命数定理

集合论中关于序数和良序集的核心结果，也叫序数表示定理（Ordinal Representation Theorem）或良序集的序型定理（Comparability Theorem for Well-Ordered Sets）。

定理1（序数表示定理）：每个良序集都同构于唯一一个序数。

引理1：如果对于两个良序集 $W_1,W_2$， $W_1$ 同构到 $W_2$，则这个同构是唯一的。

定义：一个良序集 $(W,<)$ 根据任意一个 $W$ 的元素 $x$ 得到的始段为 $W(x)=\{u\in W:u<x\}$.

引理2：不存在一个良序集同构于它的始段。

定理2（良序集的序型定理）：对于任何两个良序集 $W_1,W_2$，只会有以下其中一种情况发生:

1. $W_1$ 同构于 $W_2$ 的一个始段；
2. $W_2$ 同构于 $W_1$ 的一个始段；
3. $W_1$ 同构于 $W_2$ .

该定理也常被称为良序集三分律（Trichotomy Law for Well-Ordered Sets）。

证明：定义 $f=\{(x,y):x\in W_1\wedge y\in W_2\wedge W_1(x)\text{同构于}{W}_2(y)\}$.

由引理2，这是一个一对一函数（如果不是，则存在 $u,y\in W_2$ 使得 $W_2(u)$ 同构于 $W_2(y)$，且 $u<y$，则 $W_2(u)$ 也是 $W_2(y)$ 的始段，由引理2得知矛盾，所以这是一个一对一函数）。

对于任意 $W_1$ 元素 $u<x$， $W_2$ 元素 $y$，且 $W_1(x)$ 同构于 $W_2(y)$，则 $W_1(u)$ 同构于 $W_2(f(u))$，则 $W_2(f(u))$ 是 $W_2(y)$ 的始段，所以 $f(u)<y$，这个映射是同构。

如果值域为 $W_2$ 且定义域为 $W_1$，则这个 $W_1$ 同构于$W_2$.

如果定义域是 $W_1$ 且值域为 $W_2$ 的始段，则 $W_1$ 同构于 $W_2$ 的始段。

如果值域是 $W_2$ 且定义域是 $W_1$ 的始段，则 $W_2$ 同构于 $W_1$ 的始段。

（假设最大只存在 $W_1$ 始段 $A$ 和 $W_2$ 始段 $B$ 同构，考虑最小的 $u\in W_1$ 使得 $u$ 不属于 $A$ 和最小的 $k\in W_2$ 使得 $k$ 不属于 $B$，显然，由 $u$ 和 $k$ 分别生成的始段同构，所以 $u$ 和 $k$ 所成的有序对应该是 $f$ 的元素。然而这与我们的假设相背，所以矛盾）。

定理1的证明：由于任意良序集和序数都是良序集，所以对于任意一个良序集 $W$ 和序数 $a$，如果 $W$ 同构于 $a$，则 $W$ 和 $a$ 的同构也是唯一的（否则，存在 $a<b$ 或 $c<a$ 使得 $a$ 同构于 $c$ 或者 $b$，由于 $a<b$ 则 $a$ 为 $b$ 始段， $c<a$ 则 $c$ 为 $a$ 始段，由引理2得到矛盾，所以这个同构唯一），如果 $W$ 同构于 $a$ 的始段，显然 $W$ 也同构于这个始段对应的序数；如果 $W$ 的始端同构于 $a$，那么必然存在 $b>a$ 使得 $W$ 同构于 $b$，由前面可得同构唯一性。

所以，任意良序集同构于唯一一个序数。