PPS

Parented Predecessor Sequence(PPS)是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是标记父项位置。

PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。

2025年8月，PPS2被发现无穷降链。

2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。

2026年3月2日，PPS1的良序极限已被证实为${\zeta }_0$。有关良序极限的一些解释，可以见此处。

对PPS无穷降链的寻找可使用自动果糕机进行辅助。

后续phyrion在25年圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了PRRS。

前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号

定义

以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。

PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）

极限表达式：0,1,2,3,4,5,......

记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x

展开：

1.如果末项是0，则它是后继序数

2.末项之前的部分保持不变

3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1

4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i>x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值

5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项

分析

另见PPS分析

PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。

地府段

PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。

第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10

2025年7月22日，来自PCF

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。

它们分别对应序数${\epsilon }_{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_0+1}\times 2}}}$

和${\epsilon }_{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_{{\epsilon }_0}+1}}}}}$。

几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。

第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，四百行扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。

不过，它已经被发现了无穷降链，或许这就是第二地府分析困难的原因。

良序极限

PPS的良序极限为

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,

3,0,21,19,

3,0,0,3,0,28,18,9,

3,0,33,30,9,

3,0,0,3,0,41,29,18,9,

3,0,47,43,18,9,

3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,

3,0,63,58,29,18,9,

3,0,0,3,0,73,57,42,29,18,9,

3,0,81,75,42,29,18,9,

3,0,0,3,0,92,74,57,42,29,18,9,

3,0,101,94,57,42,29,18,9,

3,0,0,3,0,113,93,74,57,42,29,18,9,

3,0,123,115,74,57,42,29,18,9,

3,0,0,3,0,136,114,93,74,57,42,29,18,9,

3,0,147,138,93,74,57,42,29,18,9,

3,0,0,3,0,161,137,114,93,74,57,42,29,18,9,

3,0,173,163,114,93,74,57,42,29,18,9......

它的大小已被确定为ζ_0。

其基本列为：

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,18,9,3,0,26=ε_ε_ε_ε_ε_ε_0

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,29,18,9,3,0,39=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,42,29,18,9,3,0,54=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,43,18,9,3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,3,0,63,57,42,29,18,9,3,0,71=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0

0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,3,0,28,18,9,3,0,33,30,9,3,0,0,3,0,41,29,18,9,3,0,47,43,18,9,3,0,0,3,0,56,42,29,18,9,3,0,63,58,29,18,9,3,0,0,3,0,73,57,42,29,18,9,3,0,81,74,57,42,29,18,9,3,0,90=ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_ε_0

......

改版

PPM 1.2

Parented Predecessor Matrix 1,2

极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)

LNZ：末列的最大非零行序号

坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数

记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y

末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。

弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换

强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)

其他项展开：对任意的i>y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值

基本列[n]为展开到第y+nL-1项

PPM 2

Parented Predecessor Matrix 2

极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)

LNZ：末列的最大非零行序号

坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数

记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y

末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。

弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换

强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)

其他项展开：对任意的i>y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值

基本列[n]为展开到第y+nL-1项

PPM 3

Parented Predecessor Matrix 3

极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)

LNZ：末列的最大非零行序号

坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数

记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y

末列展开：{

把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。

弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换

强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)

}

末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”

其他项展开：对任意的i>y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值

基本列[n]为展开到第y+nL-1项