Σ1稳定序数

Σ1稳定序数是一个非递归记号。它是最初级的稳定序数。本条目介绍$\omega -\pi -{\mathrm{\Pi }}_0$之前的Σ1稳定链的结构讲解。

前排提示：请先阅读条目反射序数。

结构讲解

反射序数的进位模式

绝大多数读者应该在学习OCF 时第一次接触“折叠 (Collapsing) ”这个概念。在最基础的OCF中，我们以 ${\omega }_n^{\text{CK}}={\mathrm{\Omega }}_n$作为折叠用的序数。

递归序数与非递归序数的差距，是我们对“折叠”最直观的感受——一个序数想要“折叠”它下方的序数，前提应该是：它下方的一系列序数如何递归运算都达不到它本身。

比如， Ω 是 ω 作任何递归运算都无法得到的序数，任何的 ${\omega }^{\omega },{\epsilon }_0,\mathrm{B}\mathrm{O},\mathrm{\psi }\mathrm{(}{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{I}}\mathrm{(}\mathrm{0}\mathrm{)}\mathrm{)}$… 都小于Ω。

再往上，“递归运算”好像也需要被加强。 M 看起来像是从 Ω 出发如何取容许点都得不到的序数， K 是如何取${\mathrm{\Pi }}_2\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}$ 都得不到的序数……

有没有什么方式，能够系统性地总结这些规律呢？

我们曾经用$(1-{)}^{1,0}$定义 $\alpha \to (1-{)}^{\alpha }$的不动点。现在，我们尝试一种新的记法： $(1-{)}^{\alpha }=(1-{)}^{1,0}$

在这种记法中，$(1-{)}^{\alpha }$被定义成：$(1-{)}^{\alpha }=\{\alpha |\mathrm{\forall }\beta <\alpha ,\alpha \in (1-{)}^{\beta }\}$

右边的集合定义了一个“真不动点”，也就是这样定义出来的$\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{\mathrm{\alpha }}$都是$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{\mathrm{1},\mathrm{0}}$ 。

这种记法定义出来的$(1-{)}^{\alpha }$为$\{{\epsilon }_0,{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots \}$ 。

再往上，我们还可以定义$(1-{)}^{\alpha +1}$ ：$(1-{)}^{\alpha +1}={\mathrm{\Pi }}_1\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}{\mathrm{)}}^{\mathrm{\alpha }}$

此处的$(1-{)}^{\alpha }$ 和上文的定义相同。这样的定义可以规避不存在 $\alpha ={\epsilon }_{\alpha +1}$的问题。

以此类推，我们有：$(1-{)}^{\alpha +n}=(1-{)}^n(1-{)}^{\alpha }$

然后定义$(1-{)}^{\alpha \times 2}$：$(1-{)}^{\alpha \times 2}=\{\alpha |\mathrm{\forall }\beta <\alpha ,\alpha \in 1-{)}^{\alpha +\beta }\}$

考虑$(1-{)}^{\alpha +n}$ ，

当 $n={\epsilon }_0$的时候， $(1-{)}^{\alpha +n}$ 实际上就是 ${\epsilon }_{{\epsilon }_0}$这一类序数；

当 $n={\epsilon }_{{\epsilon }_0}$的时候， $(1-{)}^{\alpha +n}$ 则是 ${\epsilon }_{{\epsilon }_{{\epsilon }_0}}$之类的序数。

以此类推， $(1-{)}^{\alpha \times 2}$实际上就是所有 ζ 序数的真类（真类一般是一个比集合更大的概念）。

同样地， $(1-{)}^{\alpha \times 3}$则是 $\eta$序数的真类，$(1-{)}^{\alpha \times \omega }$ 则是 $\phi (\omega ,n)$序数的真类。

继续，还可以定义 $(1-{)}^{{\alpha }^2},(1-{)}^{{\alpha }^{\alpha }},(1-{)}^{{\epsilon }_{\alpha +1}}\cdots$

细心的读者会发现，这里的α实际上与OCF中Ω的行为相当相似，$\alpha \times n$ 与 $\psi ({\mathrm{\Omega }}^n)$ 起到的作用相当。

我们常说${\mathrm{\Pi }}_2$折叠$(1-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots }$ ，也会说Ω折叠了$\psi (n)$，而这里的 $(1-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots }$和 $\psi (n)$都可以被$(1-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}$ 所代替，通过α更加复杂的递归运算，我们总能表示通过${\mathrm{\Pi }}_1$和onto 得到的一系列真类。

在$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{I+1})$等地方，我们使用 ${\mathrm{\Omega }}_{I+1}$来折叠 $I,I^I,I^{I^I},\cdots$等 I 的递归运算。这样的做法可以扩展到更大的各种非递归序数。

那么既然诸如 ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$ 这样的α的非递归运算可以折叠α的递归运算，那么我们也可以用$(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$来表示一个折叠 ${\mathrm{\Pi }}_1-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$的真类，即：${\mathrm{\Pi }}_2={\mathrm{\Pi }}_1\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}}}$

又称作：${\mathrm{\Pi }}_1$和${\mathrm{\Pi }}_2$之间的进位为迭代${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$次进位。

这种记法是一种服务于应用的记法，想要严谨化定义它需要相当复杂的集合论和数理逻辑知识，此处不多作介绍。

同样地，按照这种记法，能够有：

$21-2=(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}2$

$2-2=(21-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

这种记法巧妙地将“取容许点”等概念化作一个序数的递归运算，从而将各种“折叠方式”统一。

这样的事实也解释了为什么我们总是用${\psi }_I$折叠$\mathrm{\Phi }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$和${\psi }_M$折叠 $I(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$，而不选择用${\psi }_M$去折叠 $\mathrm{\Phi }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$：

因为 $\mathrm{\Phi }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$对应的刚好是 $(1-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}2$ ，那么折叠它的理应是 $21-2=(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}2$；$I(\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots )$对应的刚好是 $(21-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}$ ，折叠它的理应是 $2-2=(21-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$。

以下是一些例子：

对于$21-(2-2)$，按照 PrSS方式展开，我们知道它是 $(1-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots }2-2$。这对应了 $(1-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}2-2$，故折叠它的是$(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}2-2$ ，这个式子就是 $21-(2-2)$ 。

对于$21-(21-{)}^{1,0}(2-2)$，按照PrSS方式展开，我们知道它是 $(1-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots }(21-{)}^{1,0}2-2$。这对应了 $(1-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}(21-{)}^{1,0}2-2$ ，故折叠它的是$(1-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}(21-{)}^{1,0}2-2$ ，这个式子就是 $21-(21-{)}^{1,0}(2-2)$ 。

对于$2-21-2-2$，按照PrSS方式展开，我们知道它是 $(21-{)}^{\alpha ,\beta ,\gamma \cdots }2-2$ 。这对应了$(21-{)}^{\alpha \text{的递归运算}}2-2$ ，故折叠它的是 $(21-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}2-2$，这个式子就是 $2-21-2-2$ 。

在反射序数的更高阶段，仍然遵从${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$次进位：

$2-2-2=(2-21-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

$3=(2-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

$3-3=(32-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$

$4=(3-{)}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}}$……

一般地，只要是基于PrSS规则展开的反射序数表达式，都遵循迭代${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$次进位。

稳定序数的定义基础

走完反射序数的长路，我们就得到了 $\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$ 。如果我们对它进行一系列更强的迭代，就可以有：

${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$、${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{2}}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$、${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{3}}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }},\mathrm{\cdots }$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{\mathrm{4}}$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{\mathrm{\omega }}$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{\mathrm{1},\mathrm{0}}$、$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{\alpha }}}\mathrm{\cdots }$

然后我们得到 $(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}\mathrm{)}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{=}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}}}$。

通过一些特殊手段，我们还可以定义下标超过 ω的反射序数，比如：

${\mathrm{\Pi }}_{\omega +1}={\mathrm{\Pi }}_{\omega }\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}}}$

${\mathrm{\Pi }}_{\omega +2}={\mathrm{\Pi }}_{\omega +1}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}}}$

$\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathrm{=}\sup \mathrm{\{}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{+}\mathrm{n}}\mathrm{|}\text{<mi fromhbox="1">n</mi>}\mathrm{\in }\mathrm{\omega }\mathrm{\}}$

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{2}}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}{\mathrm{o}}^{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\alpha }\mathrm{+}\mathrm{1}}}$……

继续，我们还可以定义${\mathrm{\Pi }}_{{\omega }^{\omega }},{\mathrm{\Pi }}_{{\epsilon }_0},{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Omega }},{\mathrm{\Pi }}_I,{\mathrm{\Pi }}_{{\mathrm{\Pi }}_{\omega }},\cdots$ 一直到$\alpha \to {\mathrm{\Pi }}_{\alpha }={\mathrm{\Pi }}_{1,0}$ 。

不过，我们有一个更高效的方式，那就是稳定序数。

如果α是$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }}$反射序数，那么α 就是 α+1 稳定序数；

如果α是$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\omega }\mathrm{\times }\mathrm{2}}$反射序数，那么α就是α+2 稳定序数；

……