马洛基数：修订间差异

可视化wikitext

2025年9月10日 (三) 22:18的最新版本

马洛基数（又称马赫罗基数），是集合论中的一类大基数，由 Friedrich Paul Mahlo 于1911-1913年间提出。

定义

我们称一个序数 $α$ 是一个序数集 $B$ 上的极限点，当且仅当 $\sup (α \cap B) = α$ .

我们称一个正则不可数基数 $κ$ 的子集 $C$ 是无界闭的，当且仅当 $\sup (C) = κ$ 且任何一个 $C$ 上小于 $κ$ 的极限点都是 $C$ 的元素。

我们称一个正则不可数基数 $κ$ 的子集 $S$ 是驻集，当且仅当 $S$ 与 $κ$ 上任意无界闭子集所交非空。

一个基数 $κ$ 是马洛/强马洛的，当且仅当它是一个强不可达基数且 $κ$ 下方的全体正则基数构成 $κ$ 的驻集。

一个基数 $κ$ 是弱马洛的，当且仅当它是一个弱不可达基数且 $κ$ 下方弱不可达基数构成它的驻集。

定理

弱马洛有一个等价定义： $κ$ 是一个弱不可达基数且其下弱不可达基数构成它的驻集

证明：

等效的，强马洛也有这样的等价定义

证明：强马洛⇔强不可达+下方强不可达构成驻集

1.强马洛k推强不可达+下方强不可达构成驻集

考虑强马洛基数k，首先其是强不可达。假设存在一个无界闭子集C⊂k使得C不包含任意一个强不可达基数，则考虑全体k下任意除N0外强极限基数组成的子集与它的交集，这也是一个无界闭子集(因为C中任意正则基数都不是强极限基数)，然而它与k下方正则基数无交，矛盾

2.强不可达+下方强不可达构成驻集→强马洛

证：显然，由于强不可达基数都是正则基数，所以任何一个无界闭子集中都一定包含一个正则基数(也就是被包含的强不可达基数)，因此得证。

@@ 第1行： / 第1行： @@
-前置知识：我们称一个序数a是一个序数集B上的极限点，当且仅当，sup(a∩B)=a
+'''马洛基数'''（又称'''马赫罗基数'''），是集合论中的一类[[大基数公理|大基数]]，由 Friedrich Paul Mahlo 于1911-1913年间提出。
-我们称一个正则不可数基数k的子集C是无界闭的，当且仅当sup(C)=k且任何一个C上小于k的极限点都是C的元素
+== 定义 ==
+我们称一个[[序数]] <math>\alpha </math> 是一个序数集 <math>B</math> 上的'''极限点'''，当且仅当 <math>\sup (\alpha \cap B)=\alpha </math>.
-我们称一个正则不可数基数k的子集S是驻集，当且仅当S与k上任意无界闭子集所交非空
+我们称一个[[基数#共尾度|正则]][[基数#有限基数和无穷基数（超限基数）|不可数基数]] <math>\kappa </math> 的子集 <math>C</math> 是'''无界闭的'''，当且仅当 <math>\sup (C)=\kappa </math> 且任何一个 <math>C</math> 上小于 <math>\kappa </math> 的极限点都是 <math>C</math> 的元素。
-一个基数k是马洛/强马洛的，当且仅当它是一个强不可达基数且k下方的全体正则基数构成k的驻集
+我们称一个正则不可数基数 <math>\kappa </math> 的子集 <math>S</math> 是<span id="驻集">'''驻集'''</span>，当且仅当 <math>S</math> 与 <math>\kappa </math> 上任意无界闭子集所交非空。
-称一个基数k上弱马洛的，当且仅当它是一个弱不可达基数且k下方弱不可达基数构成它的驻集
+一个基数 <math>\kappa </math> 是'''马洛/强马洛的'''，当且仅当它是一个[[不可达基数#定义|强不可达基数]]且 <math>\kappa </math> 下方的全体正则基数构成 <math>\kappa </math> 的驻集。
-弱马洛有一个等价定义：k是一个弱不可达基数且其下弱不可达基数构成它的驻集
+一个基数 <math>\kappa </math> 是'''弱马洛的'''，当且仅当它是一个弱不可达基数且 <math>\kappa </math> 下方弱不可达基数构成它的驻集。
+== 定理 ==
+弱马洛有一个等价定义： <math>\kappa </math> 是一个弱不可达基数且其下弱不可达基数构成它的驻集
 证明：
+等效的，强马洛也有这样的等价定义
+证明：强马洛⇔强不可达+下方强不可达构成驻集
+.强马洛k推强不可达+下方强不可达构成驻集
+考虑强马洛基数k，首先其是强不可达。假设存在一个无界闭子集C⊂k使得C不包含任意一个强不可达基数，则考虑全体k下任意除N0外强极限基数组成的子集与它的交集，这也是一个无界闭子集(因为C中任意正则基数都不是强极限基数)，然而它与k下方正则基数无交，矛盾
+.强不可达+下方强不可达构成驻集→强马洛
+证：显然，由于强不可达基数都是正则基数，所以任何一个无界闭子集中都一定包含一个正则基数(也就是被包含的强不可达基数)，因此得证。
 [[分类:集合论相关]]