命数定理：修订间差异

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2025年8月31日 (日) 11:05的最新版本

定理1：每个良序集都同构于唯一一个序数。

引理1：如果对于两个良序集 $W_{1}, W_{2}$ ， $W_{1}$ 同构到 $W_{2}$ ，则这个同构是唯一的。

定义：一个良序集 $(W, <)$ 根据任意一个 $W$ 的元素 $x$ 得到的始段为 $W (x) = {u \in W : u < x}$ .

引理2：不存在一个良序集同构于它的始段。

定理2：对于任何两个良序集 $W_{1}, W_{2}$ ，只会有以下其中一种情况发生:

$W_{1}$ 同构于 $W_{2}$ 的一个始段；
$W_{2}$ 同构于 $W_{1}$ 的一个始段；
$W_{1}$ 同构于 $W_{2}$ .

证明：定义 $f = {(x, y) : x \in W_{1} \land y \in W_{2} \land W_{1} (x) 同构于 W_{2} (y)}$ .

由引理2，这是一个一对一函数（如果不是，则存在 $u, y \in W_{2}$ 使得 $W_{2} (u)$ 同构于 $W_{2} (y)$ ，且 $u < y$ ，则 $W_{2} (u)$ 也是 $W_{2} (y)$ 的始段，由引理2得知矛盾，所以这是一个一对一函数）。

对于任意 $W_{1}$ 元素 $u < x$ ， $W_{2}$ 元素 $y$ ，且 $W_{1} (x)$ 同构于 $W_{2} (y)$ ，则 $W_{1} (u)$ 同构于 $W_{2} (f (u))$ ，则 $W_{2} (f (u))$ 是 $W_{2} (y)$ 的始段，所以 $f (u) < y$ ，这个映射是同构。

如果值域为 $W_{2}$ 且定义域为 $W_{1}$ ，则这个 $W_{1}$ 同构于 $W_{2}$ .

如果定义域是 $W_{1}$ 且值域为 $W_{2}$ 的始段，则 $W_{1}$ 同构于 $W_{2}$ 的始段。

如果值域是 $W_{2}$ 且定义域是 $W_{1}$ 的始段，则 $W_{2}$ 同构于 $W_{1}$ 的始段。

（假设最大只存在 $W_{1}$ 始段 $A$ 和 $W_{2}$ 始段 $B$ 同构，考虑最小的 $u \in W_{1}$ 使得 $u$ 不属于 $A$ 和最小的 $k \in W_{2}$ 使得 $k$ 不属于 $B$ ，显然，由 $u$ 和 $k$ 分别生成的始段同构，所以 $u$ 和 $k$ 所成的有序对应该是 $f$ 的元素。然而这与我们的假设相背，所以矛盾）。

定理1的证明：由于任意良序集和序数都是良序集，所以对于任意一个良序集 $W$ 和序数 $a$ ，如果 $W$ 同构于 $a$ ，则 $W$ 和 $a$ 的同构也是唯一的（否则，存在 $a < b$ 或 $c < a$ 使得 $a$ 同构于 $c$ 或者 $b$ ，由于 $a < b$ 则 $a$ 为 $b$ 始段， $c < a$ 则 $c$ 为 $a$ 始段，由引理2得到矛盾，所以这个同构唯一），如果 $W$ 同构于 $a$ 的始段，显然 $W$ 也同构于这个始段对应的序数；如果 $W$ 的始端同构于 $a$ ，那么必然存在 $b > a$ 使得 $W$ 同构于 $b$ ，由前面可得同构唯一性。

所以，任意良序集同构于唯一一个序数。

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-定理1：每个良序集同构于唯一一个序数
+'''定理1'''：每个[[良序#良序集|良序集]]都[[良序#概念|同构]]于唯一一个[[序数]]。
-引理1：如果对于两个良序集W1，W2，W1同构到W2，则这个同构是唯一的
+'''引理1'''：如果对于两个良序集 <math>W_{1},W_{2}</math>， <math>W_{1}</math> 同构到 <math>W_{2}</math>，则这个同构是唯一的。
-定义：一个良序集（W,<）根据任意一个W的元素x得到的始段为W(x)={u∈W：u＜x}
+'''定义'''：一个良序集 <math>(W,<)</math> 根据任意一个 <math>W</math> 的元素 <math>x</math> 得到的'''始段'''为 <math>W(x)=\{u\in W:u<x\}</math>.
-引理2：不存在一个良序集同构于它的始段
+'''引理2'''：不存在一个良序集同构于它的始段。
-定理2：对于任何两个良序集W1，W2，只会有以下其中一种情况发生：
+'''定理2'''：对于任何两个良序集 <math>W_{1},W_{2}</math>，只会有以下其中一种情况发生:
-.W1同构于W2的一个始段
+# <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> 的一个始段；
+# <math>W_{2}</math> 同构于 <math>W_{1}</math> 的一个始段；
+# <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> .
-.W2同构于W1的一个始段
+证明：定义 <math>f=\{(x,y):x\in W_{1}\and y\in W_{2}\and W_{1}(x)\text{同构于}W_{2}(y)\}</math>.
-.W1同构于W2
+由引理2，这是一个一对一函数（如果不是，则存在 <math>u,y\in W_{2}</math> 使得 <math>W_{2}(u)</math> 同构于 <math>W_{2}(y)</math>，且 <math>u<y</math>，则 <math>W_{2}(u)</math> 也是 <math>W_{2}(y)</math> 的始段，由引理2得知矛盾，所以这是一个一对一函数）。
-证明:定义f={(x，y)：x∈W1且y∈W2且W1（x）同构于W2（y）}
+对于任意 <math>W_{1}</math> 元素 <math>u<x</math>， <math>W_{2}</math> 元素 <math>y</math>，且 <math>W_{1}(x)</math> 同构于 <math>W_{2}(y)</math>，则 <math>W_{1}(u)</math> 同构于 <math>W_{2}(f(u))</math>，则 <math>W_{2}(f(u))</math> 是 <math>W_{2}(y)</math> 的始段，所以 <math>f(u)<y</math>，这个映射是同构。
-由引理2，这是一个一对一函数（如果不是，则存在u，y∈W2使得W2（u）同构于W2（y），且u<y，则W2（u）也是W2（y）的始段，由引理2得知矛盾，所以这是一个一对一函数）
+如果[[ZFC公理体系#值域|值域]]为 <math>W_{2}</math> 且[[ZFC公理体系#定义域|定义域]]为 <math>W_{1}</math>，则这个 <math>W_{1}</math> 同构于<math>W_{2}</math>.
-对于任意W1元素u<x,W2元素y，且W1(x)同构于W2（y），则W1（u）同构于W2（f（u）），则W2(f(u))是W2（y）的始段，所以f（u）＜y，这个映射是同构
+如果定义域是 <math>W_{1}</math> 且值域为 <math>W_{2}</math> 的始段，则 <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> 的始段。
-如果range为W2且domain为W1,则这个W1同构于W2
+如果值域是 <math>W_{2}</math> 且定义域是 <math>W_{1}</math> 的始段，则 <math>W_{2}</math> 同构于 <math>W_{1}</math> 的始段。
-如果domain是W1且range为W2的始段，则W1同构于W2的始段
+（假设最大只存在 <math>W_{1}</math> 始段 <math>A</math> 和 <math>W_{2}</math> 始段 <math>B</math> 同构，考虑最小的 <math>u\in W_{1}</math> 使得 <math>u</math> 不属于 <math>A</math> 和最小的 <math>k\in W_{2}</math> 使得 <math>k</math> 不属于 <math>B</math>，显然，由 <math>u</math> 和 <math>k</math> 分别生成的始段同构，所以 <math>u</math> 和 <math>k</math> 所成的有序对应该是 <math>f</math> 的元素。然而这与我们的假设相背，所以矛盾）。
-如果range是W2且domain是W1的始段，则W2同构于W1的始段
+定理1的证明：由于任意良序集和序数都是良序集，所以对于任意一个良序集 <math>W</math> 和序数 <math>a</math>，如果 <math>W</math> 同构于 <math>a</math>，则 <math>W</math> 和 <math>a</math> 的同构也是唯一的（否则，存在 <math>a<b</math> 或 <math>c<a</math> 使得 <math>a</math> 同构于 <math>c</math> 或者 <math>b</math>，由于 <math>a<b</math> 则 <math>a</math> 为 <math>b</math> 始段， <math>c<a</math> 则 <math>c</math> 为 <math>a</math> 始段，由引理2得到矛盾，所以这个同构唯一），如果 <math>W</math> 同构于 <math>a</math> 的始段，显然 <math>W</math> 也同构于这个始段对应的序数；如果 <math>W</math> 的始端同构于 <math>a</math>，那么必然存在 <math>b>a</math> 使得 <math>W</math> 同构于 <math>b</math>，由前面可得同构唯一性。
-（假设最大只存在W1始段A和W2始段B同构，考虑最小的u∈W1使得u不属于A和最小的k∈W2使得k不属于B，显然，由u和k分别生成的始段同构，所以u和k所成的有序对应该是f的元素。然而这与我们的假设相背，所以矛盾）
+所以，任意良序集同构于唯一一个序数。
-定理1的证明：由于任意良序集和序数都是良序集，所以对于任意一个良序集W和序数a，如果W同构于a，则W和a的同构也是唯一的（否则，存在a<b或c<a使得a同构于c或者b，由于a<b则a为b始段，c<a则c为a始段，由引理2得到矛盾，所以这个同构唯一)，如果W同构于a的始段，显然W也同构于这个始段对应的序数；如果W的始端同构于a，那么必然存在b>a使得W同构于b，由前面可得同构唯一性
+[[分类:集合论相关]]
-所以，任意良序集同构于唯一一个序数。