，则 <math>\omega_\alpha=\Gamma(\beta,\gamma)\in\Gamma[\delta\times\delta]</math>．
-取上式两侧的基数，得到 <math>\aleph_\alpha<|\delta\times\delta|</math>．
+取上式两侧的[[基数]]，得到 <math>\aleph_\alpha<|\delta\times\delta|</math>．
 因为 <math>\delta>\max\{\beta,\gamma\}\ge\omega</math>，所以可设 <math>\delta</math> 的基数为 <math>\aleph_\xi</math>，其中 <math>\xi<\alpha</math>．