无穷基数的平方等于自身

定理

对任意序数 $\alpha$，有 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\times {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$．

证明

我们如下定义 ${\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}}^2$ 上的良序：

$$\begin{array}{rl}(\alpha ,\beta )<(\gamma ,\delta )⟺& \max \{\alpha ,\beta \}<\max \{\gamma ,\delta \}\\ & \vee (\max \{\alpha ,\beta \}=\max \{\gamma ,\delta \}\wedge \alpha <\gamma )\\ & \vee (\max \{\alpha ,\beta \}=\max \{\gamma ,\delta \}\wedge \alpha =\gamma \wedge \beta <\delta )\\ \end{array}$$

可以证明，这个序是一个良序．

我们令 $\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )$ 表示集合 $\{(\gamma ,\delta )\in {\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}}^2\mid (\gamma ,\delta )<(\alpha ,\beta )\}$ 的序型．可以证明，$\mathrm{\Gamma }:{\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}}^2\to \mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}$ 保序且一对一．

下面用 $\mathrm{\Gamma }[\alpha \times \beta ]$ 表示 $\{\mathrm{\Gamma }(\gamma ,\delta )\mid (\gamma ,\delta )\in \alpha \times \beta \}$，即集合 $\alpha \times \beta$ 在 $\mathrm{\Gamma }$ 下的像集．

注意到 $\mathrm{\Gamma }[{\omega }_{\alpha }\times {\omega }_{\alpha }]=\mathrm{\Gamma }(0,{\omega }_{\alpha })\ge {\omega }_{\alpha }$，以及 $\mathrm{\Gamma }[\omega \times \omega ]=\omega$（取对角线计数）．

我们要证 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\times {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$，只需证 $\mathrm{\Gamma }[{\omega }_{\alpha }\times {\omega }_{\alpha }]={\omega }_{\alpha }$．

使用反证法．令 $\alpha$ 是使得 ${\omega }_{\alpha }<\mathrm{\Gamma }[{\omega }_{\alpha }\times {\omega }_{\alpha }]$ 的最小序数，则存在 $\beta ,\gamma <{\omega }_{\alpha }$ 使得 $\mathrm{\Gamma }(\beta ,\gamma )={\omega }_{\alpha }$．

那么我们取 $\delta$ 满足 $\max \{\beta ,\gamma \}<\delta <{\omega }_{\alpha }$，则 ${\omega }_{\alpha }=\mathrm{\Gamma }(\beta ,\gamma )\in \mathrm{\Gamma }[\delta \times \delta ]$．

取上式两侧的基数，得到 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }<|\delta \times \delta |$．

因为 $\delta >\max \{\beta ,\gamma \}\ge \omega$，所以可设 $\delta$ 的基数为 ${\mathrm{\aleph }}_{\xi }$，其中 $\xi <\alpha$．

我们刚才设 $\alpha$ 是使得 ${\omega }_{\alpha }<\mathrm{\Gamma }({\omega }_{\alpha }\times {\omega }_{\alpha })$ 的最小序数，所以 ${\omega }_{\xi }=\mathrm{\Gamma }[{\omega }_{\xi }\times {\omega }_{\xi }]$，即 ${\mathrm{\aleph }}_{\xi }={\mathrm{\aleph }}_{\xi }\times {\mathrm{\aleph }}_{\xi }$．

所以 $|\delta \times \delta |=|\delta |\times |\delta |={\mathrm{\aleph }}_{\xi }\times {\mathrm{\aleph }}_{\xi }={\mathrm{\aleph }}_{\xi }<{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$，矛盾．

因此，对任意序数 $\alpha$，都有 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\times {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$．