良序：修订间差异

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2025年8月20日 (三) 16:35的最新版本

偏序集

如果一个非空集合 $A$ 上定义的一个二元关系 $\leq$ 满足

自反性： $\forall a \in A, a \leq a$
反对称性： $\forall a, b \in A, (a \leq b \land b \leq a) \Rightarrow a = b$
传递性： $\forall a, b, c \in A, (a \leq b \land b \leq c) \Rightarrow a \leq c$

我们就称这个二元关系为集合上的一个偏序，集合称为偏序集，记作 $(A, \leq)$ ．

良序集

在偏序关系的基础上，我们进一步引入全序关系的概念：

设有一偏序集 $(A, \leq)$ ，如果对集合的任意有限非空子集都有关于偏序的最小元素，即我们就称偏序是全序， $(A, \leq)$ 是一个全序集．上述定义等价于 $\forall a, b \in A$ ，总有 $a \leq b$ 或 $b \leq a$ 至少一者成立（集合的任意两个元素之间可以比较大小）．

如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个良序集，此时 $\leq$ 为集合上的一个良序．

概念

在描述具有无限个元素的集合的元素“多少”的时候，我们定义了势，即如果两个集合间能建立双射，则它们具有相同的势．那么，为了更精确描述良序集的“大小”，我们定义保序映射：

如果集合 $(A, ℒ)$ 和 $(B, ℛ)$ 是良序集， $f : A \to B$ ，若对任意的 $x, y \in A$ ，有 $x ℒ y ⟹ f (x) ℛ f (y)$ ，则称 $f$ 是保序映射．

良序集中小于某元素的元素构成的集合依然是良序集，我们定义这一集合为该良序集关于该元素的前段，即如果 $(W, \leq)$ 是良序集且 $u \in W$ ，则集合 ${x \in W | x < u}$ 是 $W$ 关于 $u$ 的前段．

于是我们可以定义序型：

如果集合 $(A, ℒ)$ 和 $(B, ℛ)$ 是良序集，且存在双射 $f : A \to B$ 使得 $f$ 和 $f^{- 1}$ 均为保序映射，则称 $(A, ℒ)$ 和 $(B, ℛ)$ 序同构，即具有相同的序型．

如果集合 $(A, ℒ)$ 与集合 $(B, ℛ)$ 的某一前段同构，则称 $(A, ℒ)$ 的序型小于 $(B, ℛ)$ ．

根据命数定理，任意良序集 $(A, \leq)$ 与唯一序数 $α$ 同构，我们也把这个序数 $α$ 叫做良序集 $(A, \leq)$ 的序型．

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 == 偏序集 ==
-如果一个非空集合A上定义的一个二元关系<math>\leq</math>满足
+如果一个非空集合 <math>A</math> 上定义的一个二元关系 <math>\leq</math> 满足
 # 自反性：<math>\forall a \in A,a \leq a</math>
-# 反对称性：<math>\forall a,b \in A,(a \leq b \& b \leq a)\Rightarrow a = b</math>
+# 反对称性：<math>\forall a,b \in A,(a \leq b \land b \leq a)\Rightarrow a = b</math>
-# 传递性：<math>\forall a,b,c \in A,(a \leq b \& b \leq c)\Rightarrow a \leq c</math>
+# 传递性：<math>\forall a,b,c \in A,(a \leq b \land b \leq c)\Rightarrow a \leq c</math>
-我们就称这个二元关系为集合上的一个'''偏序'''，集合称为'''偏序集'''，记作<math>(A,\leq)</math>
+我们就称这个二元关系为集合上的一个'''偏序'''，集合称为'''偏序集'''，记作 <math>(A,\leq)</math>．
 == 良序集 ==
 在偏序关系的基础上，我们进一步引入全序关系的概念：
-设有一偏序集<math>(A,\leq)</math>，如果对集合的任意有限非空子集都有关于偏序的最小元素，即我们就称偏序是'''全序'''，<math>(A,\leq)</math>是一个'''全序集'''。上述定义等价于<math>\forall a,b\in A</math>，总有<math>a \leq b</math>或<math>b \leq a</math>一者成立（集合的任意两个元素之间可以比较大小）。
+设有一偏序集 <math>(A,\leq)</math>，如果对集合的任意有限非空子集都有关于偏序的最小元素，即我们就称偏序是'''全序'''，<math>(A,\leq)</math> 是一个'''全序集'''．上述定义等价于 <math>\forall a,b\in A</math>，总有 <math>a \leq b</math> 或 <math>b \leq a</math> 至少一者成立（集合的任意两个元素之间可以比较大小）．
-如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个'''良序集'''，此时≤为集合上的一个'''良序'''。
+如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个'''良序集'''，此时 <math>\le</math> 为集合上的一个'''良序'''．
 == 概念 ==
-在描述具有无限个元素的集合的元素“多少”的时候，我们定义了势，即如果两个集合间能建立双射，则它们具有相同的势。那么，为了更精确描述良序集的“大小”，我们定义'''保序映射'''：
+在描述具有无限个元素的集合的元素“多少”的时候，我们定义了势，即如果两个集合间能建立双射，则它们具有相同的势．那么，为了更精确描述良序集的“大小”，我们定义'''保序映射'''：
-如果集合<math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math>是良序集，<math>\rm{f} : A \rightarrow B</math>,若对任意的<math>x,y\in A</math>，若<math>\rm{xLy}</math>有<math>\rm{f(x)Rf(y)}</math>,则称f是保序映射。
+如果集合 <math>(A,\mathcal L)</math> 和 <math>(B,\mathcal R)</math> 是良序集，<math>f : A \to B</math>，若对任意的 <math>x,y\in A</math>，有 <math>x\mathcal{L}y\implies f(x)\mathcal{R}f(y)</math>，则称 <math>f</math> 是保序映射．
-良序集中小于某元素的元素构成的集合依然是良序集，我们定义这一集合为该良序集关于该元素的'''前段'''，即如果<math>(W,\leq)</math>是良序集且<math>u\in W</math>,则集合<math>\{x\in W|x<u\}</math>是W关于u的前段。
+良序集中小于某元素的元素构成的集合依然是良序集，我们定义这一集合为该良序集关于该元素的'''前段'''，即如果 <math>(W,\leq)</math> 是良序集且 <math>u\in W</math>，则集合 <math>\{x\in W|x<u\}</math> 是 <math>W</math> 关于 <math>u</math> 的前段．
 于是我们可以定义'''序型'''：
-如果集合<math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math>是良序集，且存在<math>\rm{f} : A \rightarrow B</math>和<math>\rm{f'} : B \rightarrow A</math>均为保序映射，则称<math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math>'''同构'''，且具有相同的序型。
+如果集合 <math>(A,\mathcal L)</math> 和 <math>(B,\mathcal R)</math> 是良序集，且存在双射 <math>f:A\to B</math> 使得 <math>f</math> 和 <math>f^{-1}</math> 均为保序映射，则称 <math>(A,\mathcal L)</math>和<math>(B,\mathcal R)</math> '''序同构'''，即具有相同的序型．
+如果集合 <math>(A,\mathcal L)</math> 与集合 <math>(B,\mathcal R)</math> 的某一前段同构，则称 <math>(A,\mathcal L)</math> 的序型小于 <math>(B,\mathcal R)</math>．
+根据[[命数定理]]，任意良序集 <math>(A,\le)</math> 与唯一[[序数]] <math>\alpha</math> 同构，我们也把这个序数 <math>\alpha</math> 叫做良序集 <math>(A,\le)</math> 的序型．
-如果集合<math>(A,L)</math>与集合<math>(B,R)</math>的某一前段同构，则称<math>(A,L)</math>的序型小于<math>(B,R)</math>
+[[分类:集合论相关]]
-[[分类:入门]]
+[[分类:重要概念]]