稳定序数

$L_{\alpha }$是$L_{\beta }$的${\mathrm{\Sigma }}_n$初等子结构，如果任取${\mathrm{\Sigma }}_n$公式$\phi$均有单射j满足$L_{\alpha }$|=$\phi$($x_1$,$x_2$,…)等价于$L_{\beta }$|=$\phi$(j($x_1$),j($x_2$),…)，也称其为$L_{\alpha }$ ${\mathrm{\Sigma }}_n$稳定到 $L_{\beta }$

除此外，我们还有$L_{\alpha }$是$L_{\beta }$-${\mathrm{\Pi }}_n$反射用于表达一些精细的层级，其中$L_{\alpha }$${\mathrm{\Sigma }}_1$稳定到$L_{\beta }$
(如未特别说明，下文的稳定到均为${\mathrm{\Sigma }}_1$稳定到) 函数式定义:
$L_{\alpha }$是$L_{f(\alpha )}$-${\mathrm{\Pi }}_n$反射 onto X，如果任取${\mathrm{\Pi }}_n$公式$\phi$及参数$\gamma \in L_{\alpha }$和${\gamma }^{\prime }\in L_{{\alpha }^{\prime }}$ 有$L_{f(\alpha )}|=\phi (\alpha ,\gamma )\to L_{f({\alpha }^{\prime })}|=\phi ({\alpha }^{\prime },{\gamma }^{\prime })$,对于${\alpha }^{\prime }\in \alpha \cap X$

序数式定义:
$L_{\alpha }$是$L_{\beta }$-${\mathrm{\Pi }}_n$反射 onto X，如果任取${\mathrm{\Pi }}_n$公式，参数$\gamma \in \alpha$和${\gamma }^{\prime }\in {\alpha }^{\prime }$有 $L_{\beta }|=\phi (\alpha ,\gamma )\to L_{{\beta }^{\prime }}|=\phi ({\alpha }^{\prime },{\gamma }^{\prime })$，对于${\beta }^{\prime }\in \alpha$和${\alpha }^{\prime }\in \alpha \cap X$

关于函数式定义，由于$\omega$-ply的顶点下成员都是$\omega$-ply，这会到达f和$\alpha$的某种不动点，以至于无法继续行进

结构讲解

参见词条Σ1稳定序数、方括号稳定。

枚举

稳定序数有如下路径:
$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，则任取$n\in \omega$有$\alpha \in {\mathrm{\Pi }}_n$反射序数

$\beta$是前$n\in \omega$个$\alpha$满足$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$\beta$是前$n\in {\omega }^2$个$\alpha$满足$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_1$ onto ${\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$\beta$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_1$ $ont{o}^{(1,0)}${$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2$反射是前$n\in \beta$个$\alpha$满足$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta$是前$n\in \omega$个$\alpha$满足${\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_1$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足${\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2\cap ({\mathrm{\Pi }}_1${$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}))的最小成员

$\beta$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足{n:(${\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1$$onto{)}^n${$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}}的上界，则$\beta$是(${\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ $onto{)}^{(1,0)}${$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$的上界，则$\beta$是(${\mathrm{\Pi }}_2$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2$)$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_3$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_3\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$的上界，则$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员并且$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_n$反射

$\beta$是前$n\in \omega$个$\alpha$满足{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_1$ onto ({$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}))的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}))的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的上界，则$\beta$是{$\gamma :L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$}$\cap$(${\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}))的最小成员

$\beta$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足{n:({$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap {\mathrm{\Pi }}_1$$onto{)}^n$)}的上界，则$\beta$是({$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap {\mathrm{\Pi }}_1$$onto{)}^{(1,0)}$的最小成员

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$\beta$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_1$ $ont{o}^{(1,0)}$(${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2\cap$(${\mathrm{\Pi }}_1$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的上界，则$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap$(${\mathrm{\Pi }}_1$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}是前$n\in \beta$个$\alpha$满足${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap$(${\mathrm{\Pi }}_1$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足{x:(${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}$\cap {\mathrm{\Pi }}_1$$onto{)}^x$}的上界，则$\beta$是(${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}$\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ $onto{)}^{(1,0)}$的最小成员

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_3$是${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的，则$\beta$是 ${\mathrm{\Pi }}_3\cap ({\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$是 ${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的，则$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap$(${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_3$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$，且$L_{\beta }$是$L_{\beta +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，且$L_{\alpha }$是$L_{\alpha +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射}的最小成员

$\beta$是({$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} $onto{)}^{(1,0)}${$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，且$L_{\alpha }$是$L_{\alpha +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射}的最小成员

$\beta \in${$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，且$L_{\alpha }$是$L_{\alpha +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射}是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，且$L_{\alpha }$是$L_{\alpha +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射}的，则$\beta$是{$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，且$L_{\alpha }$是$L_{\alpha +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射}$\cap$({$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\gamma :L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，且$L_{\gamma }$是$L_{\gamma +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射})的最小成员

$\beta$是{$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，且$L_{\alpha }$是$L_{\alpha +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射} onto {$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$，且$L_{\beta }$是$L_{\beta +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射}的最小成员

$\beta$是({$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，且$L_{\alpha }$是$L_{\alpha +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射}$onto{)}^{(1,0)}$的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$，且$L_{\beta }$是$L_{\beta +1}$-${\mathrm{\Pi }}_3$反射

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +2}$，则$\beta$满足对$n\in \omega$均有$L_{\beta }$是$L_{\beta +1}$-${\mathrm{\Pi }}_n$反射

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +2}$}的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +2}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +2}$})的最小成员

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_3$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +2}$}的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +2}$}的最小成员

$\beta$是{$\gamma :L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +2}$}$\cap$({$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +2}$})的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$且$L_{\beta }$是$L_{\beta +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +2}$}的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +2}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +2}$}的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +2}$，且$L_{\beta }$是$L_{\beta +2}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +3}$，则对$n\in \omega$有$L_{\beta }$是$L_{\beta +2}$-$P{i}_n$反射

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +\omega }$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta *2}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +\alpha +1}$，其中$\alpha$是最小的$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$

$\beta$是第二个满足$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta *2}$的序数

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2$$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$})的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +\gamma }$}$\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员，其中$\gamma$是满足$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma *2}$的最小序数

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +\gamma }$}$\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员，其中$\gamma$是上一条中的$\beta$

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta *2}$}$\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +\gamma }$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员，其中$\gamma$是最小的$L_{\gamma }$是$L_{\gamma *2}$

$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta *2}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha *2}$}的最小成员

$L_{\beta }$是$L_{\beta *2}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta *2+1}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{{\beta }^2}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{{\mathrm{\Omega }}_{\beta +1}}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$，且$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，则$L_{\gamma }$是首个大于$\beta$序数满足$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，且$L_{\beta }$是$L_{\gamma +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，且$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma +2}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，且$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma +\omega }$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，且$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma *2}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，且$L_{\beta }$稳定到$L_{{\mathrm{\Omega }}_{\gamma +1}}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$，且$L_{\beta }$稳定到$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，对$\gamma \in \alpha$

$L_{\beta }$稳定到$L_{{\gamma }_n}$稳定到$L_{{\gamma }_n+1}$，对于$n\in \omega$和${\gamma }_n\in {\gamma }_{n+1}$，则L_{\gamma}</math>是${\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$，其中$\gamma$是${\mathrm{\Pi }}_1$ onto ${\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$，其中$\gamma$是${\mathrm{\Pi }}_2\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$，其中$\gamma$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$，其中$\gamma$是${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$，其中$\gamma$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$} onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$，其中$L_{\gamma }$是$L_{\gamma +1}$-${\mathrm{\Pi }}_2$反射

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +2}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +\beta }$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma *2}$

$L_{\beta }$稳定到$L_{\gamma }$稳定到$L_{\zeta }$稳定到$L_{\zeta +1}$

$L_{{\beta }_x}$稳定到$L_{{\beta }_{x+1}}$，对$n\in \omega$，则${\beta }_n$是$\omega$-ply，常规稳定链的终点，在此后需要涉及更高阶的反射

与BMS的关系

待续